"Системы счисления"

Системы счисления

Дюсенбаев Айдарбек

Серикович

Челябинская область

Варненский район

п. Арчаглы – Аят

МОУ СОШ, 6 класс.

Введение

        Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, "по-арабски". Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.

Но, тем не менее, числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буковки, другие - значки, третьи - закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень.

Так возникла проблема: «Какие виды систем счисления существуют и где их можно встретить в повседневной жизни?»

Это как минимум, потому что интересно понимать, что и как устроено. Если бы человек не был любопытным (или любознательным?), мы бы до сих пор жили в пещерах и боялись злых духов.

Не зная прошлого, невозможно постичь настоящее и построить будущее.        

Актуальность исследования.Системы счисления известны были ещё в древности, ими все пользуются при счете, но  не все системы счисления распространены сегодня. В связи с развитием информационных технологий они нашли своё применение в компьютерной технике, поэтому об их  прикладной направленности  можно  говорить и сегодня.  

Целью исследовательской работы является:

Рассмотрение взаимодействия  и практического применения различных систем счисления и нумераций в современной жизни.

Для достижения поставленной цели были определены и решены следующие основные задачи исследования:

• Изучить историю возникновения счета на Земле.
• Рассмотреть сферы применения основных систем счисления и нумераций, сделать их сравнительный анализ.
• Рассмотреть число учащихся МОУ СОШ  п. Арчаглы – Аят в различных системах счисления.

Методологической и теоретической основой исследования послужили труды ведущих отечественных и зарубежных математиков. В качестве исходной информации при проведении исследования использовались разработки отечественных и зарубежных специалистов, результаты собственных исследований автора.

Методы исследования. В процессе изучения, анализа и обработки накопленных материалов применялись следующие методы и приёмы: монографических изучений, абстрактно – логический, анализа и сравнений, расчётно–конструктивный.

Практическая значимость проведённого исследования состоит в разработке предложений и рекомендаций по применению различных систем счисления для решения различных задач современной жизни.

1. Самая простая система счисления.

В этой системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Ее можно изобразить в виде палочки ⏐, кружочка ⊗, или любой другой фигуры. Числа будут записываться примерно так:

Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется в основном народами, не имеющими письменности.

Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками в тетради количество проданных товаров.

Данная система счисления была еще у древних людей. Какое число нужно записать, столько сделают засечек на палке, или в кучку камешков положат. Но это удобно, пока числа небольшие. Вы только представьте себе число 1 000 записанное с помощью кучки камушков, а 1 000 000? Неудобно?

Тогда стали люди придумывать как по другому записывать большие числа. Для начала решили, что каждые 10 палочек заменять загогулинкой, и счет пошел легче! Так появилась аддитивная система счисления.

2.  Аддитивные системы счисления.

В этой системе счисления для записи чисел используется уже не одна, а несколько цифр. Они могут изображаться так, как взбредет в голову, но только разные цифры должны выглядеть по-разному. Например в Египте единицы записывали палочками , а десяток палочек заменяли на изображение пут для коров, десяток пут - одна мерная веревка, и т. д. Для того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому такие системы назвали аддитивными (add добавлять, складывать англ.).

Такая система счисления уже годится для записи чисел, но она крайне неудобна для счета.

Вы только попробуйте перемножить два вот таких числа:

А ведь всего-то это 1457 × 2026. Удобств для счета, как мы видим ни каких. Такой системой счисления пользовались Египтяне, Ацтеки, племена Майя.  Но люди никогда не стоят на месте, они постоянно чего-нибудь изобретают. Не захотелось людям вырисовывать по десятку палочек да загогулинок, и решили каждое круглое число обозначить по-особому. Но для этого потребовалось большое количество цифр-символов, и, чтобы не изобретать велосипед, решили использовать алфавит. Так и появилась на свет алфавитная аддитивная система счисления.

2.1 Алфавитные аддитивные системы счисления.

В этой системе счисления для записи чисел используется уже не несколько цифр, а большая часть алфавита. Все цифры здесь изображаются в точности так же, как и буквы алфавита того народа, который использовал эту систему.Эта система счисления была очень распространена. Даже по сей день, мы часто используем, например, римские цифры.Такая система счисления уже годится для записи чисел, но она крайне неудобна для счета. Любое из четырех действий арифметики может вызвать затруднение. Для счета здесь нужна большая сноровка.

Вы только попробуйте разделить два вот таких числа:

XCIX и XXXIII

А ведь всего-то это 99 : 33.Удобств для счета, как мы видим ни каких. Такой системой счисления пользовались Римляне,  Греки,  Арабы,  Евреи,  Сирийцы, Славяне,  Грузины.

