Простые числа

Проектно-исследовательская работа

Тема: «Простые числа»

Выполнил: Парамонов Даниил Григорьевич, 5 класс

Руководитель: Головина Нелли Валентиновна

2017 год

Оглавление

Введение        3

Основная часть        4

1)        О бесконечности множества простых чисел.        4

2)        Основная теорема арифметики для подсчета количества делителей числа.        7

3)        Простые числа – близнецы.        8

Заключение        9

Введение

Натуральные числа вошли в обиход людей для обозначения количества предметов, например,  овец или коров в стаде, мешков зерна в амбарах, звезд в созвездиях. Но подобные  величины обычно непостоянны, поэтому так важно человеку уметь складывать и вычитать числа, умножать и делить их.

Каждое натуральное число, большее единицы, делится по крайней мере на два числа: на 1 и на само себя. К слову сказать, действие деления было настолько тяжелым ранее для человека, что в Италии, например, до сих пор в ходу поговорка «Трудное дело деление». В средние века людей, которые могли производить деление, называли «магистрами деления».  

Итак, уже в древности люди знали, что есть числа, которые делятся только на два делителя (на единицу и само себя), и числа, которые имеют более двух делителей. Первые называются «простыми числами», вторые – «составными».

Цель данной работы: расширить и систематизировать знания  о простых числах,  полученные на уроках математики и занятиях по внеурочной деятельности в 5 классе.

Самое маленькое простое число – это «2», так как оно делится на единицу и  число два. Существует ли самое большое простое число?  Какие закономерности были открыты учеными в ряду простых чисел? Имеется ли какое - нибудь  практическое применение в науке этих чисел?

Чтобы ответить на данные вопрос, необходимо изучить историю открытия учеными  простых чисел, обозначить некоторые «группы» простых чисел и связь простых и составных чисел.

Актуальность данного проекта в том, что именно в 5 классе обучающиеся знакомятся с простыми числами в рамках изучения предмета математики.

Новизна и практическая значимость проекта в том, что предлагается достаточно простой и удобный способ ознакомиться с основной теоремой арифметики и формулой для подсчета количества делителей числа.

Основная часть

1. О бесконечности множества простых чисел.

В античной Греции и в Древнем Риме писали  на папирусе и на пергамене (это слово  в научной среде историков до сих пор зачастую применяют именно так, а не Pergament).  Свитки  с записями  различных знаний, стихов хранились в библиотеках. Свитки наматывались на палку, имели ярлык на футляре, в котором хранились, и помещались на полках. Расцвет античных библиотек пришелся  на IV- I столетия до нашей эры.  Хранителями библиотек в разные времена были самые известные и прославившиеся ученые того времени, такие как  Клавдий Птолемей, Аполлоний Родосский, Каллимах, Эратосфен Киренский.

Эратосфен Киренский (276-194 годы до н. э.) был энциклопедически образованным человеком: под руководством Каллимаха изучал математику, географию, астрономию, стихотворчество, геодезию. Возглавил Александрийскую библиотеку сразу после смерти своего учителя и земляка Каллимаха.  Самые известные его открытия в наше время – это вычисление радиуса Земли и способ отбора простых чисел из всего множества натуральных чисел, который впоследствии назвали «решетом Эратосфена» (Источник: http://www.calend.ru/event/4148/). 

Суть отбора простых чисел по Эратосфену состоит в следующем: зачеркивают вначале все числа, кратные двойке, кроме самой двойки; затем зачеркивают все числа, кратные числу три, кроме самой тройки;  затем, зачеркивают все числа, кратные числу 5…. и так далее. Повторяя эту процедуру, можно получить ряд простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97; 101; 103; 107; 109; 113; 127…  Данные  числа имеют только два делителя, они делятся только на 1 и самих себя. Других делителей у них нет, поэтому по определению они – простые числа.

Составные числа имеют более двух делителей. Например, число 8 делится на 1; 2; 4; 8.  То есть имеет четыре делителя. Число 24 делится на 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. Мы обнаруживаем  здесь уже 8 делителей. Число 9 делится на 1; 3; 9. Значит, можно указать три делителя числа 9. Все приведенные в качестве примера числа (8; 24; 9) имеют более двух делителей, поэтому по определению составного числа эти числа относятся к составным.

Любое число можно разложить на множители, при этом хотя бы один из множителей - простое число. Приведем примеры.

8=2*4

24= 2*12

24=3*8

9=3*3=32

Если множитель в разложении повторяется, то разложение числа на простые множители записывают в виде степени: 9 = 32

 Первую известную таблицу простых чисел составил в 1603 году итальянский математик Пьетро Антонио Катальди (в его таблице самое большое найденное простое число  - 743). Много столетий «охотятся» профессиональные математики и любители этой науки за простыми числами в надежде ответить на вопросы «Сколько простых чисел существует?» и «Есть ли самое большое простое число?», хотя еще в древности греческий ученый Евклид в своем труде «Начала» привел пример доказательства утверждения, что множество простых чисел бесконечно и не существует (то есть,  нельзя назвать) самого большого простого числа. Теорема доказывалась им методом «от противного»: предположим, что существует наибольшее простое число P; перемножим все простые числа, начиная с двойки и кончая этим число Р, затем увеличим данное полученное произведение на 1, то есть мы получим число М= 2*3*5*7*11*….Р+1; это число, если оно составное,  должно иметь  хотя бы один простой делитель, но при этом, данным делителем не может быть ни одно из чисел 1; 3; 5;…М, так как при делении числа М на каждое из этих простых чисел в остатке мы имеем 1. Делаем вывод, что либо число М – само простое, либо делится на простое число, большее Р. Но делитель не может быть больше делимого, если мы производим деление нацело. Отсюда, наше предположение, что существует наибольшее простое число Р,  оказывается неверным, а, значит, множество простых чисел бесконечно.

