Золотое сечение

X научно- практическая конференция школьников

Доволенского района

Физико-математическая секция

Тема работы «Золотое сечение»  

Автор:

 Альбах Данил Сергеевич

МКОУ Ярковская СОШ, 9 класс

Руководитель:

Якушенко Татьяна Андреевна

с.Довольное

2017 г.

Оглавление

I.Введение______________________________________________________________________стр.4-6

II.Основная часть________________________________________________________________стр.6-12

1. Понятие золотого сечения и история его возникновения_________________________стр.6-7
2. Золотые фигуры. Задачи____________________________________________________стр.7-8

• Задача на деление  отрезка в золотом отношении_______________________________стр.7
• Задача на построение золотого треугольника__________________________________стр.7
• Задача на построение золотого прямоугольника_________________________________стр.7-8
• Задача на построение золотой спирали________________________________________стр.8
• Задача на построение  и исследование пятиконечной звезды (пентаграммы)________стр.8

3. Золотое сечение в   архитектуре______________________________________________стр.8-9
4. Золотое сечение в скульптуре________________________________________________стр.9-10
5. Золотое сечение в живописи_________________________________________________стр.11
6. Золотое сечение в природе__________________________________________________стр.11
7. Золотое сечение в музыке___________________________________________________стр.11-12

III.Заключение__________________________________________________________________стр.12-13

IV.Список используемой литературы_______________________________________________стр.13

V.Приложение__________________________________________________________________стр.14-21

Приложение №1 Анкета__________________________________________________________стр.14

Приложение №2  Эксперимент____________________________________________________стр.14-15

Приложение №3 Деление отрезка в золотом отношении_______________________________стр.15

Приложение №4 Построение золотого треугольника__________________________________стр.15

Приложение №5 Построение золотого прямоугольника_______________________________стр.16

Приложение №6  Построение золотой спирали______________________________________стр.16

Приложение №7  Построение пентаграммы и её исследование_________________________стр.16-17

Приложение №8  Золотое сечение в архитектуре____________________________________стр.18-19

Приложение №9  Золотое сечение в скульптуре_____________________________________стр.19

Приложение № 10 Измерение тела человека________________________________________стр.19

Приложение № 11 Золотое сечение в живописи_____________________________________стр.20-21

Приложение №12 Золотое сечение в природе_______________________________________стр.21

I.Введение

   В курсе математики 6 класса я изучил тему «Отношения и пропорции». В ходе изучения данной темы познакомился с понятиями: отношение чисел,  пропорция,  прямая и обратная пропорциональные зависимости. Узнал основное свойство пропорции, что такое масштаб и число пи. Решил много математических задач на определение  верной пропорции, на установление зависимостей между величинами, на проценты и многие другие. В конце изучения данной темы мы в классе прочитали рассказ о  возникновении учения об отношениях и пропорциях, помещённый в учебнике. Рассказ содержал небольшую информацию о золотом сечении, о том, что  пропорциональность встречается не только в математике. Материал меня заинтересовал. А вопрос учителя: «Ребята, как вы думаете, мужское или женское тело красивее с точки зрения его пропорциональности?»- заставил меня задуматься. Действительно, какое  изображение предмета можно считать красивым, а какое нет? Конечно, законов красоты много и все их рассмотреть в одной работе невозможно. Но, изучая математику, я могу для себя открыть  один из них. У Иоганна Кеплера есть такое высказывание: «Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем». Теорему Пифагора знает каждый  школьный. А вот золотое сечение далеко не все. Актуальность темы заключается в том, что золотое сечение широко используется не только в математике, но и в окружающем нас мире. Это всё побудило  меня заняться изучением вопроса  о золотом сечении и установить, где человечество нашло ему  практическое применение. Не буду стараться выяснять все области применения золотого сечения, так как это невозможно. Рассмотрю некоторые из них.

Я выдвинул гипотезу:  Представления о красоте, порядке и гармонии связаны с пропорциями.

Передо мной встала проблема: Подчиняются ли красота и гармония математическим расчётам? 

По данной исследовательской работе мной определена следующая цель:

Изучить закон золотого сечения и рассмотреть области его применения.

Исходя из вышеназванной цели, были обозначены следующие задачи:

1. Собрать информацию о  золотом сечении в различных источниках  и познакомиться с историей его возникновения.
2. Рассмотреть  золотые фигуры, решить задачи на их построение и доказать присутствие в них золотого отношения.
3. Изучить некоторые области применения золотого сечения.
4. Провести анкетирование, эксперимент и исследование пропорциональности человеческого  тела.
5. Обработать собранные данные по теме.
6. Оформить наработанный материал в виде проекта.