Такая система очень долго использовалась по всей Европе, и во многих государствах за ее пределами.

3. Мультипликативные системы счисления.

Но далеко не все народы делали свои записи с помощью алфавита или слоговых знаков (об алфавитах и слоговых знаках здесь). В Китае иероглифы не позволили появиться такой системе счисления, и тогда ученые изобрели немного другую систему, названную мультипликативная система счисления. Эта система имела одно очень важное свойство: в ней одна и та же цифра, в зависимости от расположения в записи числа могла иметь разные значения. Именно такой системой счисления мы с Вами сейчас и пользуемся.

В таких системах счисления для записи чисел используется уже определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Все цифры здесь изображаются определенными символами.

Например0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, …, 99, 100, 101 …

Запись числа 1999 означает, что 1×1000 + 9×100 + 9×10 + 9. Для того, чтобы "собрать" такое число используется умножение (multiplication англ.), из-за чего систему и назвали "мультипликативной".

Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо развитой математикой. По сей день мы используем только такую систему счисления.

Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета. Любое из действий арифметики и алгебры может быть выполнено легко. Для счета здесь не нужна большая сноровка.

Впервые такая система, вернее ее зачатки появилась в Древнем Вавилоне, почти в то же время она была изобретена в Китае, потом в Индии, откуда перекочевала на Аравийский полуостров, а затем и в Европу. Здесь эту систему счисления назвали Арабской, и под этим именем она разошлась по всему миру. Так что, говоря "арабские числа" надо иметь в виду, ну, хотя бы индийские.

3.1. Египетская нумерация

Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.

- 1207,                       - 1 023 029

Попробуйте сложить эти два числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя.

3.2. Вавилонская нумерация

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация тоже поместная. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной. Числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков:    для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например

- 3; - 20; - 32

а это число 59.

Вавилонский способ обозначения чисел больше 60 очень похож на наш: В этом случае цифры записываются по разрядам, с небольшими пробелами между:

Так записывается число 302, то есть 5×60+2

А это 1×60×60+2×60+5 = 3725

При отсутствии разряда вставлялся значек, игравший роль нуля.

это запись числа 7203 (2×60×60+3)

Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 3×60 записывалось так , а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800(3×60×60), и т. д. Различать эти числа можно было только по смыслу текста.

Шестидесятеричная система счисления появилась у вавилонян позже десятеричной, ибо числа до 60 записываются в ней по десятичному принципу. Но до сих пор неизвестно, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система. На этот счет строилось множество гипотез, но ни одна не доказана.

Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы: Ближний Восток, Средняя Азия, Северная Африка, Западная Европа пользовались ими. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, т. е. До начала XVII века. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.

3.3 Славянская кириллическая нумерация

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Интереснее всего записывались числа второго десятка:

Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре на десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре на десять. И так для всех чисел от 11 до 19. Таким образом у славян мы прослеживаем десятеричную систему счисления.

Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение:

= 800+60+3

Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.

Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве. Так образовывались числительные Тысяща - 1 000, Леон - 10 000, Одр - 100 000, Вран (ворон) - 1 000 000, Колода - 10 000 000, Тьма - 100 000 000.

        Со словом "Тьма" связана поговорка "тьма-тьмущая", означающая немыслимо много. В "Слове о полку Игореве" мы встречаем фразу "орда покрыла вороновым крылом", которую можно истолковать как "побила большой силой", где "большой" можно сравнить с полумиллионом человек.

        В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация".

 3.4 Латинская (Римская) нумерация

Это, наверное, самая известная нумерация, после арабской. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д.

Возникла эта нумерация в древнем Риме. Использовалась она для аддитивной алфавитной системы счисления

Прежде знак M изображался знаком Ф, потому то 500 и стал изображать знак D как "половина" Ф. Так же построена и пары L и C, X и V.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание.

CCXXXVII = 100+100+10+10+10+5+1+1 = 237

Но

XXXIX = 10+10+10-1+10 = 39

Есть правило, по которому нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифры, такая комбинация заменяется комбинацией с правилом вычитания, например:

XXXX = XC (50-10)

IIII = IV (5-1)

CCCC = CD (500-100)

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. В языке же римлян ни каких следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (скорее всего этрусков).

Такая нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века.

3.5 Новая или арабская нумерация

Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация. Название "арабская" для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации - Индия.

В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит "Деванагари".

