Платоновы тела

                                        В мире многогранников                                              Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.                    Поэтому эпиграфом могут быть слова Л. Кэрролла:                                                    «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробиться в самые глубины различных наук».                                                      Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, сколько ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников:                                                                                             

                            Многогранники или Платоновы тела                                            Правильные многогранники называются Платоновыми телами, они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном.                                                                                                                                          Итак, правильных многогранников Платон знал пять, а число стихий (огонь, воздух, вода и земля) было ровно четыре. Следовательно, из пяти многогранников надо выбрать четыре, которые можно было бы сопоставить со стихиями.                                                         Какими соображениями руководствовался при этом Платон? Из внешнего вида правильных многогранников явствует, что грани трех многогранников - тетраэдра, октаэдра, икосаэдра – имеют форму равностороннего треугольника. Два оставшихся многогранника – куб и додекаэдр – построены: первый - из квадратов, а второй - из правильных пятиугольников. Это значит, что если мы придадим частицам трех стихий формы тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, то частицы четвертой стихии будем считать кубами или додекаэдрами, но эта четвертая стихия не сможет переходить в три других, а всегда будет оставаться сама собой. Платон решил, что такой стихией может быть только земля и что мельчайшие частицы, из которых земля состоит, должны быть кубами. Тетраэдру, октаэдру и икосаэдру были сопоставлены соответственно огонь, воздух и вода.

Что касается пятого многогранника – додекаэдра, то он остается не у дел. По поводу него Платон ограничивается , что «его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал ее и украшал». Возникает вопрос «какими соображениями руководствовался Платон, приписывая частицам огня форму тетраэдра, частицам земли – форму куба и т.д.?». Здесь он учитывает чувственно-воспринимаемые свойства соответствующих стихий. Огонь – наиболее подвижная стихия, он обладает разрушительным действием, проникая в другие тела (сжигая или расплавляя, или испаряя их); при соприкосновении с ним мы испытываем чувство боли, как если бы мы укололись или порезались. Какие частицы могли бы обусловить все эти свойства и действия? Очевидно, наиболее подвижные и легкие частицы, и притом обладающие режущими гранями и колющими углами. Из четырех многогранников, о которых может идти речь, в наибольшей степени удовлетворяет тетраэдр. Поэтому, говорит Платон, образ пирамиды (т.е. тетраэдра) и должен быть в согласии с правильным рассуждением и с правдоподобием, первоначалом и семенем огня, наоборот, земля выступает в нашем опыте как самая неподвижная и устойчивая из всех стихий. Поэтому частицы, из которых она состоит, должны иметь самые устойчивые основания. Из всех четырех тел этим свойством в максимальной мере обладает куб. Поэтому мы не нарушим правдоподобия, если припишем частицам земли кубическую форму. Аналогичным образом с двумя прочими стихиями мы соотнесем частицы, обладающие промежуточными свойствами. Икосаэдр, как самый обтекаемый, представляет частичку воды, октаэдр – частицу воздуха. Пятый многогранник – додекаэдр – воплощал в себе «все сущее», символизировал весь мир и почитался главнейшим.                                                                                                                              Платон «правдоподобно» систематизировал картину мира. Это была одна из первых попыток ввести в науку саму идею систематизации, которая оказалась очень плодотворной. Она помогла отделить одни области знаний от других, сделав научные исследования более целенаправленными.                                                                    Современные гипотезы обустройства мира.                                                                         Итак, Платон, Кеплер, Пифагор связывали правильные многоугольники с гармоничным устройством мира. А известны ли вам современные гипотезы обустройства мира?                    Идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многоугольников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую высказали в начале 80-х гг. ХХ века  московские инженеры В.Макаров и В. Морозов.                                                                                                                                     Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения мирового океана. В этих узлах находится озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

 Связь многогранников с живой природой.                       Рассуждая об устройстве мира, нельзя оставить без внимания живую природу. Встречаются ли в живой природе правильные многогранники?                                                           1. Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogoniaicosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся  зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Тем, по-видимому, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.                                                                              2. Интересно,  что икосаэдр оказался в центре  внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.                                                                         3. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

4. Правильный многогранник – икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Итак, благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.                  Литература.                                                                                                                                               1. Учебник. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия, 10-11 классы.  2. Пособие для поступающих в вузы .Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С. и др.. М., «Наука», 1985.                                                                                                                                                       3. Информатика: Лабораторный практикум. Создание текстовых документов в текстовом редакторе MicrosoftWord 2000/ Авт.-сост. В.Н. Голубцов, А.К.Козырев и др., Саратов: Лицей, 2003.                                                                                                                                                    4. Интернет – сайты. Referat. Ru.                                                                                                                                 5. Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983                                                           6. Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976.                                                    7.Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.                                                                          8.  Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.

                                                   Описание работы                                                             Современное образование диктует новые требования к организации учебного процесса. Это связано с изменениями в обществе. Чтобы молодой человек, закончивший школу, плодотворно существовал и развивался в современном мире, необходимо сформировать в нем за годы учебы в школе некоторые метапредметные умения и навыки. Одним из них является умение организовать и осуществлять исследование. Навыки подобной деятельности формируются постепенно в ходе многолетнего учебного процесса.                     Эта работа выполнена ученицей 10 класса Сырпиной Ксенией.                                        Название работы «Платоновы тела» (описание дано).                                                       Материал, из которого изготовлены тела - трубочка (пластмасса - легкий пластик). Трубочки практичны при использовании: 1. Можно составить любую фигуру за короткое время (экономия времени); 2. Наглядно; 3. Можно показать сечения; 4.Экспериментировать и исследовать; 5. Экологический чистый материал.                                                                             Трубочка широко используется при изучении тем планиметрии – плоские фигуры («Треугольники» - 7 класс, «Четырехугольники» - 8 класс) и стереометрии – объемные фигуры («Многогранники», «Площади и объемы тел»).