Исследовательская работа "Музыкальная гармония пропорции"

Районный конкурс научно-исследовательских, проектных и поисковых работ среди учащихся общеобразовательных учреждений Лямбирского муниципального района «Юный исследователь»

Исследовательская  работа

 «Музыкальная гармония пропорций»

      Выполнила: Муртазина Карина,

ученица 6 класса

      Руководитель: Айзятуллова З.М.,

        учитель математики

2016

Информационная страница

Школа –                                   Муниципальное общеобразовательное учреждение «Татарско-  Тавлинская основная общеобразовательная школа»

ФИО директора школы -          Булатов Ирфан Касимович.

Почтовый адрес школы -           Республика Мордовия, Лямбирский муниципальный район,  с.             Татарская Тавла, ул. Школьная, дом 36.

Телефон школы-                         3-37-31

ФИО автора -                              Муртазина Карина Ринатовна

Почтовый адрес -                        Республика Мордовия, Лямбирский муниципальный район, с.  Татарская Тавла, ул. Молодежная, дом 78

Класс -                                        6

Вид работы -                               исследовательская работа

Секция -                                       математика

ФИО руководителя проекта-      Айзятуллова Зульфия Мягзумовна, учитель математики

Почтовый адрес школы-              Республика Мордовия, Лямбирский муниципальный район, с. Татарская Тавла, ул. Советская, дом 3

Телефон -                                           3-38-08

Аннотация

ОГЛАВЛЕНИЕ:

                                                                                                                     Cтр.

Глава I.  Введение. Постановка цели работы………………………………………         3-5

  Глава II.  Музыкальная гармония пропорций

1. Пифагор и зарождение теории музыки………………………………      6-12
2. Архит и развитие теории музыки в эллинистическом мире…  12-16

3.Основные математические пропорции в пифагорейской

    музыкальной гамме…………………………………………………………………. 17-20

 Глава  III.  Выводы……………………………………………………………………………………… 21-22

Глава IV.  Список литературы…………………………………………………………………            23

Глава I.  Введение.

Музыка – это радость души, которая

                                                                        вычисляет, сама того не замечая

                                         Г.Лейбниц

            Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря  глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты. Мнение одного из знаменитых математиков приведено в эпиграфе, а вот что говорил далекий от математики человек – известный пианист Генрих Нейгауз: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека, и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства».

В музыке, что обычно забывается, немало математики. Мы используем западноевропейскую нотную систему, основа которой – две вполне строгие шкалы частоты и времени. Частоты звукоряда представляют собой геометрическую прогрессию с коэффициентом 1,059... (корень 12 степени из 2), а временная организация это звуки и паузы, находящиеся в кратных отношениях (чаще всего деноминатором выступает степень 2). Структура музыкального произведения нередко оказывается очень простой, представляя собой чередование некоторых «блоков-модулей» определенной протяженности. Мелодические партии имеют, как правило, деление на мотивы, фразы, предложения и периоды, а аккомпанирующие – явно выраженный периодический характер. И все это еще объединено гармонией – своеобразными матрицами нормативных сочетаний звуков из некоторой сетки частот.

     Актуальность темы:   математика – удивительная наука. Это часть человеческой культуры. Она везде: в природе, экономике … и в музыке тоже.

Цель: рассмотреть применение свойств математики в музыкальной гармонии пропорций.

Задачи:

  -Изучение учебной, научной и справочной литературы по теме «музыкальная гармония пропорций».

  -Исследование тесной связи между математикой и музыкой.

-Наглядно показать теоретическое и практическое учение о музыке в работах древнегреческих ученых.

-С помощью знаний, полученных при изучении связи между математикой и музыкой, создавать интерес учеников к «музыкальной  математике».

Выдвигаю гипотезу: музыка – это радость души, которая вычисляет сама того не замечая.

Объект исследования – математические пропорции.

Практическая значимость работы

Методы исследования: анализ научной, учебной и справочной литературы; сравнение и анализ результатов, полученных разными авторами, метод аналогии.

Глава II. Музыкальная гармония пропорций.

