Геометрия вокруг нас

Слайд 1

Слайд 2

Введение Геометрия имеет древнюю и богатую историю, а истоки её, как и других наук, лежат в практической деятельности людей. Необходимость повседневного удовлетворения различных жизненных потребностей ставит человека перед целым рядом вопросов о форме окружающих его предметов, вычислениях, связанных со строительным делом, практическим сельским хозяйством и т. д. Само слово «геометрия» — греческое, в переводе оно означает «землемерие». Люди очень рано столкнулись с необходи­мостью измерять земельные участки. Уже за 3—4 тыс. лет до н. э. каждый клочок плодород­ной земли в долинах Нила, Тигра и Евфрата имел значение для жизни людей. После разлива рек, особенно Нила, приходилось вновь делить землю. Это требовало определенного запаса гео­метрических и арифметических знаний. По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тыс. лет до н. э. люди умели определять пло­щади треугольников, прямоугольников, тра­пеций, приближенно вычислять площадь кру­га. Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измере­нии земли. Развитие архитектуры, а несколько позднее и астрономии предъявило геометрии новые требования. И в Египте, и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строитель­ство которых могло производиться только на основе предварительных расчетов.

Слайд 3

Египетский треугольник Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что все три стороны его целочисленны , а по теореме, обратной теореме Пифагора, он прямоуголен. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями. Радиус вписанной в треугольник окружности равен единице. Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII—V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 г. до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы. Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности. Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

Слайд 4

Древние знания В VI в. до н. э. в одном из древнегреческих государств на острове Самос был построен водопровод, по которому вода в город поступала из источника, лежащего за горой Кастро. Водопровод про­ходил через туннель длиной в 1 км. Замечатель­но, что туннель этот начали рыть с обеих сто­рон одновременно и оба участка его почти точно сошлись под землей! Это значит, что предвари­тельно было определено направление туннеля, т. е. решена задача вычислительной геометрии, которая и сейчас считается в инженерном деле отнюдь не простой. При этом строители древности должны были пользоваться какими-то чер­тежами, должны были знать учение о подобии. Еще до Пифагора были хорошо известны част­ные случаи теоремы, носящей его имя. А именно: было известно, что если длины сторон прямо­угольного треугольника могут быть выражены в целых числах, то квадрат длины гипотену­зы равен сумме квадратов длин катетов. Зна­ли уже и обратную теорему: если а, b и с такие целые числа, что c 2 =a 2 +b 2 (например, а=3, b=4, с=5 ), то треугольник со сторонами а, b, с будет прямоугольным. Именно в таком виде «теорема Пифагора» и обратное ей предложе­ние были известны в Вавилоне . А равенство было известно уже египтянам около 2300 года до нашей эры во времена царя Аменемхета I. И все же, несмотря на то что человечество накопило такие обширные знания, геометрия как наука еще не существовала. Дело в том, что в странах Древнего Востока, о которых шла речь, геометрические знания напоминали сборник мало связанных между собой полезных рецептов, их даже и излагали так, как в наши дни кулинарные рецепты или советы по домоводству. Для решения задачи приводился рецепт, в правильности которого можно было убедиться на конкретных примерах. Общие же предложения не доказывались.

Слайд 5

Рождение науки Примерно такой же характер имели геомет­рические знания и в древней Греции в VII—VI вв. до н. э. Греческая культура была более молодой, и поэтому многие научные сведения греки заимствовали у египтян и вавилонян. Но именно здесь, в Греции, в VI в. до н. э. и про­изошло коренное преобразование способа из­учения геометрии, здесь и возникла она как наука. Это было время установления демократии в большинстве греческих городов-государств, вре­мя бурного развития общественно-политической жизни Греции и появления научно-фило­софских школ. В этих школах ученые впервые в истории человечества пытались понять и объ­яснить устройство мира с естественнонаучной и философской точек зрения. До этого в стра­нах Древнего Востока господствовали догматы религии, в которые надо было верить, обсуж­дать их было нельзя. В Греции же каждая из школ старалась доказать правильность своей теории и опровергнуть противников, показав, что их доводы логически противоречивы. Логиче­ские рассуждения получили в это время ши­рокое применение не только в естественных науках и философии, но и в судах, и в народных собраниях. Особенно большую роль сыграли логические рассуждения в геометрии — они-то и сделали из собрания геометрических фактов стройную науку. Сами греки связывали рождение геомет­рии с деятельностью Пифагора и его школы. О Пифагоре у нас нет почти никаких достоверных сведений; уже в древности его имя было окру­жено самыми фантастическими легендами. Известно только, что Пифагор переселился около середины VI в. до н. э. с острова Самос в Южную Италию (так называемую Великую Грецию), где находились богатые греческие города-коло­нии, и основал там союз, имевший и политиче­ские и научные цели. Мы знаем выдающихся математиков V в. до н. э., которые называли себя пифагорейцами , и поэтому у нас есть все основания говорить о пифагорейской математи­ческой школе, хотя мы не знаем в точности, какие открытия были сделаны самим Пифагором, а какие принадлежат его последователям.

