Различные способы решения квадратных уравнений

Слайд 1

Слайд 2

История развития квадратных уравнений. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне: Х 2 +Х=3/4 Х 2 -Х=14,5

Слайд 3

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения . Отсюда уравнение: (10+х)(10-х) =96 или же: 100 - х 2 =96 х 2 - 4=0 (1) Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Слайд 4

Квадратные уравнения в Индии. ах 2 + b х = с, а>0. (1)

Слайд 5

Квадратные уравнения у ал – Хорезми. 1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = b х. 2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с. 3) «Корни равны числу», т.е. ах = с. 4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = b х. 5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с. 6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

Слайд 6

Квадратные уравнения в Европе ХIII - Х V II вв. х 2 + b х = с , при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Слайд 7

О теореме Виета. «Если В + D , умноженное на А - А 2 , равно В D , то А равно В и равно D ». На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b )х - х2 = ab, т.е. х 2 - (а + b )х + а b = 0, то х 1 = а, х 2 = b.

Слайд 8

Способы решения квадратных уравнений. 1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители: х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0 .

Слайд 9

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 . Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2• х • 3. полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х 2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3) 2 . Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х - 7 = 0 , прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем: х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16 . Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16. Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1 , или х + 3 = -4, х 2 = -7.

Слайд 10

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнения ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0 на 4а и последовательно имеем: 4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0, ((2ах) 2 + 2ах • b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0, (2ax + b) 2 = b 2 - 4ac, 2ax + b = ± √ b 2 - 4ac, 2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Слайд 11

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х 2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p а) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0 ; x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1 , так как q = 7 > 0 и p = 8 > 0 . б) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q = - 5 < 0 и p = 4 > 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1 , так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

Слайд 12

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0. Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0 , равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .

Слайд 13

• Пример. Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 11у + 30 = 0 . Согласно теореме Виета у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5 у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3. Ответ: 2,5 ; 3 .

Слайд 14

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. А. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0 . 1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + b/a • x + c/a = 0. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = - b / a , x 1 x 2 = 1• c / a . По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с . Таким образом, x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1• ( - c/a), т.е. х 1 = -1 и х 2 = c / a , что и требовалось доказать.

Слайд 15

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней В. Приведенное уравнение х 2 + рх + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

Слайд 16

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q .

Слайд 17

• Пример Решим графически уравнение х 2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2). Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4 . Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4 . Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13) . Ответ : х 1 = - 1; х 2 = 4

Слайд 18

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5 ). Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC , откуда OC = OB • OD / OA = х 1 х 2 / 1 = c / a .

Слайд 19

1) Радиус окружности больше ординаты центра ( AS > SK , или R > a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х1; 0) и D (х2; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 . 2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Слайд 20

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. z 2 + pz + q = 0. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11): Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), Из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

Слайд 21

• Примеры. 1) Для уравнения z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис.12). 2) Решим с помощью номограммы уравнение 2 z 2 - 9z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2 , получим уравнение z 2 - 4,5z + 1 = 0 . Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5 . 3) Для уравнения z 2 - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение t 2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откуда z 1 = 5 t 1 = 3,0 и z 2 = 5 t 2 = 22,0 .

Слайд 22

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений. • Примеры . 1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15). Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Слайд 23

у 2 + 6у - 16 = 0 . Решение представлено на рис. 16, где у 2 + 6у = 16 , или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9. Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5 , или у 1 = 2, у 2 = - 8 (рис.16).