1. Пифагор и зарождение теории музыки 

        Теория музыки начала формироваться в трудах одного из самых таинственных ученых античного мира – Пифагора. О нем самом знают очень немного. Даже годы его жизни известны приблизительно: около 570 - -500 гг. до н.э.. Историки, утверждают, что Пифагор учился в Египте у жрецов, с меньшей уверенностью упоминают о его посещениях Вавилона. Точно известно, что в греческой колонии на юге Италии, в городе Кротоне было организовано Пифагором философское братство, которое по своему уставу и обрядам походило, скорее, на религиозную секту. Членам братства запрещалось разглашать непосвященным учение своей школы. Поэтому теперь невозможно определить, какие открытия были сделаны самими пифагорейцами, а какие были заимствованы у восточных мудрецов и в чем состоял вклад в эти открытия самого основателя школы.

Несомненны три факта. Первый – своего руководителя члены братства уважали до обожествления, иначе о нем не сохранилось бы столько легенд при  скудных точных сведениях. Второй – организованный в Кротоне союз людей, ищущих знания, сам по себе явил миру великий подвиг объединения

интеллектуальных сил   для бескорыстного служения истине. Третий и самый важный – пифагорейцы существенным образом продвинули математическую науку, поскольку через математику надеялись понять законы, управляющие миром. Они утверждали, что число есть сущность всех вещей, и приписывали числам мистические свойства. Научная трагедия пифагорейцев состояла в  том, что в то время были известны только положительные целые и дробные числа, т.е. собственно науку о числах еще предстояло развить.  Начало этому процессу они фактически и положили, поскольку в силу своих философских установок стали изучать числа сами по себе, т.е. оказались родоначальниками теоретической арифметики.

        Пифагорейцы первыми явно разделили числа на четные и нечетные, они же выделили понятие простого числа, им были знакомы три вида пропорций: арифметическая, т.е. равенство (a – b):(b – c) = a : а, геометрическая (a – b):(b – c) = a : b, гармоническая (a – b):(b – c) = a : c,  а также естественно, соответствующие средние, обозначаемые нами в каждом приведенном равенстве через b.  Так, из первой пропорции получаем знаменитую формулу для среднего арифметического двух чисел a  и c:  

   = 1,                                                                                                                                 отсюда  a – b = b – c   и   a + c = 2b, или  b =   .                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

        Пифагорейцы доказали, что сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов; установили, что плоскость можно «замостить» правильными многоугольниками так, что вокруг одной точки будут лежать

или шесть треугольников, или четыре квадрата, или три шестиугольника. Вообще сами понятия «плоскость», «точка» восходят к Пифагору.

          Бытует мнение, что Пифагор открыл теорему, носящую ныне его имя. Но в истории науки речь идет о том, что он нашел доказательство факта, который был известен задолго до него. Он вообще был сторонником интеллектуального исследования фактов, известных в землемерии. В то время сама мысль о том, что практические навыки землемеров (слово «геометрия» и означает «землемерие») должны быть обоснованы логическим путем, а не просто передаваться от учителя к ученику, как навыки мастеровых, была революционной. Таким образом, идея о необходимости доказательства утверждений, получаемых из опыта, своим распространением в науке в немалой степени обязана Пифагору.

        В эллинистическом мире неотъемлемой частью общего образования была музыка. Как люди аристократические и образованные, члены пифагорейского братства, конечно, не могли не интересоваться музыкальными произведениями, инструментами, законами распространения звука. Именно в музыке некоторые исследователи усматривают причину, породившую интерес пифагорейцев к числам, поскольку им удалось установить некоторые закономерности музыкальных созвучий.  А эти закономерности прекрасно укладывались в общую теорию Пифагора об абсолютной числовой гармонии всего сущего.

        Для изучения музыкальных закономерностей Пифагор изобрел специальный инструмент – монохорд. Он состоит из резонаторного ящика, натянутой струны и подвижной подставки для деления струны на части. Назначение резонаторного ящика понятно – он усиливает звук струны.

       Подвижные подставки помогали быстро увеличивать или уменьшать размер струны. Тем самым убыстрялась работа и можно было проводить десятки и сотни опытов, а на это Пифагор, конечно, не жалел ни времени, ни усилий. Шкала же служила контролером длины струны, т.е. позволяла сразу увидеть и запомнить, струна какой длины   тот или иной звук. Достаточно было натянуть две струны, чтобы установить, какое соотношение их длин дает гармоничный аккорд.

        После длительных экспериментов Пифагор установил, что две струны дают приятное для слуха совместное звучание (в музыке такое звучание называют консонансом), когда их длины относятся, как 1:2, 2:3 или 3:4.

