Презентация Математическое ожидание случайной величины

Слайд 1

Министерство образования Нижегородской области ГБПОУ “Нижегородский автотранспортный техникум” Специальность 23.02.01 “Организация перевозок и управление на транспорте (по видам)” Тема: «Математическое ожидание случайной величины» Выполнила: Камбаратова В.А Группа: 1Э-15 Проверила: Демьянова Е.А Нижний Новгород 2016

Слайд 2

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам, к романтическому времени королей и мушкетеров, прекрасных дам и благородных рыцарей. Первоначальным толчком к развитию теории вероятностей послужили задачи, относящиеся к азартным играм, таким, как орлянка, кости, карты, рулетка, когда в них начали применять количественные подсчеты и прогнозирование шансов на успех Историческая справка

Слайд 3

Зарождение теории вероятностей началось с того, что придворный французского короля, шевалье (кавалер) де Мере (1607-1648), сам азартный игрок, обратился к французскому физику, математику и философу Кавалер Шарль

Слайд 4

До нас дошли два опроса де Мере к Паскалю: 1) сколько раз надо бросить две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний; 2) как справедливо разделить поставленные на кон деньги, если игроки прекратили игру преждевременно? В 1654 г. Паскаль обратился к математику Пьеру Ферма (1601-1665) и переписывался с ним по поводу этих задач. Они вдвоем установили некоторые исходные положения ТВ, в частности пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей. Далее голландский ученый Х.Гюйгенс (1629-1695) в книге «О расчетах при азартных играх» (1657 г.) попытался дать собственное решение вопросов, затронутых в этой переписке. знаменитых в этой переписке. Пьер Ферма (1601-1665)

Слайд 5

В теории вероятностей рассматриваются испытания , результаты которых нельзя предсказать заранее, а сами испытания можно повторять, хотя бы теоретически, произвольное число раз при неизменном комплексе условий. Испытаниями, например, являются: подбрасывание монеты, выстрел из винтовки, проведение денежно-вещевой лотереи. Основные понятия

Слайд 6

Случайным событием (возможным событием или просто событием) называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Для приведенных выше испытаний приведем примеры случайных событий: появление герба (реверса), попадание (промах) в цель, выигрыш автомобиля по билету лотереи. Случайное событие – это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход , результат испытания (опыта, эксперимента). События обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: A,B,C.

Слайд 7

Если при каждом испытании, при котором происходит событие A, происходит и событие B, то говорят, что A влечет за собой событие B (входит в В) или В включает событие А и обозначают A ⊂ B . Если одновременно A ⊂ B и B ⊂ A, то в этом случае события A и B называются равносильными. События A и B называются несовместными , если наступление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. События A и B называются совместными если они могут произойти вместе в одном и том же испытании.

Слайд 8

Пример 1 Испытание состоит в однократном подбрасывании игральной кости с шестью гранями. Событие A – появление трех очков, событие B – появление четного числа очков, С – появление нечетного числа очков. События A и С совместны, поскольку число 3 – нечетное, а значит, если выпало 3 очка, то произошло и событие A и событие С. Кроме того, событие A влечет за собой событие С. События A и В несовместны, т.к. если произошло и событие A, то не произойдет событие В, а если произошло событие В, то не произойдет событие А. События В и С также являются несовместными. События называются попарно несовместными (или взаимоисключающими ), если любые два из них несовместны.

Слайд 9

Пример 3. «Выигрыш» и «проигрыш» по одному билету денежно- вещевой лотереи – события противоположные. Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти. Событие называется невозможным , если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Обозначим достоверное событие Ω , а невозможное ∅ .

Слайд 10

Свойства вероятности 1. Вероятность достоверного события Ω равна единице. Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п , следовательно исходя из (1.1), Р(Ω) = 1. 2. Вероятность невозможного события ∅ равна нулю. Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благоприятным, поэтому т = 0 и на основании формулы (1.1) имеем P(∅ ) = 0. 3. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤1. Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых благоприятствующих исходах опыта , удовлетворяющих неравенству (0–для невозможного события и –для достоверного), и из (1.1) следует, что m 0 ≤ m ≤ n n 0 ≤ P(A) ≤1. События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) или очень велики (близки к единице), называются практически невозможными или практически достоверными событиями.

Слайд 11

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается M x . Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение x 1 x 2 … x n p 1 p 2 … p n

Слайд 12

Основные свойства математического ожидания: математическое ожидание константы равно этой константе, M c=c ; математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо : M ( ax + bh ) = a M ( x )+ b M ( h ); математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M ( x h ) = M ( x ) M ( h ).

Слайд 13

Моменты В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты. Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k -й степени случайной величины x , т.е. a k = M x k . Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m k , определяемая формулой m k = M ( x - M x ) k . Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = M x , а дисперсия - центральный момент второго порядка, a 2 = M x 2 = M ( x - M x ) 2 = D x . Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например: m 2 =a 2 -a 1 2 , m 3 = a 3 - 3a 2a 1 + 2a 1 3 . Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = M x , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

Слайд 14

Асимметрия В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой , где m 3 - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение.

Слайд 15

Эксцесс Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x , от нормального распределения, является эксцесс. Эксцесс g случайной величины x определяется равенством . У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g ( x ) > 0, то это означает, что график плотности вероятностей p x ( x ) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если же g ( x ) < 0, то “заостренность” графика p x ( x ) меньше, чем у нормального распределения. .

Слайд 16

Средним геометрическим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина Название “среднее геометрическое” происходит от выражения среднего геометрического дискретной случайной величины, имеющей равномерное распределение x a 1 a 2 a 3 ... a n p 1/n 1/n 1/n ... 1/n

Слайд 17

Среднее геометрическое, вычисляется следующим образом : т.е. получилось традиционное определение среднего геометрического чисел a 1 , a 2 , …, a n . Например, среднее геометрическое случайной величины, имеющей показательное распределение с параметром l , вычисляется следующим образом:

Слайд 18

Дисперсия Дисперсией конечной случайной величины x называется число по определению математического ожидания, дисперсия вычисляется по следующей формуле Дисперсию иногда обозначают как s 2 ( x ) или называется среднеквадратичным отклонением или стандартным отклонением случайной величины

Слайд 19

Свойства дисперсии 1.Дисперсия любой случайной величины неотрицательна D x >0 При этом D x=0 тогда и только тогда, когда случайная величина постоянна. 2 . Константа выносится из-под знака дисперсии с квадратом 3. Сдвиг на константу не меняет дисперсии: 4 . Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: ( x и h независимы )