Математические парадоксы и софизмы.
В этом году в школе прошла очередная НПК, в которой приняли участие многие учащиеся. Среди них был и ученик 10 класса Сегеда Михаил. Он представил вниманию жюри работу о парадоксах и софизмах в математике.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 matematika.pptx | 1.66 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель: изучить данную тему Задачи : Дать определение понятиям «софизм» и «парадоксы»; узнать, в чем их отличие. Классифицировать различные виды софизмов и парадоксов. Понять, как найти в них ошибку .
Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Математические софизмы Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова)
Парадокс (греч. "пара" - "против", " докса " - "мнение") близок к софизму . Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова). Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь. Парадоксы
В Греции софистами называли и простых ораторов- философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить, говорить и делать». Их задачей обычно было научить убедительно защитить любую точку зрения. Парадоксы были типичными способами постановки вопроса в античном мышлении. За свою историю математика испытала три сильнейших потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов. А теперь немного истории…
арифметические геометрические алгебраические Математические софизмы В своей работе я рассмотрел много математических софизмов и сейчас приведу примеры некоторых из них.
Алгебраические софизмы. Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
«Два неодинаковых натуральных числа равны между собой» решим систему двух уравнений Сделаем это подстановкой у из 2-го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6 Где ошибка Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде: Х+2у=6, Х+2у=8 В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
« Уравнение x-a=0 не имеет корней» Дано уравнение x - a=0 . Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней. Где ошибка? Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.
«Все числа равны между собой» . возьмём числа a < b, тогда существует такое c > 0, что: a + c = b умножим обе части на ( a − b ), имеем: ( a + c )( a − b ) = b ( a − b ) a 2 + ca − ab − cb = ba − b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + ca − ab = ba − b 2 + cb a ( a + c − b ) = b ( a − b + c ) отсюда a = b Где ошибка? По определению : a + c = b Значит, a + c − b = 0 И выражение a ( a + c − b ) = b ( a + c − b ) Тождественно a ∙ 0 = b ∙ 0.
Арифметика - (греч. arithmetika , от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
«Дважды два - пять» Напишем тождество 4:4=5:5. Вынесем из каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4(1:1)=5(1:1) или Так как 1:1=1, то сократим и получим Где ошибка? Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1).
«Пять равно шести» Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54. В каждой части вынесем за скобки общий множитель: 5(7+2-9)=6(7+2-9). Теперь, получим, что 5=6. Где ошибка? Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2-9)=6(7+2-9) на число 7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать. Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0 .
« Один рубль не равен ста копейкам» Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно , не нарушая при этом равенства, т. е.если а = b и c = d , то ac = bd . Применим это положение к двум очевидным равенствам : 1 рубль = 100 копейкам и 10 рублей = 1000 копеек Перемножая эти равенства почленно , получим 10 рублей = 100 000 копеек и разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
«Один рубль не равен ста копейкам» Где ошибка? Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
Геометрические софизмы Это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или противоречивое утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними
. « Катет равен гипотенузе »
«Все треугольники равнобедренные» .
«Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»
Задача о треугольнике
Парадокс «Разность квадратов» 1) а²-а² = а²-а² - имеем равенство 2) а(а-а) = (а+а)(а-а) – в первой части вынесем общий множитель за скобки, а во второй воспользуемся формулой 3) а = а+а – сократим на общий множитель (а-а) 4) а = 2а.
Парадокс «Закономерность» Какое число следующее? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Ответ: 144, т.к. данный ряд является числами Фибоначчи, где каждое число – сумма двух предыдущих.
Заключение Я познакомился с увлекательной темой, узнал много нового, научился решать задачки на софизмы, находить в них ошибку, разбираться в парадоксах. Тема моей работы далеко не исчерпана. Я рассмотрел лишь некоторые, самые известные примеры софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
Литература 1. Lietzman W. Wo steckt der Fehler? Mathematische Trugschlüsse und Warnzeichen. – Leipzig? 1952 2. Аменицкий Н. Математические развлечения и любопытные приемы мышления. – М., 1912 3. Богомолов С. А. Актуальная бесконечность. – М.; Л., 1934 4. Больцано Б. Парадоксы бесконечного. – Одесса, 1911 5. Брадис В. М., Харчева А. К. Ошибки в математических рассуждениях. – М., 1938 6. Горячев Д. Н., Воронец А. М. Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики. – М., 1903 7. Литцман В., Трир Ф. Где ошибка? – СПб., 1919 8. Лямин А. А. Математические парадоксы и интересные задачи. – М., 1911 9. Мадера А.Г., Мадера Д.А. Математические софизмы. – М.: Просвещение, 2003 10. Обреимов В. И. Математические софизмы. – 2-е изд. – СПб., 1889 .
Спасибо за внимание !
Астрономический календарь. Декабрь, 2018
Прыжок (быль). Л.Н.Толстой
Л. Нечаев. Яма
Сказка об одной Тайне
Компас своими руками