Конкретно это означает, что если взять четыре струны, то длина первой будет в два раза больше последней (их совместное звучание дает интервал, называемый октавой). Длина третьей струны будет относиться к длине первой, и отношение второй к первой равно 3:4, что определяет еще один интервал – кварту. Отрезки, соответствующие длинам струн великого тетраксиса – так называли греки четверку чисел, лежащих в основе их теории музыки.

        Получить музыкальную пропорцию пифагорейцам помогло сочетание среднего арифметического и среднего гармонического. Взяв струны длиной

6 и 12 (т.е. в отношении 1:2), они нашли их среднее арифметическое

 (6+12): 2 = 9, а среднее гармоническое дало равенство

 (6 –b): (b – 12) = 6:12, т.е.,  2(6 – b) = b – 12, или 3b = 24, b = 8. Но отношение 9:12 = 3:4 дает кварту (вторая струна на рисунке), а отношение 8:12 = 2:3 квинту (третья струна на рисунке). Таким образом, длина четырех струн, дающих консонансы, должно быть 6, 8, 9, 12.

Можно заметить, что 6/8  6/9  =1/2 , или 3/4 ∙ 2/3  = 1/2  . От последнего                         равенства можно перейти к музыкальной пропорции: 2: 4/3  =3/2 : 1 

 (здесь фактически речь идет о делении октавы на кварту и квинту, которые как видно, не равны по длине).

        А теперь давайте подумаем сами, поскольку история не дает нам здесь достаточно понятного руководства: какой естественный вопрос напрашивается человеку, экспериментирующему с монохордом?

Вопрос такой: «Почему надо делить октаву на два неравных интервала – кварту и квинту? Что будет, если мы поделим октаву на два равных интервала?» но тогда согласно музыкальной пропорции получим:

х/у ∙ х/у = 1/2      и, следовательно, у/х  = .

        Пифагорейцы числа  не знали! Это число нельзя получить как отношение двух целых чисел, оно не выражается обыкновенной дробью. Вопрос, заданный нами самим себе, оказался очень упорен в своей неразрешимости и с музыкальной точки зрения, поскольку при соотношении длин струн 1:  в музыке получался не консонанс, а неприятный звук, просто шум.

        Доводя свою теорию до логического конца, пифагорейцы не могли не заметить одной весьма неприятной для них   неувязки: длины струн определенно существуют (сами-то струны можно просто потрогать), но числа, которым выражалось бы отношение этих длин, они указать не могут. Для них это число не существовало!  Во-первых, таких чисел тогда просто не знали, а во-вторых, всю свою философию они строили на целых числах и их отношениях. Получалось, что приятное звучание, т.е. консонанс, можно задать отношением целых чисел, а числа, ответственного за «шум», не находилось.  Но шум-то тоже существует! Как явление мирового устройства вещей он должен быть математически определен.

        Так рассуждали пифагорейцы или не так – мы не знаем. Но хорошо известно, что существование несоизмеримостей, т.е. того, что сейчас мы

называем иррациональным числом, они обнаружили в экспериментах с длинами струн.

        Более знаменитый случай обнаружения  связан с теоремой Пифагора. Обычно его называют открытием несоизмеримости стороны квадрата с его диагональю. В современных пояснениях это выглядит так.

        Примем сторону квадрата за 1, а его диагональ за  х.  Тогда, по теореме Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику, который образован двумя соседними сторонами квадрата и его диагональю, получим:      х2 = 12 +12  =  2, т.е.  х =

        Разумеется, пифагорейцы пользовались совсем другим доказательством и не знали современных обозначений. Но они отлично поняли, что по их основному догмату – «число (т.е. целое положительное число) есть сущность всех вещей» - нанесен сильнейший удар. Были обнаружены объекты, обычные отрезки, длины которых нельзя было измерить, если принять сторону квадрата за 1.

Позже пришлось признать, что существуют объекты более общей природы, чем числа, т.е. то, что нельзя выразить числом, можно выразить … длиной отрезка. Это был важнейший вывод для геометрии, поскольку все математические факты и доказательства стали формулировать на геометрическом языке. А это предопределило такой расцвет геометрии в эллинистическом мире, который и сейчас вызывает удивление, а некоторыми воспринимается как чудо.

         Неизвестно, как школа Пифагора преодолевала возникшую перед ней трудность. Дело в том, что она распалась, членов секты изгнали из Кротона.