Решению поставленных задач было посвящено моё  исследование, которым я занимался 3 месяца. Я занимался поиском и сбором информации, изучал и анализировал собранный материал. Решал задачи на построение золотых фигур,  доказывал присутствие  в них золотого отношения,  исследовал  пентаграмму  и пропорциональность человеческого  тела. Провёл эксперимент и анкетирование учащихся и учителей, обработал их результаты. Было опрошено 16 учащихся 8-11 классов и 12 учителей (приложение №1). В эксперименте участвовало 20 человек (приложение №2). В марте занимался оформлением работы.

Для своего исследования я вначале изучил вопрос о золотом сечении. С понятием золотого сечения я познакомился в школьном учебнике («Математика» для  6 класса под редакцией  Н.Я. Виленкина), по которому я занимался. Историю возникновения данного закона я изучил по статьям, помещённых в журналах  «Математика в школе» разных лет, в Интернете. Вопрос о золотых фигурах в школьных учебниках не освящён вообще, а о практическом применении золотого сечения лишь упоминается  в учебнике «Математика» для 6 класса. По данным вопросам я нашёл много информации в Интернете, журналах «Математика в школе». В книге Волошинова А.В. «Математика и искусство» прочитал информацию о пентаграмме, что помогло мне исследовать её. В этой же книге помещено много интересного материала о золотом сечении и  его практическом применении. Для меня эта книга была сложна, так как написана научным языком, не всё было понятно. А вот информация о золотом сечении в детской энциклопедии для меня была доступна и проста.

Меня заинтересовал вопрос  о золотом сечении в пропорциональности человеческого тела, и я решил  провести исследование  тела человека. А также захотел дать правильный ответ на вопрос: «Мужское или женское тело красивее с точки зрения его пропорциональности?».

Чтобы выяснить, известна ли школьникам  информация о золотом сечении,  я провёл опрос учителей, учащихся  8-11 классов.

Методика исследования:

1. Изучение теоретического материала.
2. Изучение методик исследования.
3. Коммуникативный (анкетирование), метод измерения.
4. Эксперимент.

Вид проекта: информационно-исследовательский. Работу я  выполнял на занятиях математического кружка и в свободное время.

Объект исследования:  закон золотого сечения. Предмет исследования: тело человека.

II.основная часть

1.Понятие золотого сечения и история его возникновения.

Золотым сечением издавна называют определённое отношение длин отрезков. О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. При изображении пространственных фигур важное место занимает вопрос о нахождении наилучшего соотношения неравных частей, составляющих вместе единое целое. Его решение связывают с именем Пифагора (VI в. до н.э.), древнегреческого философа и математика. Он  установил, что наиболее совершенным делением целого на две неравные части является такое деление, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Идея золотого сечения принадлежит греческим ученым. В Древней Греции такое деление называлось гармоническим отношением, а в эпоху Возрождения его называли золотым сечением. Этот термин ввёл художник, учёный и изобретатель Леонардо да Винчи. В 1509 году монах Лука Пачоли, друг Леонардо, написал книгу о золотом сечении, которую назвал «Божественная пропорция». В III веке до н.э. Евклид рассматривал золотую пропорцию при построении пентаграммы во  второй книге своих «Начал». Существует мнение, что пентаграмму никто не изобретал. Её создала сама природа. Пентаграмма была известна значительно раньше, чем золотая пропорция.  Поэтому можно предположить, что пятиконечная звезда  «подсказала» древним наблюдателям золотую пропорцию. Во времена И.Кеплера  (1571-1630) эпитетами «божественная», «чудесная», «превосходнейшая» награждали именно золотое сечение.

Золотое отношение обычно обозначают буквой Ф – прописной буквой греческого алфавита. Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э. Выясним, каким числом выражается золотое сечение,  т.е. чему равно число Ф.

Пусть точка М делит отрезок АВ в золотом отношении (рис.1)

                                                                           рис.1

А                                    М                       В

Примем длину отрезка АВ за 1. Обозначим большую часть АМ  через х, тогда меньшая часть МВ равна 1-х. по определению золотого сечения должно выполняться равенство (1-х):х=х:1. Это уравнение сводится к квадратному уравнению х2+х-1=0. Решу его:

D= 12-4*1*(-1)=1+4=5;  х1=(-1 +√5):2 х2==(-1 -√5):2. Второй корень исключаем, т.к. это число отрицательно и не удовлетворяет условию задачи. Первый корень этого уравнения положителен,  и он приближённо равен 0,6. Значит число Ф≈0,618

2. Золотые фигуры.  Задачи.  

