Проектная работа " Приёмы быстрого счёта"

ПРИЕМЫ БЫСТРОГО СЧЕТА

Проект подготовил: Евгений Минейкин, класс 5А , МБОУ СОШ №6

Руководитель:           МилькоТатьяна Васильевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

В 21 веке  -  веке новых технологий и развития компьютерной техники, разговор об устном счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.

Возможно каждый из нас наблюдал ситуацию, когда человек мучается, с тем чтобы правильно отсчитать сдачу, или пробует высчитать среднее арифметическое своих оценок, или мучается вычислением в столбик сложного примера на контрольной работе, когда до звонка остались считанные минуты.

Как ранее, так и сейчас существовали и существуют люди, обладающие феноменальными способностями к счету. В различных источниках упоминаются такие как, Карл Фридрих Гаусс, Роман Семенович Левитан, Юзеф Зиновьевич Приходько, Иноди, Шакунтала Деви, Олег Степанов и многие другие.

В настоящем проекте была выдвинута гипотеза: при существующих методиках и приемах быстрого счета, далеко не каждый человек осведомлён об их существовании и умеет ими пользоваться. Тем не менее такие методы достаточно просты и могут принести пользу не только для общего развития человека или успехов в обучении, но и в повседневной жизни.

Цель работы: поиск и исследование приемов быстрого счета (в теории и на практике).

Задачи:

1. Используя печатные и электронные источники, изучить виды приемов быстрого счета, выбрать из них наиболее интересные и доступные обычному ученику среднего звена.
2. Провести практическое исследование об особенностях отношения к приемам быстрого счета и их использования.
3. Сделать выводы по результатам проведённого теоретического и практического исследования.

Объект исследования: математические приемы быстрых вычислений, а также особенности  отношения  опрошенных к приемам быстрого счета.

Методы исследования:

1. Анализ литературы.
2. Опрос учеников среднего звена нашей школы и взрослого населения.

Актуальность проекта: в наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления влияет на качество развития мыслительных процессов, развивает память, такие навыки помогут человеку в учебе, в быту и в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.

Практическая польза : мотивация учащихся к изучению приемов быстрого счета и изучение имеющихся методик на практике, а также создание своей собственной «копилки» изученных приемов.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ БЫСТРОГО СЧЕТА

Наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить и обменивать вещи, продукты, делать запасы. Так человек постепенно учился считать. Для счета использовали пальцы рук, ног, камешки и другие предметы. Позже появились изображения чисел.

Сейчас мы пользуемся арабскими цифрами, нам это привычно. Люди научились складывать и вычитать, умножать и делить, причем способы вычислений невсегда были удобны и понятны. В древней литературе упоминаются такие способы умножения, как: «загибание», «ладья», «решетка», «задом наперед», «ромб», «треугольник» и многие другие.

Есть люди-счетчики, умеющие быстро считать в уме. Они могут мгновенно умножить и делить числа, знают наизусть таблицу умножения чисел от 1 до 100, и удивляют различными феноменальными способностями устного счета. Это умели многие ученые, например, Андре Ампер и Карл Гаусс. А также и многие люди, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме, на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты. Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков Перельман, Георгий Берман, Я. Трахтенберг и другие.

Известна необычная история использования целой системы повышения быстроты счета. Она была создана в годы второй мировой войны профессором математики Я. Трахтенбергом. Во время второй мировой войны Трахтенберг стал узником нацистского концентрационного лагеря. В заключении разработал свою арифметическую систему, так называемый метод Трахтенберга. Без сомнения, занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Позже с помощью своей жены он бежал в Швейцарию, где  продолжил разработку этого метода.

В 1950 году Трахтенберг основал Математический Институт в Цюрихе, где учились и дети, и взрослые. Его назвали «школой для гениев». Обучающиеся быстро осваивали математику и добивались успехов во всех предметах. Уровень их интеллекта значительно превышал средние показатели. Интенсивная игра чисел улучшала память и внимание. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.

Умение  быстро считать в уме остается полезным навыком и для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него. Возможность обходиться без специальных  девайсов и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это не единственное применение данного навыка. Помимо утилитарного назначения, приемы устного счета позволят научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях. Кроме того, умение считать в уме, несомненно, положительно скажется на имидже интеллектуальных способностей и выделит вас среди окружающих «гуманитариев».

Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться  быстро считать в уме.

Хотелось бы коротко остановиться на некоторых из них.