Слайд 6

Теорема Пифагора и Пифагорова тройка Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральных чисел ( x, y, z), удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению: . При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотя открыты значительно раньше . Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое геометрическое доказательство приписывается Пифагору. Утверждение появляется как Предложение 47 в «Началах» Евклида. Теорема также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение: треугольник, сумма квадратов длин двух сторон которого равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным. Существует ряд обобщений данной теоремы — для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется. Интересные факты: 1. Происхождение штанов понятно: построенные (для доказательства Евклида) на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов. Правда, это как посмотреть: средневековые школяры называли эту теорему « pons asinorum », что означает «ослиный мост». . Сам же Пифагор никогда не носил штанов – в те времена греки их не знали. 2 . Книга рекордов Гиннесса называет теорему Пифагора теоремой с максимальным числом доказательств. И поясняет в 1940 году была опубликована книга, которая содержала триста семьдесят доказательств теоремы Пифагора, включая одно предложенное президентом США Джеймсом Абрамом Гарфилдом . Теорему Пифагора доказывали через подобные треугольники, методом площадей и даже через дифференциальные уравнения – это сделал английский математик начала двадцатого века Годфри Харди. Известны доказательства теоремы Пифагора, предложенные Евклидом и Леонардо Да Винчи. А Электроник – мальчик из чемоданчика в книге Евгения Велтистова знал целых двенадцать способов, а среди них «метод укладки паркета» и «стул невесты». Простейшая тройка: Схема, объясняющая доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость

Слайд 7

Золотое сечение Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — соотношение двух величин b и a, a > b, когда справедливо a/b = ( a+b )/a. Число, равное отношению a/b, обычно обозначается прописной греческой буквой Ф в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия. Одно из его главных детищ – храм Парфенон – полностью подчинено этой пропорции. Для практических целей ограничиваются приблизительным значением Ф = 1,618 или Ф = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %. Исторически изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на две части (меньший отрезок АС и больший отрезок ВС), чтобы для длин отрезков было верно AC/BC = BC/AВ. Говоря простыми словами, золотым сечением отрезок рассечён на две неравные части так, что большая часть отрезка составляет такую же долю в целом отрезке, какую меньшая часть отрезка составляет в его большей части. Позже это понятие было распространено на произвольные величины. Число Ф называется также золотым числом . Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.

Слайд 8

Примеры золотого сечения Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании. В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны Ф . Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды , которое равно зелёному отрезку, также равно Ф . Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах. Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E- dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт ферматы в 34 такте ). Геометрия плана гробницы фараона Древнего Египта Менеса построена с использованием этой пропорции. Одним из современных примеров применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза . М озаика Пенроуза

Слайд 9

Золотая спираль в биологии Золотая спираль — логарифмическая спираль, коэффициент роста которой (относительное изменение полярного радиуса при одном обороте спирали) равен φ (золотой пропорции) в целой степени m. Наиболее известен случай m = 4, хотя в природе чаще встречаются случаи m = 2 (раковина моллюска Nautilus pompilius ) и m = 1 (раковины некоторых видов улиток). В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные отношения по Пифагору - 1.62 и целочисленные, дискретные - по Фибоначчи. Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Яйца птиц, анатомическое строение животных также соответствуют этой пропорции. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи . Более того, воронки ураганов и даже спиральные галактики подчинены законам этой пропорции. Это означает, что почти вся Вселенная существует в единой гармонии золотого сечения.

Слайд 10

Итог Геометрия окружает на повсюду. В архитектуре и сельском хозяйстве, в биологии и даже в живописи не обойтись без нее. Даже строение нашего тела тоже подчинено определенным пропорциям. И это прекрасно: все вокруг нас, весь наш мир и мы сами находимся в особой прекрасной гармонии, подчиненной законам геометрии.

Слайд 11

Источники http:// enciklopediya1.ru/index/0-399 https://ru.wikipedia.org/wiki/ Египетский_треугольник https://ru.wikipedia.org/wiki/ Пифагор https://ru.wikipedia.org/wiki/ Евклидова_геометрия https://ru.wikipedia.org/wiki/ Теорема_Пифагора https://ru.wikipedia.org/wiki/ Пифагорова_тройка https:// scientificrussia.ru/articles/10-faktov-o-teoreme-pifagora https://ru.wikipedia.org/wiki/ Золотое_сечение https://ru.wikipedia.org/wiki/ Геометрия_Лобачевского http:// uclg.ru/education/geometriya/9_klass/lecture_lec_zolotoe_sechenie.html