Числовая гармония мира

Краевой конкурс научно-исследовательских проектов «Эврика»

Малой академии наук учащихся Кубани

Числовая основа гармонии мира

Крейтор Екатерина

ученица 9 класса МОУ СОШ 5,

г. Белореченск, Белореченский район,

Научный руководитель:

Головина Нелли Валентиновна,

учитель математики МОУ СОШ 5,

г. Белореченск, Белореченский район,

«Числовая основа гармонии мира»

Крейтор Екатерина Андреевна,

Краснодарский край, город Белореченск,

МОУСОШ  5, 9  класс

Введение

Работа «Числовая основа гармонии мира» посвящена изучению отдельных вопросов, связанных с числовой последовательностью Фибоначчи.

Я учусь в школе-студии дизайна «2Е». На одном из занятий преподаватель сообщила ученикам,  что еще в эпоху Возрождения художники использовали тот факт, что любая картина имеет определенные точки, к которым невольно обращается взор  человека, - это, так называемые,  зрительные центры. При этом оказывается,  неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, то есть расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев картины.

Как художницу,  меня заинтересовал следующий вопрос: «Почему понятие «золотого сечения» связывают с обыкновенными дробями?». Чтобы найти ответ, я  изучила отдельные  лекции Маркушевича А.И. по теории возвратных последовательностей, работу Н.Н.Воробьева «Числа Фибоначчи». Поразили меня сведения, почерпнутые в книге Васютинского  Н.А.  «Золотая пропорция», из которой, в частности, я узнала, что жизнь творческих личностей дискретно развивается согласно числовым последовательностям Фибоначчи и Люка, что великие музыкальные и литературные произведения возможно оттого и великие, что строились согласно этим же числам. Я попыталась самостоятельно найти формулу n-го члена последовательности Люка, так как ещё Пэрна обнаружил, что жизнь женщины диктуется зачастую числами не последовательности Фибоначчи, а другой, построенной по тому же рекуррентному уравнению, но с другими начальными членами последовательности.

Если числа Фибоначчи являются организующими для многих процессов, то почему бы им не проявить себя и ранних источниках духовной деятельности человека – молитвах, строительстве храмов?

Теперь мне абсолютно понятны слова Давида Гильберта: «…Внешний мир навязывает нам своими реальными фактами новые вопросы и открывает новые области математического знания…На этой повторяющейся и сменяющееся игре между мышлением и опытом, мне кажется, и  основаны те многочисленные и поражающие аналогии и кажущаяся предусмотренная гармония, которые математик так часто обнаруживает в задачах, методах и понятиях различных областей знаний». [2, с 8]

1.Числа Фибоначчи как основа гармонии мира

1.1. Из истории числовой последовательности Фибоначчи.

Рассмотрим задачу, которая появилась во втором издании книги «Liber abaci», Леонардо Биголло, пизанского купца, в  1228 году. Он неоднократно путешествовал по странам Востока, и в своей книге, опираясь на  труды арабских математиков Ал Хорезми и Абу Камила, изложил  математические знания того времени, сопроводив их своими абсолютно талантливыми рассуждениями.

 «Некто поместил пару кроликов в некотором месте, огражденном со всех сторон, чтобы узнать, сколько кроликов появится у него в течение года. Их природа такова, что новую пару они рождают через два месяца».

Итак, получается, что в третий месяц кроликов уже две пары, в четвёртый месяц старая пара даёт потомство, а молодая – растёт, то есть их стало четыре пары. В пятый месяц две пары дают потомство, а  одна пара  растет, следовательно, всего кроликов стало уже пять пар. Далее рассуждаем аналогично. Рассмотрим это на схеме:

Заметим, что

Тогда,       

Итак, к концу года у хозяина оказалось 144 пары кроликов (физиология  кроликов, конечно, другая).  Но, тем не менее, так определяется последовательность чисел Фибоначчи, задаваемых рекуррентной формулой  , где n > 2;  а1= а2 = 1.

1.2. Формула n-го члена последовательности Фибоначчи.