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой переход - до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию.

Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее "арабской". Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (перевод санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.

4. Системы счисления используемые в ЭВМ.

        От того, какая система счисления будет использована в ЭВМ, зависят скорость вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций.

Дело в том, что для физического представления (изображения) чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления.

Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей для использования в ЭВМ. Для изображения любого числа в десятичной системе счисления требуется десять различных символов. При реализации в ЭВМ этой системы счисления необходимы функциональные элементы, имеющие ровно десять устойчивых состояний. Так, в арифмометрах используются вращающиеся шестеренки, в которых фиксируется десять устойчивых положений. Но арифмометр и другие подобные механические устройства имеют серьезный недостаток- низкое быстродействие.

Создание электронных элиментов, имеющих много устойчивых состояний, затруднено. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний, например:
--электромагнитные реле замкнуто или разомкнуто;
--ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена;
--магнитный сердечник намагничен в одном направлении или в противоположном;
--транзисторный ключ находится в проводящем состоянии или запертом и т.д.

Одно из этих устойчивих состояний может представляться с цифрой 0, другое- цифрой 1. С двоичной системой связаны и другие существенные приемущества. Она обеспечивает максимальную устойчивость в процессе передачи информации как между отдельными узлами автоматического устройства, так и на большие расстояния. В ней предельно просто выполняются арифметические действия и возможно применения аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Большое применение в ЭВМ нашли также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Обмен информацией между устройствами большинства ЭВМ осуществляется путем передачи двоичных чисел. Пользоваться такими числами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты(программисты, инженеры) как на этапах составления программ для ЭВМ, их отладки, ручного ввода/вывода данных, так и на этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют коды машинных команд, адреса и операнды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа. Таким образом, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления выступают в качестве простейшего языка общения человека с ЭВМ, достаточно близкого как к привычной для человека десятичной системе счисления, так и к двоичному"языку" машины.

        Как правило, пользователь ЭВМ вводит исходную информацию и получает результат решения задачи в десятичной системе счисления.

        При вводе информации в ЭВМ каждая десятичная цифра заменяется ее двоичным эквивалентном в виде тетрады (четыре двоичных разряда). Десятичное число требует для своего изображения стольких тетрад, сколько имеется десятичных разрядов в числе. Таким образом, десятичные цифры представляются в двоичной системе счисления, а все разряды без изменения -- в десятичной системе счисления. Это позволяет выполнять арифметические операции в десятичной системе счисления, используя двоичные элементы для хранения и переработки числовой информации. Такая форма представления данных называется двоично-десятичной. Говорят о двоично-десятичном коде (ДДК) или смешанной двоично-десятичной системе счисления.

        Перед математиками и конструкторами в 50-х гг. встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.

        Специалисты выделили так называемую "машинную" группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы. К "машинной" группе систем счисления относятся:

 --двоичная;
-- восьмеричная;
-- шестнадцатеричная.

        Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г.В.Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

        Из истории известен курьезный случай с восьмеричной системой счисления. Шведский король Карл XII в 1717 г. увлекался восьмеричной системой счисления, считал ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским приказом ввести ее как общепринятую. Неожиданная смерть помешала королю осуществить столь необычное намерение.

4.1  Десятичная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Для изображения чисел больших 9 применяется позиционный способ записи числа. Значение цифры зависит от ее положения в числе.

Например, число 1998. Девятка на третьей позиции справа меньше чем единица на четвертой позиции справа, 900<100

Это число можно представить как сумму:

1998 = 1000 + 900 + 90 + 8, или
1998 = 1·103 + 9·102 + 9·101 + 8·100

Дробные числа могут быть записаны следующим образом:
70,25 = 7·101 + 0·100 + 2·10-1 + 5·10-2

В качестве коэффициентов у степени десятки выступают цифры:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Арифметические действия сложения, вычитания, умножения и деления многократно проверены в школе. Выполняются!

4.2  Двоичная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1. Для изображения чисел больших 1 применяется позиционный способ записи числа,.