Причину мы находим  в несколько туманных разъяснениях историков ХIХ в. После победы в очередной войне (города-государства эллинистического мира часто воевали между собой) к Кротону отошли какие-то новые земли. Но богачи-аристократы поделили их несправедливо, простому народу мало что досталось. Начались конфликты между демосом и аристократией, в которых   члены пифагорейского союза приняли сторону аристократов, поскольку сами принадлежали к их числу. На школу Пифагора жители Кротона и так посматривали косо, ведь его слушатели презирали простой народ, не разделяли его веру в богов-олимпийцев, не участвовали в обрядах народной религии и т.д. К тому же среди аристократов школа Пифагора имела значительное политическое влияние.

        Стоит ли удивляться, что возмущение народа однажды приняло самую жесткую форму. Люди окружили дома пифагорейцев и сожгли их. Немногим удалось спрятаться от народного гнева. Но Пифагор спасся. Он бежал в город Метапонт, где вскоре и умер. Члены его школы рассеялись по разным городам великой Греции. Тайно или явно они пропагандировали свое учение, что позволило многим ученым познакомиться с идеями Пифагора и развить все то, ценное, что в них заключалось. Однако пифагорейцы уже никогда не достигали такого влияния на общественную жизнь, как при своем основателе.

2. Архит и развитие теории музыки в эллинистическом мире.

Примерно через 60 лет после смерти Пифагора, в городе Таренте, что находился в восточной части южной Италии, родился человек, которого называют последним великим пифагорейцем – Архит Тарентский (ок.428-365 до н.э.). Он был учеником пифагорейца Филолая, который сумел внушить ученику интерес к основным научным проблемам своей школы. Судьба Архита была более счастливой, чем его научных предшественников. Известно, что он вел активную общественную деятельность и даже семь раз избирался в Таренте стратегом, причем как полководец не проиграл ни одного сражения. Но военные действия явно не составляли главного увлечения его жизни. Архит был прежде всего разносторонним ученым. Ему приписывается установление первых принципов механики, а также изобретение блока и винта. В истории о нем сохранилось представление как

об очень добром человеке, который увлекался созданием… детских игрушек. Архит смастерил, например, деревянного голубя, который мог летать. Впрочем, игрушка всегда служила гению первым воплощением его дальновидных замыслов.

        В математике Архит развил арифметику натуральных чисел и далеко продвинул теорию несоизмеримых величин. Здесь не место описывать его математические достижения. Но скажем, что, например, геометрическую  пропорцию (а – b):(b – c) = a:b   он привел к более удобному соотношению c:b = b:a, которым сейчас весьма часто пользуются учащиеся средней школы, получая из него формулу среднего геометрического b = . Гармоническое среднее (a – b) : (b – c) = a:c  после Архита. Тоже стало вычисляться более удобно: было установлено, что если a > b > c,  то среднее гармоническое  b  удовлетворяет равенству 1/с – 1/в = 1/в – 1/а, т.е. 1/в = ½(1/а + 1/с), или

b =     .

        Заметим, что сейчас дело сводится к алгебраическим преобразованиям, поэтому приведенные видоизменения кажутся простыми. Но когда алгебры не существовало, и все равенства формулировались на языке геометрии, получение нового соотношения было сопряжено с немалым трудом. Например, пропорцию с:в = в:а  на языке можно описать следующим образом: « Гипотенуза с  прямоугольного треугольника так относится к катету  b, как этот катет b  относится к той части гипотенузы, имеющей длину  а , которая прилежит к катету b». Архит указал способ вычисления квадратного корня из числа, не являющегося полным  квадратом.

Итак, Архиту удалось снять покров таинственности с неизмеримых отрезков, доказав, что их длины можно выразить отношением целых чисел, хотя и не совсем верно, но с такой точностью, которая требуется для практики.

Перейдем теперь к тому вкладу, который Архит внес в теорию музыки, ведь он считается самым крупным теоретиком  музыки античности. Мы уже говорили о законе, который экспериментально был установлен в школе Пифагора. Архит же обосновал еще один важный закон музыкальных созвучий, который мы сейчас поясним.

        Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струн. Некоторые исследователи связывали это только с натяжением струн. Однако данное мнение было ошибочным. Архит показал, что ответ на этот трудный вопрос кроется в высоте тона ( или частоте колебания струны).Колебание струны представляет собой процесс ударения струны по частичкам воздуха, который передается слушателю звуковыми волнами. Конечно, в те годы не была известна волновая теория распространения звука. Однако Архит верно установил, что частота колебания струны (высота тона) обратно пропорциональна ее длине.