Задача на деление  отрезка в золотом отношении.

С помощью непосредственных измерений это сделать точно невозможно, поскольку число Ф иррационально. Древнегреческие мастера использовали циркуль и линейку, причём были найдены различные способы построения. Я покажу один из самых простых.

Решение: Пусть дан отрезок АВ (приложение №3), и надо осуществить его золотое сечение. Проведу к отрезку АВ (будем считать, что АВ=1) перпендикуляр ВМ=2АВ. Тогда АМ=√5. Из точки М проведу окружность радиуса МК, где МК=АВ. Тогда АК=√5-1. Теперь проведу окружность в точке А и радиусом АЕ=АК/2. Окружность пересечёт отрезок АВ в точке С золотого сечения. Найдена обычная точка на обычном отрезке. Но этой точкой обеспечивалось присутствие красоты, соразмерности всех частей.

Задача на построение золотого треугольника.

Золотой треугольник – это равнобедренный треугольник, у которого основание и боковая сторона находятся в золотом отношении. Стороны золотого треугольника образуют угол 360 при вершине и по 720 при основании. Основание, отложенное на боковую сторону,  делит её в золотом отношении. Длины биссектрис его углов при основании равны длине самого основания.

Решение:  Проведу произвольную прямую, отмечу на ней точку О. От точки О влево и вправо отложу отрезок произвольной величины (приложение №4). Получил отрезок  АВ. Проведу перпендикуляр к АВ через точку О,  отложу на перпендикуляре  три раза  отрезок   АО. Получу отрезок ОС. Треугольник АВС искомый золотой треугольник.

Доказательство: Треугольник АОС прямоугольный по построению. ОС= 3ОА по построению. По теореме Пифагора АС=√9ОА2+ОА2=2=ОА. =2ОА/ ОА=2/≈0,632, что близко к золотому сечению.

Задача на построение  золотого прямоугольника.

Решение: Начерчу произвольный квадрат и разделю его на два равных прямоугольника (приложение №5). В одном из прямоугольников проведу диагональ АВ. Циркулем проведу окружность радиуса АВ с центром в точке А. Продолжу основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и проведу под прямым углом вторую сторону  РК искомого прямоугольника. Прямоугольник МNКР золотой.

Доказательство: Обозначу сторону квадрата за а. Тогда АС=а/2. АВ- гипотенуза прямоугольного треугольника АСВ. По теореме Пифагора АВ=а√5/2. Найду длины сторон прямоугольника МNКР. МN=а, МР=а/2+ а√5/2=а(√5+1)/2.Найду отношение сторон прямоугольника меньшей к большей. МN: МР=а: а(√5+1)/2=2/(√5+1)= (√5-1)/2≈0,618

Задача на построение золотой спирали.

Решение: Золотой прямоугольник «сохраняет форму». Это значит, что если от него отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. И если этот процесс продолжить, то получим так называемые вращающиеся квадраты. Если соединить противоположные вершины квадратов плавной кривой, то получим кривую, которая называется «золотая спираль» (приложение №6).

Задача на построение  и исследование пятиконечной звезды (пентаграммы).

«Пятиконечной звезде – около 3000 лет. Её первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из Вавилонии в  Средиземноморье, как полагают, звёздчатый пятиугольник перевёз Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья, а также тайным опознавательным знаком. Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Чем же объясняется такая популярность звёздчатого пятиугольника? Тем, что совершенная форма этой геометрической фигуры радует глаз и разум. Звёздчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции. Красота формы пентаграммы вытекает из внутренней красоты её математического строения» [2].Рассмотрю подробнее свойства звёздчатого пятиугольника. Исследую звезду и докажу, что в нём присутствует золотое сечение (приложение №7).

3. Золотое сечение в архитектуре.

Различают архитектурные пропорции и пропорции, используемые для изображения человеческого тела и лица. Самые простые пропорции основаны на кратких и целочисленных отношениях, например 1:2, 3:4 и т.д. Но уже с древности широко распространились системы пропорционирования, приводящие к иррациональным отношениям. Самым популярным из них является золотое сечение.