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название «КРЕСТЬЯНСКИЙ» (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример:  умножим  47 на 35,

• запишем числа на одной строчке, проведём  между ними  вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
• деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;                           35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
• далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

                 Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал  в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

В своей  «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «МЕТОДОМ РЕШЁТКИ». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).    

Мною рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрю еще один пример: перемножим 987 и 12:

• рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);
• затем квадратные клетки делим по диагонали;
• вверху  таблицы записываем число 987;
• слева таблицы число 12;
• теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;
• после  заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;
• результат читаем по стрелке.

        Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

        Неудобство этого способа мне хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о  том значении, которое придавали древние  этому способу выполнения  умножения натуральных чисел (он получил название «ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА»).

Умножали на пальцах  однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные  пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример:  8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

Из современных приемов быстрого счета  можно выделить достаточно большое количество приемов.

1. Приемы быстрого сложения и вычитания.

Первый прием. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Например: 334 + 768 = (334 + 6) + (768 - 6) = 340 + 762 = 1102

Второй прием. Если к вычитаемому и уменьшаемому прибавить (или отнять) одно и то же количество единиц, то разность не изменится.

Например: 345 - 229 = (345 + 5) - (229 + 5) = 350 - 234 = 116

Третий прием. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Например: 654 + 348 = (654 + 348 + 2) - 2 = 1004 - 2 = 1002

Сложение чисел, близких по величине.

Допустим, нужно сложить последовательность чисел, близких друг к другу по величине: 23 + 21 + 19 + 22 + 17 + 24 = ?

Записываем числа в следующем виде: 23 = 20+3 21 = 20+1 19 = 20 -1 22 = 20+2 17 = 20 -3 24 = 20+4 Тогда сумма этих чисел: 20 х 6 + (3+1-1+2-3+4) = 120 + 6 = 126 Вычитание из 100, 1000, 10000 и прочих степеней 10.

 Все мы помним, надеюсь, что вычитание столбиком производится начиная с младшей (самой левой) цифры. Но при вычитании из 100, 1000, 10000 и других степеней десятки это правило можно нарушить. Начиная со старшей (самой правой), вычитаем каждую цифру из 9. Последнюю, самую левую цифру, вычитаем из 10.

Например: 1) 100 - 57 = ? 9 - 5 = 4 10 - 7 = 3 (последнюю цифру вычитаем из 10, а не из 9)

 Ответ: 43

Быстро умножаем.

 Нужна ли нам таблица умножения? Если вы отлично знаете таблицу умножения, это хорошо. Если забыли, или никогда не знали, воспользуйтесь таким способом счета.

Например, нужно узнать, сколько будет 9 умножить на 7. Записываем пример таким способом: 1 3 ------- = 63 9 х 7

 Ответ 63 мы получили путем несложных вычислений.

А именно. Записав пример 9х7, проводим над ним прямую линию и над каждой цифрой вписываем, сколько не хватает до 10. Над 9 пишем 1, над 7 пишем 3.

Первой цифрой ответа будет разница между числами нижней строки и верхней строки по диагонали. 9-3= 6, 7-1=6 – для вычисления можно брать любую пару – ответ всегда будет один и тот же.

Итак, мы вычислили, что первой цифрой ответа будет 6.

Теперь вычисляем вторую цифру. Для этого умножаем цифры верхней строки 1х3=3. Наш пример решен: 9х7=63.

Немного по-иному рассчитываются более крупные числовые значения. К примеру, вам нужно узнать, сколько будет 12х14. 2 4 ---------- = 160+8=168 12 х 14

В нижней строке записываем пример 12х14. В верхней строке пишем, на сколько эти числа больше 10. Получаем 2 и 4. Складываем числа по диагонали. Получаем 12+4=16, 14+2=16. Мы получили 16 десятков, ведь наши исходные цифры больше десяти. Поэтому 16 умножаем на 10. 16х10=160 .

Осталось только умножить верхние числа 2х4=8 и прибавить полученную цифру к ответу. Забавное умножение на 9. 7

Умножение на 9 - это просто.

Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, используем руки. Загните палец, который соответствует умножаемому на 9 числу (например 9×4 – загните четвертый палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×4 – это 3), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 6). Ответ – 36

Умножение на 4.