В основу музыкальной системы, открытой учеными пифагорейского союза, были положены два закона, носящие сегодня имена Пифагора и Архита.

3. Основные математические пропорции в пифагорейской музыкальной гамме.

Закон I. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся, как целые числа: 1:2; 2:3; 3:4.

Закон II. Частота колебаний   f  обратно пропорциональна ее длине   l,  т.е.   f=  ,  где  а  - коэффициент, характеризующий физические свойства струны (особенности материала и процесса натяжения).

        Рассмотрим некоторые пропорции, устанавливающие зависимости между звуками, которые были заложены в пифагорейской музыкальной гамме.

        Гамма – это последовательность звуков, которые расположены от основного звука верх или вниз. Следуя современным представлениям, надо  например, клавишу «до» и двигаться постепенно вправо или влево

по клавиатуре фортепиано до тех пор, пока не дойдем до ноты «до», но уже следующей или предыдущей октавы.

        Выше уже упоминалось, что древнегреческие ученые верили в совершенные пропорции и существование музыкальной и космической гармонии. Поэтому они и связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим. Эти пропорции устанавливали зависимость между длинами струн трех основных интервалов: октавы, квинты и кварты. Те же самые пропорции используются и для определения связи между частотами звуков, соответствующих указанным интервалам.

        Для того, чтобы проследить процесс построения пифагорейской музыкальной гаммы, введем систему координат, у которой ось абсцисс – шкала частот звуков гаммы, а ось ординат – шкала соответствующих длин струн. Пусть начало координат – звук «до», длина струны – 1, его частота также равна 1. Тогда звук на октаву выше будет иметь частоту 2, а длину струны – 1/2. Возьмем квинту «до-соль». Отношение частот – 3/2 ( отношение частоты верхнего звука к частоте нижнего).  «До»  -  «фа»  кварта – 4/3. Если взять отношение частот «до1» к «соль», получим  2: 3/2 =4/3, т.е.   интервал так же является квартой.  В начале речь шла о музыкальной пропорции         2:4/3 = 3/2: 1,  для которой, как и для всякой другой пропорции выполняется 4/3 ∙ 3/2 =  2 : 1.

        На языке математической теории музыки это означает, что «сумма» квинты и кварты есть октава.

        Найдем теперь частотный интервал между звуками «фа» и «соль». Для этого поделим частоту последующей ноты на чистоту предыдущей,

т.е. 3/2: 4/3 = 9/8.  Число 9/8  выражает так называемый тон-интервал. С его помощью получают частоты звуков, отличающихся друг от друга на целый тон. Например, если мы хотим  узнать частоту звука «ми» по частоте звука «ре», то должны выполнить умножение 9/8 ∙ 9/8 = 81/64  . Точно так же от «соль» можно перейти к «ля» -  3/2 ∙ 9/8 =27/16, а от «ля» - к «си» -  27/16 ∙9/8 = 243/128, поскольку  эти пары звуков отличаются друг от друга на целый тон.

        Но вот звуки «ми»  и  «фа», «си»  и  «до1» различаются на полутон. Для того, чтобы показать, как это выражается математически, поделим частоту звука «фа» на частоту звука «ми»:  4/3 : 81/64 = 256/243.  Итак, полутон выражается дробью  . В самом деле, при переходе от «си» к «до1» имеем:  243/128 ∙ 256/243 = 2.

        Естественно ожидать, что в одном тоне-интервале содержится два равных полутона. Проверим, так ли это. Если представить полутон дробью х/у и считать, что два полутона составляют целый тон, то математически это  выражается  равенством х/у ∙ х/у = 9/8, т.е. х/у  =  =1,061. На самом же деле полутон выражается дробью  = 1,053.

Очевидно расхождение между реальным числом, выражающим полутон, и его значением, вытекающим из гипотезы о том, что два полутона составляют целый тон. Как видим, расхождение небольшое. В реальности имеет 1,0953, а гипотетически – 1,061. Эта неточность получила название пифагоровой коммы.  Она свидетельствует о несовершенстве пифагоровой теории музыки, поскольку не давала возможности точно настроить инструменты. Тот факт, что два полутона «не укладывались» в целый тон, улавливался чутким ухом музыканта.