Числа Фибоначчи не являются арифметической прогрессией. Но  можно указать одну арифметическую прогрессию, которая может быть последовательностью типа Фибоначчи.  То есть такая, у которой каждый член, начиная с некоторого, равен сумме двух предыдущих. Это последовательность: 0, 0, 0…

Существует ли геометрическая прогрессия, которая бы удовлетворяла основному условию построения последовательности Фибоначчи, - рекуррентной формуле  n-го члена:

Итак, если последовательность типа Фибоначчи, и она же является геометрической прогрессией, то должны выполняться одновременно два условия:       

то есть, для третьего члена эти условия запишутся так:       *

В общем виде это запишется:

Можно увидеть, что каждое из соотношений получается из предыдущего при умножении правой и левой части на . Это означает, что геометрическая прогрессия может быть последовательностью типа Фибоначчи, если выполняется условие:

Известно, что в геометрических последовательностях по определению  Тогда правую и левую части последнего соотношения можно разделить на , получим уравнение:

Значит, мы получили два знаменателя, при которых геометрическая прогрессия может быть последовательностью типа Фибоначчи, если взять a1=1

Согласно полученным выводам, эта прогрессия типа Фибоначчи. Для этого достаточно проверить, что

Доказательство.

Мы получили, таким образом, две геометрические прогрессии, члены которой удовлетворяют условию:  и знаменателями   Согласно выводам теории возвратных последовательностей, разработанной Леонардом Эйлером, последовательности вида (gn), удовлетворяют условию рекуррентности. Математиками было доказано, что сумма этих последовательностей тоже будет удовлетворять условию построения ряда Фибоначчи («Если последовательности U и U/   являются решениями уравнения , то и их сумма тоже есть решение этого уравнения»). [1, с 22]

Через 641 год после открытия чисел Фибоначчи французский математик Ж. Бине в 1843 году вывел формулу общего члена последовательности Фибоначчи, как функцию его номера [1, с 25]

(Проверка для некоторых членов - приложение 1, с I )

Целочисленные члены последовательности Фибоначчи, оказываются, могут быть получены с помощью иррациональных выражений. Убедимся в истинности этой формулы хотя бы для первых четырёх членов последовательности Фибоначчи.

1.3. Формула n-го члена последовательности Люка.

Последовательность чисел Люка (аn): 2; 1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76…

Итак, чтобы последовательность была последовательностью по типу Фибоначчи, надо чтобы она имела вид с1 + с2; с1ά + с2β; с1ά2 + с2β2; …,  с1άn-1 + с2βn-1 , …

где ;  .

При некоторых  с1; с2 она может дать последовательность Фибоначчи, что и обнаружил Бине: с1 ; с2 ;  Найдём, при каких значениях  с1; с2  можно  получить последовательность Люка. Для этого надо решить систему уравнений:     Воспользуемся методом подстановки: с2 = 2 – с1.

Получим уравнение + = 1;  Раскрыв скобки, приведя подобные, получаем, что с1 =1, тогда с2 =1. Так как n- член последовательности типа Фибоначчи имеет вид а n = с1άn-1 + с2βn-1, то подставив значения с1 и с2  в это равенство, получаем формулу  n –го члена последовательности Люка:

an  = +

(Проверка для некоторых членов – Приложение2, c II)

1.4. Свойства чисел Фибоначчи.

Числа последовательности Фибоначчи обладают интересными свойствами. В книге «С математикой в путь» эти свойства авторы книги Лэнгдон и Снейп называют даже «таинственными» (Доказательство некоторых свойств приведены  в Приложение 3, c III)

Иоганн Кеплер установил, что отношение рядом стоящих членов последовательности в пределе стремится к некому числу.

Через сто лет Р. Симпсон математически строго доказал, что отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи в пределе стремится к «золотой пропорции»:

На графике процесс приближения отношений соседних чисел к числу  можно изобразить так:

На графике изображена  затухающая осцилляция. «Кривая на графике отражает единство и борьбу противоположностей: целочисленной дискретности и непрерывности затухающих колебаний. Сама жизнь, которая вечно стремится к равновесию и никогда его не достигает», - такими словами  прокомментировал этот график писатель и учёный

Н. А. Васютинский. 