Это очень просто и, с первого взгляда, очевидно, но несмотря на это не все догадываются в нужный момент. Чтобы умножить любое число на 4, нужно умножить его на 2, а потом снова умножить на 2: 25*4=25*2*2=50*2=100

Умножение на 5, 50, 25 и 125.

Умножая число Х на эти числа, удобно пользоваться такими выражениями: X * 5 = X * 10 : 2 X * 50 = X * 100:2 X * 25 = X * 100:4 X * 125 = X * 1000:8

Например: 42 * 5 = 42 * 10 : 2 = 420 : 2 = 210 26 * 50 = 26 * 100 : 2 = 2600 : 2 = 1300 42 * 25 = 42 * 100 : 4 = 4200 : 4 = 1050 78 * 125 = 78 * 1000 : 8 = 78000 : 8 = 9750.

 Похожее умножение на 5. нужно взять это число и разделить на 2. Если результат целое число, то добавьте к нему 0 в конце, если нет, отбросьте остаток и добавьте 5 в конце: 1248*5=(1248/2)_(0 или 5)=624_(0 или 5)=6240 (результат деления на 2 целое число) 4469*5=(4469/2)_(0 или 5)=(2234.5)_(0 или 5)=22345 (результат деления на 2 число с остатком) прием перекрестного умножения весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался "способом молнии" или "умножением".

Умножаем на 11 двузначное число.

Все мы знаем, как быстро умножить число на 10, нужно лишь добавить ноль в конце, но знаете ли вы, что есть фишка как легко умножить двузначное число на 11? Допустим, нам нужно умножить 63 на 11. Возьмите двузначное число, которое нужно умножить на 11 и представьте между его двумя цифрами место: 6_3 Теперь сложите первую и вторую цифру этого числа и поместите в это место: 6_(6+3)_3 И наш результат умножения готов: 63*11=693. Если же результат сложения первой и второй цифры двузначное число, вставляйте только вторую цифру, а к первой цифре исходного числа прибавляйте единицу: 79*11= 8 7_(7+9)_9 (7+1)_6_9 79*11=869.

Умножение на 11 трехзначного числа.

 Чтобы умножить трехзначное число Х на 11:

1. Произведение будет четырехзначным. Цифра тысяч в произведении - это цифра сотен числа.

 2. Цифра сотен произведения - это цифра сотен Х плюс цифра десятков Х.

3. Цифра десятков произведения - это цифра десятков Х плюс цифра единиц Х.

4. Цифра единиц произведения - это цифра единиц числа Х. Например: 245 х 11=?

2 - цифра тысяч произведения, 2 + 4 = 6 - цифра сотен произведения, 4 + 5 = 9 - цифра десятков произведения, 5 - цифра единиц произведения. 245 х 11 = 2695

В случае, если сумма двух цифр больше 9, то от суммы отнимается 10 и получившаяся разность записывается вместо суммы, а к старшему (соседнему слева) разряду прибавляется 1.

Например: 489 х 11 = ?

 4 - цифра тысяч произведения, 4+8 = 12. 12-10 = 2. 2 - цифра сотен произведения. К разряду тысяч прибавляем 1: 4+1 = 5. 8+9 = 17. 17-10 = 7. 7 - цифра десятков произведения. К разряду сотен прибавляем 1: 2+1 = 3. 9 - цифра единиц произведения. 489 х 11 = 5379

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10.

Число десятков любого из множителей умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел, после чего к первому результату приписать второй справа.

Например: Умножим 303 на 307: а) 30 * (30 +1) = 900 + 30 = 930 б) 3 * 7 = 21 Записываем первый результат, а справа - второй: 93021 9.

Умножение больших чисел.

 Если вам нужно перемножить большие числа в уме и одно из них четное, то вы можете воспользоваться методом упрощения множителей, уменьшая четное число в два раза, а второе увеличивая в два раза: 32*125 это 16*250 это 8*500 это 4*1000=4000 Быстро делим.

Последовательное деление.

 Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление: • 720:45=(720:9):5=80:5=16, • 9324:36=(9324:3):12=3108:12=259.

Изучив многие подходы к обучению навыку считать быстро и соответствующую литературу, хотелось бы выделить 3 основных составляющих данного навыка:

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт, значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета.

Представляется, что третий фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, человек не сможет удивить окружающих быстрым счетом, даже если знает самый удобный алгоритм. Однако не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку, имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, можно  «переплюнуть» даже самого опытного «счетовода», при условии, что время тренировки было одинаковым.