Золотое сечение - это выражение совершенной пропорции. Греки использовали этот принцип в архитектуре. Это означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей здания. Одним их красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н.э.). Строительством храма Парфенон в Афинах руководил древнегреческий скульптор Фидий. В пропорциях этого храма многократно присутствует число Ф. Отношение высоты здания к его длине равно 0, 618.

Другим примером из архитектуры древности является Пантеон. Из всех древних зданий наилучшим образом сохранился Пантеон. Он до сих пор поражает воображение. Здание украшено цветным мрамором. До сих пор Пантеон остается действующим храмом, здесь располагается христианская церковь. Примером использования золотого сечения в архитектуре также является Покровский собор (собор Василия Блаженного). Он был построен в честь взятия русскими войсками Казани в 16 веке. Этот удивительный по своей красоте храм строили русские мастера Барма и Постник.

Храм Покрова Богородицы на Нерли был построен в 1165 году, посвящен новому празднику на Руси - Покрова Богородицы. Пропорции и простота этого храма делают его светлым, легким, невесомым (приложение №8).

4.Золотое сечение в скульптуре

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции золотого сечения создают впечатление гармонии, красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении золотого сечения. Так, например, знаменитая статуя Апполона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал золотое сечение в своих произведениях. Самым знаменитым из них была статуя Зевса Олимпийского (одно из чудес света) (приложение №9).

Меня заинтересовал вопрос о пропорциональности человеческого тела. За основу я взял утверждение скульпторов и, чтобы убедиться в его справедливости,  я исследовал тело человека. «Если мы человеческую фигуру - самое совершенное творение Вселенной - перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет  относиться к расстоянию  от того же пояса до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней. Если теперь измерим длину от макушки до среднего пальца, когда руки опущены по швам, то эта величина по отношению к расстоянию от среднего пальца до ступни составит то же число, что и отношение всего роста к этой величине» [7]. В исследовании  мне согласились помочь 5 человек. Я измерил рост и части тела как на рисунке (приложение №10) у 3 мужчин 3 женщин разного возраста. Хочу заметить, что в литературе встречается ещё одно определение золотого сечения. Это такое деление отрезка точкой, при котором  отношение всего отрезка к большей его части равно отношению большей части отрезка к меньшей. И тогда говорят, что Ф≈1, 618. При исследовании я пользовался определением золотого сечения данного выше.

Результаты исследования.

Вывод: В результате исследования я убедился, что действительно точкой золотого сечения человеческого тела является талия (точка пупа) и точка среднего пальца, когда руки опущены по швам. Я выяснил, что для взрослых испытуемых мной мужчин отношения размеров тела в среднем равны 0,61784, а для женщин 0, 617084. Действительно пропорции тела человека близки к золотому сечению. Я убедился в том, что пропорции мужчин ближе к золотому сечению, чем пропорции женщин.

В середине 19 века немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около 2000 человеческих тел и пришёл к выводу, что пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 8:13≈0, 615, а пропорции женского тела колеблются в пределах среднего отношения 5:8≈0,625. Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского.

5.Золотое сечение в живописи

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно притягивающие наше внимание, так называемые зрительные центры. Таких точек всего 4 и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Это «золотое сечение» картины. Чтобы привлечь внимание к главному элементу картины, надо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

Примером использования золотого сечения в живописи  просматриваются в картинах И.И. Шишкина:  «Корабельная роща», «На севере диком», «Утро в сосновом лесу». В картине В.И.Сурикова «Боярыня Морозова» также  присутствует золотое сечение.

Холст, на котором написана картина «Тайная вечеря» Сальвадора Дали, имеет форму золотого прямоугольника. Он использовался для создания у зрителей ощущения покоя, уравновешенности.

Примером использования золотой спирали в живописи является картина «Избиение младенцев» Рафаэля. Золотая спираль применялась для выражения тревоги, бурных событий.

Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи «Джоконда». Портрет Моно Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на «золотых треугольниках» (приложение № 11).

6.Золотое сечение в природе

Даже сама природа подчиняется закону «Золотого сечения». Если рассмотреть расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и В) третья расположена в месте золотого сечения (точка В). Золотую спираль в природе представляют раковины многих молюссков. Рога архаров закручиваются по золотой спирали. Паук эпейра сплетает паутину по золотой спирали. Спиралью закручивается ураган. Семечки в корзине подсолнуха выстраиваются по спирали, а также чешуйки сосновых шишек и ячейки ананасов.