2. 1. Арифметика растений

 Сколько листьев и цветков  имеют растения ?  Исследованиями   было установлено, что   мир растений    управляется также числами Фибоначчи. Так, ботаник    Ф.Людвиг исследовал 18573 цветка и установил, что кривые, описывающие числа краевых цветков в корзинках, – это многовершинные ломаные, максимумы которых приходятся на числа 13, 21, 34; листорасположение описывается обыкновенными дробями1/2; 1/3 ; 2/5;   3/8; 5/13 (то есть это числа Фибоначчи, расположенные  через одно).     Спирали чешуек сосновой шишки,  ананаса  относятся как числа 3/5; 5/8; 8/13. В корзинках подсолнечника семена располагаются по двум спиралям (обычно 34/55 или 55/89). (Приложение 4, c IV).               Кокстер обнаружил, что иногда листорасположение диктуется рядом Люка: 1;3; 4; 7; 11; 18; 29;47; …  В поисках закономерностей в мире растений работали родоначальник этого направления     Шарль Боннэ, математик Шимпер, ботаники Браун и Плантефоль. Наше исследование роста лука представлено на фотографиях (Приложение 5, c V).                  

3.Человек по Фибоначчи

3.1 Анатомия.

У современного человека 1 голова, 1 сердце. Многие части тела парные: руки, ноги, глаза, почки, уши… Из трёх частей состоят руки и ноги. На руках и ногах по 5 пальцев. Тогда руки и ноги делятся вместе с ними на 8 частей. У человека с переходом на прямостоячее хождение стало 12 рёбер, 13-ая пара присутствует в виде рудимента. Позвоночник человека состоит из 34 позвонков. При этом общее количество костей не постоянно у всех людей, но общее количество костей всегда равно 233 (это 13 член последовательности Фибоначчи). Известно, что  четвёртая группа крови встречается у людей крайне редко. Но первые три группы отвечают соотношениям чисел 8:21:34.

3.2 Дискретность психологии и физиологии человека 

Жизнь человека протекает неравномерно, а с качественными скачками в области физиологии и психологии. Критические годы мужчин приходятся на 1, 3, 8, 13, 21, 34, 55 и так далее лет. Статистически было выяснено, что периодичность в жизни женщин подчиняется другому ряду типа Фибоначчи – последовательности Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123…  (Отметим, что во многих западных странах девушкам разрешается вступать в брак с 18 лет, а юношам – с 21 года.)

Вот какие изменения происходят с человеком в кризисные годы, по мнению медиков:

3.4.Биографические примеры

Мы исследовали несколько биографий известных людей,  которые поразительно точно «укладываются» в математические рамки. Первый исследователь в этой области Пэрна изучал жизнь творческих людей, потому как они более свободны в выборе своих поступков и психологических предпочтений.

Леонард Эйлер. Родился в 1707 году. В 13 лет, показав недюжинные способности в математике, поступил в Базеле в университет на факультет искусств. Прибыл в Петербург в 21 год. В супружестве с Екатериной Гзель прожил 34 года, из его 13 детей выжили только 5: 3 сына и 2 дочери.

Ковалевская Софья. Родилась в 1850 году. На 12 году, как указывает Кордемский, решила стать математиком. Замуж выходит в 18 лет, хоть и фиктивно, но какое точное попадание. Реальным брак стал только через 10 лет. Дочь Софья родилась на 29 году. Профессором математики она стала в Швеции в 34 года (мужское число, но оно и понятно, математик – мужская профессия), проработала в Стокгольме 8 лет. За усовершенствование теории движения твёрдого тела Парижская академия наук в 1888 году присудила Ковалевской премию, которая по постановлению  комиссии была  увеличена    в 5/3 раза!

Карамзин Николай Михайлович. (1766 – 1826г.г.), русский писатель, историк, к фундаментальному труду «Истории государства Российского» приступил в свои 34 года. Пушкин Александр Сергеевич. Первые стихи Пушкин написал в 13 лет. 21 апреля 1820 года он пишет Вяземскому: «Петербург душен для меня. Я жажду краёв чужих!» 6 мая 1820 года Пушкин выезжает в ссылку в Екатеринослав. (Пушкину должно исполниться 21 год).  В 1833 году его стала интересовать история России; он начинает работать над крупными произведениями прозы, собирает материал о Пугачёве. Ему исполнилось 34 года.