Для того, чтобы подтвердить или опровергнуть ряд теоретическихвыводов, вделанных  вглаве1,было проведено небольшое практическое исследование (опрос), результаты которого представлены в главе 2 настоящего проекта.

ГЛАВА 2. ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИЕМОВ БЫСТРОГО СЧЕТА  СРЕДИ УЧАЩИХСЯ И ВЗРОСЛОГО НАСЕЛЕНИЯ

С целью  изучения  особенностей использования приемов быстрого счета в данном проекте был проведен опрос среди учащихся 5-8 классов и взрослого населения.

 Количество опрошенных составило 23 человека, из них 12 человек – это ученики 5-8 классов и,  соответственно,  11 человек – люди в возрасте от 25-60 лет. Опрос проводился среди знакомых в устной форме по заранее подготовленным вопросам.

В исследовании участвовали респонденты разных возрастных категорий, что позволило сделать сравнительный анализ полученных результатов.

Несомненно количество опрошенных недостаточно для более достоверных выводов, н,о тем не менее, в настоящем исследованиибыл проведен  так называемый «пилотный» опрос (термин широко используется в социологических исследованиях).

Анкетируемым были представлены следующие вопросы (с вариантами ответов «да» и «нет»).

1. Знаете ли вы, что существуют приемы быстрого счета?
2. Если да, то знакомы ли вы с ними (т.е. можете привести хотя бы один пример)?
3. Необходимо ли, по вашему мнению, современному человеку владеть приемами быстрого счета?
4. Используете ли вы в жизни (в том числе и профессиональной деятельности) приемы быстрого счета?
5. Хотели бы вы научиться основам быстрого счета (или расширить свои знания в этом вопросе)?

Результаты ответов иллюстрируют диаграммы, представленные на рисунках 1-5.

Рис. 1

Согласно данным, представленным на рисунке 1 Большая часть опрошенных, как школьников, так и совершеннолетних респондентов знают о существовании приемов быстрого счета.

Рис. 2

Рисунок 2 демонстрирует, что  дети школьного возраста более осведомлены о приемах быстрого счета по сравнению со взрослыми опрошенными.

Рис. 3

Рисунок 3 показывает, что более половины респондентов считают, что современному человеку приемы быстрого счета могут пригодиться в жизни.

Рис. 4

Из данных, представленных на рисунке 4 можно сделать вывод о том, что в той или иной степени люди используют приемы быстрого счета. Хотелось бы отметить, что при уточнении какие именно – назывались самые элементарные (например, умножение на на числа, кратные 10)

Рис. 5

Согласно рисунку 5, основы быстрого счета могут быть интересными для более чем половины опрошенных.

Таким образом,  пилотный опрос, проведенный по теме проекта, свидетельствует об актуальности вопросов быстрого счета.

Для школьников – в силу более частого обращения к устному, быстрому счету -  это более необходимо, но, тем не менее, и для более старшего поколения приемы быстрого счета имеют определенное значение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Идеи быстрого  счета не новы, но бывают недооценены благодаря развитию современных технологий. Незаметно для себя многие утрачивают навыки быстрого и точного счета и порой, с большим опозданием понимаем, что это наше слабое место.

 Однако, умение быстро считать в уме является неоспоримым преимуществом и достоинством того, кто таковым умением обладает. Человек, легко оперирующий цифрами, никогда не окажется обманутым при расчетах. Но самое главное, способности к вычислениям постоянно будут поддерживать в хорошей форме и развивать его умственные способности, что особенно важно в период обучения.

Думаю,  что необходимо знать технику быстрых вычислений и уметь применять их в практической деятельности.

В данной работе была описанаистория искусства счета; приведены примеры нестандартных приемов вычислений. Приёмы быстрого счета развивают память. Это касается не только математики, но и других предметов, которые изучаются в школе. Приемы устного счета нужно повторять систематически.

Вышеперечисленные способы быстрого устного счета рассчитаны на ум "обычного" человека и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее продолжительная тренировка. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях.

Несколько простых правил, а главное – постоянная тренировка в устном счете, помогут научиться хорошо, считать. Бывают люди, которые быстро множат и делят в уме четырех и пятизначные числа. Достичь такого искусства трудно, надо помнить много правил, очень долго и утомительно тренироваться.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.: ил. 2
2. Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994.
3. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - Екатеринбург, Тезис, 1994.
4. http://ash4.bip31.ru
5. http://nsportal.ru