        Можно ли любое число разложить на множители, каждый из которых был бы простым число?

8=2*2*2=23

24=2*2*2*3=23 *3

34=2*17

27=3*3*3=33

Разложение числа 108 на произведение простых множителей найти устно не так легко, как во всех предыдущих примерах. Математики поступают следующим образом: пишут число слева от вертикальной черты, затем поочередно проверяют его делимость на 2; 3; 5 и другие простые числа из известного множества простых чисел при необходимости, до тех пор, пока не получают  в остатке 1.

Значит, число 108=2*2*3*3*3=22 * 33

Таким образом, натуральное число можно разложить на простые множители, при этом единственным способом, учитывая, что порядок множителей не имеет значения. Разложить  на простые множители можно абсолютно все натуральные числа, кроме единицы.  Справедливости ради, акцентируем, что натуральное число 1 не является простым число, так как у единицы только 1 множитель, а не два, как у всех простых чисел.

2. Основная теорема арифметики для подсчета количества делителей числа.

Итак, сформулируем теорему, которая в математической дисциплине о числах носит название «Основная теорема арифметики»:

«Любое натуральное число n > 1 либо само является простым числом, либо представляется в виде произведения простых чисел. Разложение числа на простые множители единственно, если не обращать внимания на порядок следования сомножителей».

где, - различные простые множители числа n, причем число  входит  раз, –  раз и т.д. Если все простые число   выстраиваются в этой формуле в порядке возрастания:   то такое разложение называется каноническим.

        Если в каноническое разложение числа n входит простое число р1 в степени α1, то число n делится на все степени р1 от 0 до α1. Следовательно, делителей, в которых участвует только одно это простое число р1, имеется ровно α1 + 1. Аналогично рассуждая для других делителей, можно получить формулу общего количества делителей числа n:   (α1 + 1)( α2 + 1)… (ακ + 1).

        Приведем пример для числа 108.  Подсчитаем, сколько делителей всего имеется у этого числа.

Рассмотрим каноническое разложение числа 108 на простые множители:

108 = 22 * 33

Делителей числа 108, согласно приведенной выше формуле, (2+1)(3+1)=

= 3*4 = 12

Перечислим их все: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 27; 36; 54; 108. Действительно, всего делителей 12.

Другой наш пример – это число 24, разложение которого 24=23 *3. Значит всего делителей у него должно быть (3+1)(1+1)=4*2=8. Вспомним, что мы уже приводили все восемь делителей этого  числа: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.

3. Простые числа – близнецы.

Найдены ли какие-нибудь закономерности, связанные с распределением простых чисел в ряду всех натуральных чисел? Можно ли указать некие правила, которые помогут рассчитать само простое число и его расположение? Как часто встречаются простые числа среди всех натуральных чисел.

Евклид смог обосновать, что простые числа «разбросаны» по все числовой оси.

Жозеф Бертран в 1845 году, работая с таблицей простых чисел в промежутке до 6000000, обнаружил, что между числами   n и 2 n – 2, где      

n > 3, содержится по крайней мере одно простое число. Это свойство позднее стали называть «Постулатом Бертрана». Его практическая значимость: среди очень больших натуральных чисел можно найти простые.

Общий закон для простых чисел не найден (возможно, пока!). Между двумя составными числами могут находиться иногда миллионы и миллионы составных чисел. Есть только один случай расположения простых чисел, когда они следуют друг за другом – это сила «2» и «3».  Другого такого случая не может быть по определению, так как из двух чисел, следующих друг за другом, одно - четное, другое –нечетное. Из простых чисел четным числом является только «2».  Все остальные простые числа могут быть только нечетными. А двух соседних нечетных чисел в ряду натуральных чисел нет. Значит, два простых числа могут быть разделены по крайней мере одним числом. Таких пар известно много: (3;5), (5;7), (11;13), (17;19), (29;31), (41;43), (59; 61), (71;73), (101;103), (107;109)… Такие пары простых чисел называются «близнецами». Их общая формула (р; р+2), гдн р – простое число. По мере увеличения натуральных чисел пары «близнецов» встречаются все реже. Доказать, что пары «близнецов» - это тоже бесконечный список, еще прока никому не удалось. Удивительная тройка простых чисел обнаружена пока тоже только одна (3;5;7). Её единственность математики доказали.

Заключение

Простые числа играют важную роль в настоящее время. Многие даже не представляют себе, что защита персональных компьютеров или конфиденциальность разговоров по мобильным телефонам, банковские операции  обеспечиваются применением простых чисел.

Работая над этим проектом, были изучены определения простых и составных чисел, рассмотрено доказательство Евклида о бесконечности множества простых чисел в ряду всех натуральных чисел, разобран способ нахождения простых чисел по Эратосфену, разобран способ разложения натурального числа на простые множители, приведена основная теорема арифметики и как следствие из неё – способ подсчета количества всех делителей натурального числа. Кроме этого, получено представление о парах простых чисел,  называемых «близнецами».

Простые числа называют «кирпичиками»  математики. Они по праву стали предметом пристального изучения математиков во все времена.