Подобные тенденции у государственных и политических деятелей проследить тяжело.

 4. Числа Фибоначчи  в православной культуре

4.1. Арифметика русских храмов

 «Все материальные силы, все интеллектуальные силы общества сошлись в одной точке – в зодчестве», писал Гюго.   Если числа Фибоначчи отражают развитие живого на Земле, не стремится ли человек, творя прекрасное, следовать замыслам Творца? Проверим гипотезу, что  при строительстве русских храмов  зодчие имели дело с теми же числами Фибоначчи, как  то было в Древней Греции  (Олимпийские театры имели 2  (с количеством рядов 21 и 34) или 3 яруса (с количеством рядов 13,21, 34).

В Древнерусском государстве в строительстве каменных храмов была распространена крестово- купольная композиция. Главные и прочие столбы делили храм на нефы-галереи, межрядовые пространства. Так вот, нефов бывает 3 или 5. В 1652 году патриарх Никон предписал впредь строить церкви «о единой, о трёх, о пяти главах, а шатровые церкви впредь не строить». До этого предписания на Руси были 1 купольные храмы (деревянная церковь в Торжке), 2 – купольные (церковь Иоакима и Анны в Кашине), 3-х главые храмы (часовня и звонница Борисоглебского монастыря) (Приложение 6, c VI). Киевские и новгородские соборы Софии имели по 13 куполов. (Приложение 7, c VII) Преображенская церковь в Кижах имеет 5 ярусов и  21 главу. (Приложение 8, c VIII). В XVI  веке шатровые храмы строились во многих русских городах. Многогранное стрельчатое основание завершалось заострёнными кокошниками.  Так вот, в подмосковном селе остров Преображенская церковь была украшена 144 кокошниками. Шатёр храмов возвышался на восьмигранном основании.

4.2  Проявление чисел Фибоначчи в православных молитвах

В основных православных молитвах можно насчитать  5; 8: 13; 21; 34; 55  слов:

 «Боже, милостив буди мне грешному», (5)

«Святый Боже, Святый Крепкий, Святый Безсмертный, помилуй нас»; (8)

«Господи, Иисусе Христе, сыне Божий, помилуй мя, грешного»; (8)

«Господи Иисусе Христе, Сыне Божий, молитв ради Пречистыя Твоея Матерее, преподобных и богоносных отец наших и всех святых помилуй нас. Аминь»; (21)

«Ангеле Божий, хранителю мой святый, живот мой соблюди во страсе Христа Бога, ум мой утверди во истиннем пути, и к любви горней уязви душу мою, да тобою направляемъ, получу от Христа Бога велию милость» (34)

«Господи  боже наш еже согреших во дни сем словом делом и помышлением яко благ и человеколюбец прости ми ангела твоего хранителя посли покрывающа и соблюдаюша мя от всякоаго зла яко ты еси хранитель душам и телесам нашим и тебе славу возсылаем отцу и сыну и святаму духу ныне и присно и во веки веков Аминь». (55)

Заключение

 «Наука начинается с тех пор, как начинают измерять. Точная наука немыслима без меры», - высказывался Д.И. Менделеев.  В наше время измеряемыми величинами становятся информация, экономические показатели, эстетические ценности, процессы живых организмов … И всюду так или иначе обнаруживаются числа Фибоначчи в качестве управляющего начала в построении мира

Литература.

1. Воробьёв Н.Н. Числа Фибоначчи. М., 1992;
2. Энциклопедия для детей. Т11.Математика М: Аванта+, 1998;
3. Энциклопедия для детей. Т 7 часть 1, 2  Искусство М: Аванта+, 1998;
4. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. М., 1990;
5.  Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992;
6. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. М., 1984;
7. Тарасов Л. Этот удивительный мир. Просвещение, 1982;
8. Шевелёв И.Ш. Логика архитектурной гармонии. М., 1973;
9. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. М., 2002;
10. Православный молитвослов и псалтирь.  Свято -  Троицкий

              Ново-Голутвин  монастырь, 1996;

11. Миронова Т. Необычайное путешествие в древнюю Русь, М: «Молодая гвардия», 1994.