7.Золотое сечение в музыке

Если «измерить» музыкальное произведение по времени его исполнения, тогда в точке золотого сечения будет кульминация музыкального произведения ,т.е. это может быть самый яркий момент, самый тихий или самый звуковысотный момент. Но бывает, что в точке золотого сечения появляется новая музыкальная тема. Ещё в 1925 году искусствовед Л.Л.Сабанеев проанализировал 1770 музыкальных произведений 42 авторов. Он показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Причём, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена. Он обнаружил в них 178 золотых сечений. Наибольшее количество произведений, в которых имеется золотое сечение, у Бетховена(97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

III Заключение

В результате проведённого исследования я выяснил некоторые области применения золотого сечения,  изучил закон золотого сечения, познакомился с историей его возникновения.  Мной собрано и обработано много материала из литературных источников и Интернета по данной теме.  Решил задачи на построение золотых фигур и на доказательство присутствия в них золотого отношения. Я узнал много интересных фактов. Искусству присуще стремление к соразмерности и гармонии. Мы находим их в пропорциях архитектуры и скульптуры, в расположении предметов и фигур, в живописи и во многом другом. Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы.  Да, сама природа создаёт красоту по законам математики. Рассмотренные мной золотые фигуры притягивают взгляд, потому что у них красивая и совершенная форма. В них присутствует золотая пропорция. Красота скульптуры, красота храма, красота картины, красота человеческого тела, красота музыки,  красота окружающей нас природы. Что между ними общего? Разве можно сравнить эту красоту? Оказывается можно. Их объединяет единый критерий прекрасного – золотое сечение. Главным в работе считаю то, что решил поставленную проблему. Я убедился в том, что красота  и гармония подчиняются математическим расчетам.  Чтобы произведение искусства было красивым,  надо обязательно знать законы математики. В природе всё взаимосвязано: и искусство, и наука. Гипотеза моего исследования нашла подтверждение в работе: представления о красоте, порядке и гармонии связаны с пропорциями. Благодаря исследованию пропорциональности человеческого тела, я убедился  в следующем: пропорции мужского тела ближе к золотому сечению, чем пропорции женского тела, а значит мужское тело красивее  и совершеннее женского. В дальнейшем планирую продолжить исследования по данной теме. Рассмотрю применение золотого сечения в литературе, биологии, химии. Исследую другие части тела человека на наличие золотого отношения (рука, лицо).

Результатом моей работы считаю:

1. Изучил закон золотого сечения и познакомился с историей его возникновения;
2. Рассмотрел  золотые фигуры, решил задачи на их построение и доказал присутствие в них золотого отношения;
3. Изучил некоторые области применения золотого сечения;
4. Провёл анкетирование и исследование пропорциональности человеческого тела;
5. Приобрел навык работы с литературными источниками, поиска нужного материала в Интернете;
6. Научился работать с большим объёмом информации, отбирать нужную информацию;
7. Приобрёл опыт обработки данных и написания исследовательского проекта.

Я считаю, что  моя работа и результаты исследования могут быть  использованы учителями математики, биологии на уроках, на занятиях кружка,  элективных курсах как интересный дополнительный материал.

IV. Список используемой литературы:

1. Виленкин Н.Я. и др. Математика 6. -  М.: Мнемозина, 2007, 287 с.
2. Волошинов А.В.  Математика и искусство.- М.: Просвещение, 2000,
3. Лаврус  В.  Золотое сечение. http://n-t.ru/tp/iz/zs 
4. Нафиков Н.Н. Гипотеза об истоке золотого сечения. Математика в школе. - М.:  Школа-Пресс,  1994, №3, 80 с.
5. Смирнова И.В. Уроки стереометрии в гуманитарных классах. Математика в школе. - М.:  Школа-Пресс,  1994, №2, 80 с.
6. Чепракова Е.И., Липкина Т.А. Присутствие красоты. Математика в школе. - М.: Школа-Пресс, 2001, №3, 76 с.
7. Шкруднев Ф.Д. Золотое сечение. http://samlib.ru/s/shkrudnew_f_d/osnovy-30.shtml     
8. Энциклопедия для детей. Числа Фидия и золотое сечение. Т.11. Математика. - М.: Аванта+, 2002, 621 с.
9. Ятайкина А.А., Пашкина О.А. О золотом сечении и не только о нём. Математика в школе. - М.:  Школа-Пресс,  2001, №3, 76 с.