Двоичные числа можно представить в виде суммы ряда степеней двойки, аналогично десятичной системе счисления. Основанием будут служить степени 2, а коэффициентами числа: 0,1.
...+ k·23 + k·22 + k·21 + k·20, где
k - коэффициент

Возведем основание в степень. Получим ряд чисел:
...+ 8 + 4 + 2 + 1

Предлагается прием записи двоичных чисел:
Например, нам надо изобразить число 5
смотрим на строку 8 + 4 + 2 + 1 и складываем цифры так, чтобы получиловь требуемое десятичное число. Если цифра входит в сумму то на ее позиции ставим 1, если не входит, то ставим 0. Для получения 5 нам нужны числа 4 и 1, значит число будет выглядеть так:
0101
Первый 0 можно не записывать, получаем
101
Читается: один нуль один (сто один - не верно)

Запомним:
Единица на первой позиции справа играет роль 1;
Единица на второй позиции играет роль 2;
Единица на третьей позиции играет роль 4;
Единица на четвертой позиции играет роль 8 и т.д.
А нуль, он и в Африке нуль.

Составим таблицу перевода десятичных чисел в двоичные:

Полезно запомнить ряд степеней двойки:
128+64+32+16+8+4+2+1

Это замечательный ряд. Компьютер работает с ним постоянно. Каждый раз когда вы нажимаете любую клавишу, компьютер складывает этот ряд, определяет код символа и печатает его на экране. 8 бит (нулей или единиц) образуют байт. Предлагаем Вам поработать с байтом.

4.2.1 Арифметические действия в двоичной системе счисления

Двоичное сложение предельно просто. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос единицы в старший разряд.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенными таблицами сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Попробуйте свои силы в испытателесложения двоичных чисел.

Двоичное вычитание рассмотрим на примере.

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенными таблицами вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов.

4.2.2   Перевод целых десятичных чисел в двоичные.

Для того, чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы счисления в двоичную, необходимо:

шаг 1: разделить делимое на 2; зафиксировать остаток (0 или 1) и частное;

шаг 2: сравнить частное с единицей: если частное не равно единице, то продолжить действия - вернуться к шагу 1, предварительно отправив частное на место делимого; если частное равно единице, то перейти к шагу 3;

шаг 3: Зафиксированные в процессе выполнения предыдущих шагов остатки записать в обратном порядке в виде двоичного числа.

Полученная таким образом последовательность нулей и единиц дает представление десятичного числа в системе счисления с основанием 2.

4.2.3  Перевод десятичных дробей в двоичные.

Рассмотрим правильные десятичные дроби. Это дроби вида:
0,48 = 0·100 + 4·10-1 + 8·10-2
0,169 = 0·100 + 1·10-1 + 6·10-2+ 9·10-3

сверху вниз в виде двоичного числа. Как будет выглядеть десятичная дробь 0,12510 = ?2 в форме двоичного числа?

шаг 1: умножим дробную часть на 2;

шаг 2: отделить целую часть произведения (0 или 1), записать дробную часть произведения; действия продолжать до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.

шаг 3: Зафиксированные в процессе выполнения предыдущих шагов целые части записать

таким образом получаем:
0,12510 = 0,0012

4.2.4  Восьмеричная система счисления

Для изображения чисел используются цифры:0,1,2,3,4,5,6,7. Для изображения чисел больших 7 применяется позиционный способ записи числа. Значение цифры зависит от ее положения в числе.

Восьмеричные числа можно представить в виде суммы ряда степеней восьмерки, аналогично десятичной системе счисления. Основанием будут служить степени 8, а коэффициентами числа: 0,1,2,3,4,5,6,7.
...+ k·83 + k·82 + k·81 + k·80, где
k - коэффициент

4.2.5  Шестнадцатеричная система счисления

Для изображения чисел используются символы:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.

Для изображения чисел больших 15 применяется позиционный способ записи числа.

Шестнадцатеричная числа можно представить в виде суммы ряда степеней 16, аналогично десятичной системе счисления. Основанием будут служить степени 16, а коэффициентами числа: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.
...+ k·163 + k·162 + k·161 + k·80, где
k - коэффициент

5. Представление числа учащихся МОУ СОШ п. Арчаглы-Аят в различных системах счисления.

Система счисления - очень сложное понятие. Оно включает в себя все законы, по которым числа записываются и читаются, а так же те, по которым производятся операции над ними.

Самое главное, что нужно знать о системе счисления - ее тип: аддитивная или мультипликативная.) и порядок записи. Например, в Латинской записи, если меньшая цифра записана перед большей. Для аддитивной системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4 - 5 десятков, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5-1) = 4; VI = (5+1) = 6).

 Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется "десятичная". В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления - десятичная.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. "Но на одной то руке всего пять пальцев" - скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. "А с ногами - двадцать пальцев" - скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

Очень интересно понятие "дюжина". Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число - мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.

В разных цивилизациях считали по-разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда-то использовавшихся этим народом.

Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как "четырежды двадцать".

Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как Vни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X - это две таких же руки.