Геометрия на тетрадном листе

Краевой конкурс научно-исследовательских проектов «Эврика Юниор»

Малой академии наук учащихся Кубани

Геометрия на тетрадном листе.

Картавцева Виктория Вячеславовна,

ученица 8 класса,

МБОУ СОШ 5,

г. Белореченск, Белореченский район,

Научный руководитель:

Головина Нелли Валентиновна,

учитель математики МБОУ СОШ 5,

г. Белореченск, Белореченский район,

2013 год

«Геометрия на тетрадном листе»

Картавцева Виктория Вячеславовна,

Краснодарский край, город Белореченск,

МБОУ СОШ  5

 «…А еще они рисовали … всякую всячину…, все, что начинается на М…

- Почему на М? – спросила Алиса.

- А почему бы и нет? – спросил мартовский Заяц.

…Они рисовали мышеловки, месяц, математику, множество…Ты когда – нибудь видела,

 как рисуют множество?

- Множество чего? – спросила Алиса..

-Ничего, - ответила Соня. – Просто множество!»

Льюис Кэрролл «Приключение Алисы в стране чудес»

Введение.

1. Актуальность темы.

Возводить цирки и храмы, в основании которых находится  окружность, могли уже в древней Греции и Риме.

Математики предпочитают  выполнять все построения с помощью линейки и циркуля.

В школе обучают работать с циркулем  в начальных классах. И так как маленьких учеников на занятия  собирают мамы, то у всех учащихся имеются на уроках необходимые инструменты.  Чем старше становятся ученики, тем «забывчивее»,   в школу приходят  без инструментов, надеясь, что выполнят построение различных фигур от руки.  Но это под силу только людям с хорошим глазомером.

В книге И.Ф. Шарыгина и Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия» я нашла правило

«3-1, 1-1, 1-3», которое позволяет легко изобразить окружность от руки. Но это правило действует только для окружности радиуса  5 единиц.

Меня заинтересовал вопрос «Существуют ли какие-нибудь правила для окружностей другого размера»?

Цель работы: выяснить условия, при которых можно построить окружность без циркуля на тетрадном листе.

Для изучения данного вопроса были намечены следующие задачи:

1. Изучение теоретического материала;
2. Проверка вывода  формул,  если  найдутся;
3. Выяснение зависимости при построении окружности без циркуля.

2. Правило изображения  окружности из «Наглядной геометрии»

Окружность – это множество точек, каждая из которых находится на равном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

Если следовать указаниям «Наглядной геометрии», то окружность в тетрадке можно изобразить без циркуля таким образом:

взять узел клетчатой бумаги (пересечение вертикальных и горизонтальных линий), отступить на три  клетки вправо и на одну вниз, поставить точку, затем отступить по одной клетке вправо и вниз, нарисуем третью точку, потом снова отступить вправо на одну клетку и вниз -  на три, поставить точку. Все нарисованные точки надо плавно соединить карандашом.

Если внимательно посмотреть на такую окружность, то можно заметить, что на этой окружности лежат вершины прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 клетки. Но это известный «египетский» треугольник, третья сторона у которого равна 5. Верно ли предположение, что радиус окружности должен быть равен гипотенузе треугольников?

Греческий математик Пифагор установил, что стороны прямоугольных  треугольников связываются формулой а2 + в2 = с2 .

Значит, надо найти еще такие целые числа, которые удовлетворят  теореме Пифагора.

3. Диофантовы уравнения

У нас имеется одно уравнение и три неизвестных. Математики подобные уравнения называют диофантовыми.

С диофантовыми уравнениями я встретилась, решая задачу контрольной работы заочной школы «Юниор»  на размен купюр: ах + ву = с. Тогда же я узнала, что такие уравнения имеют целые решения, если число с делится без остатка на наибольший общий делитель чисел а и в.

Решение уравнения а2 + в2 = с2  в целых числах называются пифагоровыми тройками. Попробуем найти такие тройки чисел.

         Диофант использовал подстановку:    в = ma – c.

        a2 + (ma – c) = c2

                a2  + (ma)2 – 2mac + c2  = c2

            a2  + m 2a2 – 2mac = 0

           a2 (1 + m2) – 2mac = 0

           a(a(1+ m2) – 2mc) = 0

           a = 0 ;  .          Тогда,

Если применить подстановки к уравнению + = 1, то получим следующие

выражения:

     ;  

Пусть , тогда получатся равенства : ;      ;  

Если взять p = 1, q = 2, тогда а  = 4, в = -3, с = 5.

Но для нас число – 3 не подходит по  условию, так как длина стороны треугольника

есть положительное число.

Значит, мы должны выбирать такие значения  p, q, чтобы выполнялось равенство q < p.

p =2, q = 1, а = 4, в = 3, с = 5;

p =3, q = 1, а = 6, в = 8, с = 10;

p =3, q = 2, а = 12, в = 5, с = 13;

p =4, q = 1, а = 8, в = 15, с = 17;

          p =4, q = 2, а = 16, в = 12, с = 20;

4. Правила рисования окружности без циркуля для тетрадного листа.

Для задачи, которую я поставила в начале исследования (вывести правила, по которым можно построить окружность без циркуля на тетрадном листе), последние два примера не интересны, потому как такого размера тетрадного листа не найти.

Построим окружность для значений:  а = 6, в = 8, с = 10.

Итак, окружность радиусом 10 клеток содержит вершины прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 клеток, гипотенузой – 10 клеток.

Получаем правило «6 - 2; 2 - 2; 2 - 6»;  Следуя правилам, изложенным в книге «Наглядная геометрия», получаем алгоритм построения окружности: отложить от выбранного узла вправо 6 клеток, вниз – 2; затем отложить вправо 2 клетки, вниз – 2, затем – вправо 2 клетки,  вниз – 6. Четверть окружности начертили.

Для окружности радиусом 13 клеток выводится другое правило: 5*1; 7*7; 1*5.

Для окружности радиусом 20 клеток правило выглядит так: 12 - 4: 4 - 4; 4 - 12. Для последней окружности на  тетрадном листе можно выполнить только четверть рисунка.

При этом из правил «3 - 1, 1 - 1, 1 - 3», «6 - 2; 2 – 2; 2 - 6»; «12 - 4; 4 - 4; 4 - 12» видно, что они получены из первого удвоением чисел. Из правила 5*1; 7*7; 1*5 для окружности радиусом 13 клеток выводится правило для окружности радиусом 26 единичных отрезков: 10*2; 14*14; 2*14.

5 . Заключение.

Диофантово уравнение а2 + в2 = с2  есть частный случай великой теоремы Ферма . Решая это уравнение, я смогла найти способ изображения окружности без циркуля. Таким образом, при n = 2  уравнение имеет бесчисленное множество рациональных решений, в том числе  в целых числах. Тот факт, что данное уравнение не имеет рациональных решений при n> 2, доказано было только в 2010 году Григорием Перельманом.

6. Литература.

1. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева  «Наглядная геометрия», М.; МИРОС,

           КПЦ «Марта», 1992

2. Энциклопедия для детей. Т11.Математика М: Аванта+, 1998.
3. Льюис Кэрролл «Приключения Алисы в стране чудес», М.; «Правда», 1985.