Увлекшись построением музыкальной гаммы, мы забыли о пропорциях, которые были положены пифагорейцами в ее основу. Покажем это на примерах. Найдем среднее арифметическое частот «до» и «до1»: (1+2)/ 2 = 3/2, получим частоту, соответствующую квинте («до» - «соль»). А если теперь найти среднее гармоническое тех же частот  =4/3, то придем к кварте («до» - «фа»). Точно так же можно получить «ля» как среднее арифметическое частот «ре» и «ре1» (2∙9/8 =9/4) : (9/8 + 9/4)/2 =

Описанная выше музыкальная гамма называлась лидийской. Кроме нее были и другие гаммы. Древние греки их называли гармониями  («гармония» - это связь, согласие, созвучие). В Древней Греции считалось, что с помощью гамм разных музыкальных оттенков и разного математического построения можно воздействовать на душу человека. Вообще в античные времена была популярна мысль о том, что хорошая музыка может улучшить душу человека, а плохая – испортить ее. Музыка почиталась очищающей силой души.

                                                     Заключение

На протяжении многих столетий музыканты настраивали инструменты так, как это делали в Древней Греции. Однако этот настрой не мог казаться им полностью подходящим, поскольку в нем сохранялась «пифагорова комма». Она была следствием несовершенства не только пифагорейской музыкальной гаммы, но и учения о числе. Теорию музыки оказалось возможным улучшить только после достаточного развития математики иррациональных величин.

Но, прежде чем в науке утвердилось новое учение о числе, прежде чем появился новый музыкальный строй, прошла целая эпоха.

На практике музыкант значительно реже математика задумывается о формальной основе музыкального произведения, которая зафиксирована в нотах. То, что действительно в музыке является строгим, складывалось столетиями, обусловлено акустическими явлениями и психологией восприятия звука. Но все это для традиционного музыканта некая данность, фундамент, который в повседневной практике не требует ни ревизии, ни пристального внимания. И это оправданно, поскольку предмет музыканта, будь он исполнителем, композитором, педагогом или теоретиком, менее формализован и включает собственные непростые задачи.

Нотный текст и звучащее произведение – вещи очень разные. По сути, партитура это лишь план действия исполнителя. С акустической точки зрения, звучащее произведение – чрезвычайно сложный объект, уникальность которого связана с конкретным музыкантом и конкретным исполнением. Действительно, анализируя версии самой простой мелодии, разбираясь в волнах и спектрах акустической записи, можно схватиться за голову от обилия нюансов. Как соотносятся объемы данных нотного текста и звучащего произведения?

Простой пример – небольшой менуэт Ф.Э.Баха включает 107 нот, помимо этого в нотном тексте содержится 38 специальных указаний. Не сложно подсчитать, что если на кодировку нот использовать по 3 байта (старт, стоп и номер ноты), по байту на специальные указания, то все произведение вполне можно закодировать в файле размером в 0,5 Кb. Но реальное произведение звучит 2,4 минуты и занимает объем в 13-16 Мb!!! Даже если это сжать, то и 1,5 Мb в 3000 раз больше объема закодированной партитуры. Кто-то скажет, что в этих звуковых данных много лишнего, второстепенного и в чем-то будет прав, но... попробуйте что-то подобное сказать музыканту! Исполнителю кажется, что как не записывай – всегда что-то теряется – какие уж здесь разговоры о сжатии и прореживании! Но, что же, на самом деле содержится в звучащем произведении и что в этих мегабайтах? Наверное, именно в нюансах живого выразительного исполнения сама музыка, а нотная партитура в действительности лишь план исполнения.

                                                Список литературы

1. А.И. Азевич «Двадцать уроков гармонии». М. 1998.
2. Алексей Насретдинов «Математика, музыка и немного истории»
3. «Алгебра гармонию поверит», PCWeek
4. Васютинский Н.Н. Золотая пропорция. М. 1990.
5. Волошинов А.В. Математика и искусство. М. 1990.
6. Волошинов А.В. Пифагор. М. 1992.
7. Скребков С.С. Анализ музыкальных произведений. М. 1997.
8. Татаркевич В. Античная эстетика. М. 1997.
9. Материалы интернета.

«О присутствии «золотой пропорции»в музыке»

В музыкальных произведениях есть понятие размерности. Размерность эта стремится к «золотой пропорции».

Хроматическая фантазия И. Баха разделена на первую и вторую части в золотой пропорции. Чувственное впечатление и рациональный анализ позволяют приблизиться к сокровенным тайнам гения. На занятиях в музыкальной школе мы прослушали это произведение.

Ряд золотого сечения фуги РЕ- МИНОР хроматической фантазии Баха.