Презентация "Векторы"

Слайд 1

Слайд 2

Содержание Понятие вектора Понятие вектора Равенство векторов Сложение и вычитание векторов Сумма двух векторов Законы сложения векторов Правило параллелограмма Сумма нескольких векторов Вычитание векторов Теорема о разности двух векторов Умножение вектора на число. Произведение вектора на число. Задание1 Задание 2 Задание3 I

Слайд 3

Метод координат Лемма Теорема Координаты вектора Правила действий над векторами с заданными координатами Задание4 Применение метода координат к решению задач II Угол между векторами Скалярное произведение векторов III Скалярное произведение векторов Скалярное произведение в координатах Свойства скалярного произведения векторов Задание 5 Задание6

Слайд 4

Начальные сведения о векторах

Слайд 5

Понятие вектора Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком, или вектором А В Начало вектора Конец вектора АВ Нулевой вектор — это вектор, начало которого совпадает с его концом . Любая точка является нулевым вектором. А Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ 0 АА АВ 6 АВ = 6

Слайд 6

Равенство векторов Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. М а b Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Два ненулевые вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными , если их концы лежат по одну сторону от прямой , проходящей через начало. а b а b АВ

Слайд 7

Два ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются противоположно направленными , если их концы лежат по разные стороны от прямой проходящей через начало. а b Вектора называются равными , если они сонаправлены и равны по длине а b

Слайд 8

Задание1 Начертите векторы АВ , CD и EF так, чтобы АВ , CD и EF были коллинеарны и АВ = 1 , CD = 2,5 , EF = 4,5 АВ CD EF АВ = 1 CD = 2,5 EF = 4,5

Слайд 9

Сумма двух векторов Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный b . Вектор АС называется суммой векторов а и b Это правило сложение векторов называется правилом треугольника а b А В С АВ + ВС = АС

Слайд 10

Законы сложения векторов а + b = b + а ( переместительный закон ) (а + b ) + с= ( b + с ) + а ( сочетательный закон ) Для любых векторов а, b , и с справедливы равенства:

Слайд 11

Правило параллелограмма Чтобы сложить неколлинеарные векторы а и b , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы АВ = а и А D = b и построить параллелограмм АВС D . Тогда вектор АС равен а + b А а В С D b а + b = АС

Слайд 12

Сумма нескольких векторов а а₂ а₃ а₄ а₅ а₆ p а + а ₂ + а ₃ + а ₄ + а ₅ + а ₆ = р Сложение нескольких векторов производиться следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим и т.д.

Слайд 13

Вычитание векторов Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. О А В а а а- b b b Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки векторы ОА = а и ОВ = b . По правилу треугольника ОВ + ВА= ОА или b + ВА = а. Таким образом, сумма векторов ВА и b равна а. По определению разности векторов это означает, что ВА = а – b , т.е. вектор ВА искомый.

Слайд 14

Теорема о разности двух векторов Для любых векторов а и b справедливо равенство а – b = а + ( - b ). Доказательство По определению разности векторов ( а – b ) + b = а . Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (- b) , получим: (а – b ) + b + ( - b ) = а + ( -b) или а – b = а + ( - b ). Теорема доказана.

Слайд 15

Задание2 Точки М и N – середины AB и BC треугольника ABC. Выразите векторы BM , MN , BN через векторы а = AM и b = AN А M B N C a b BM = - а ( М – середина АВ, ВМ а ) -а АМ + MN = NA a + MN = -b MN = - b – a -b - a BN = BM + MN = -a – b – a = -2a - b -2a -b

Слайд 16

Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b , длина которого равна | k| ∙ |а| , причём векторы а и b сонаправлены при k ≥0 и противоположно направлены при k<0 . Произведение вектора на число Произведение любого вектора на число нуль - есть нулевой вектор Для любого числа k и любого вектора а векторы а и k а коллинеарны . а а √ 2а 3а

Слайд 17

Задание3 Начертите два не коллинеарных вектора x и y и постройте векторы: а) x + 2y ; б) 0,5y + x в) 3 x + 0,5y г) 0 x +4y x в) x + 2y б) 0,5y + x г) y 3 x + 0,5y 0 x +4y

Слайд 18

Метод координат

Слайд 19

Лемма Если векторы a и b коллинеарны и a ≠0,то существует такое число к, что b = ka . | ka | = |k| ∙ |a| = |b| ∙ |a| = |b| |a| 1. a b k = |b| |a| k ≥0 2. a b k = |b| k<0 |k| * |a| = |b| |a| => b = ka

Слайд 20

Теорема Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом Пусть a и b неколлинеарны . Докажем сначала, что любой вектор p можно разложить по векторам a и b . Возможны два случая. a p b 2. a b O A B P A ₁ p p b => по лемме о коллинеарных векторах p = yb , где y – некоторое число, => p=0∙a + y ∙ b , т.е вектор p разложен по векторам a и b . p a, p b PA₁ b, PB a OA₁= xa , A₁P= yb => p = xa + yb 1. p a, p b PA₁ b, PB a OA₁= xa , A₁P= yb => p = xa + yb

Слайд 21

2. Докажем теперь, что коэффициенты x и y разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением p= xa+yb имеет место другое разложение p= x₁a+y₁b p= xa+yb p= x ₁a+y₁b a=kb ,= > a b - противоречие ,т.к. a b( по усл . Теоремы ) допущение о том, что x₁y ₁ неверно, значит, теорема доказана.

Слайд 22

Координаты вектора x y j i Векторы i и j называются координатными векторами . p= xi + yj p{ х ; y} O A OA {2 ; 1} x ; y – координаты p

Слайд 23

Правила действий над векторами с заданными координатами 1˚. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. a {x₁ ; y₁} и b{x₂ ; y₂} a = x₁i + y₁j , b = x₂i + y₂j a + b = x₁i + y₁j + x₂i + y₂j =(x₁ + x₂) i + (y₁ + y₂)j a +b {x₁ + x₂ ; x₁ + x₂}

Слайд 24

2˚. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. a {x₁ ; y₁}, b{ х ₂ ; y₂} a – b {x₁-x₂ ; y₁-y₂} 3 ˚. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. a {x ; y} ka = kxi + kyj ka { kx ; ky }

Слайд 25

Задание4 Найдите координаты вектора p = 2a - 3b + c , если известно, что a{1 ; -2} , b { 0;2 } , c { -2;3 } . => a {1 ; -2} , => 2 a { 2;-4 } b { 0;2 } , => - 3b { 0;- 6} p = (2a) + (-3b) + c => p {2+0-2 ; -4- 6 +3 } p{ 0;- 7}

Слайд 26

Применение метода координат к решению задач Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала . Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. A ( x A ; y A ), B ( x B ; y B ), C- середина AB C ( ; ) Если т.А имеет координаты ( x A ; y A ) , а т.В имеет координаты ( x B ; y B ), то AB { x B – x A ; y B - y A }

Слайд 27

Длина вектора Расстояние между двумя точками A ( x A ; y A ) ,B ( x B ; y B ) a {a x ; a y }

Слайд 28

Задание5 Найдите длины векторов , если: а) a{ 5;9 } , б) b{ -3;4 } Найдите расстояние между точками А и В, если ; а) А(2;7), В (-2;7) ; б) А(-5;1) В(-5;-7) a{ 5;9 } b{ -3;4 } А(2;7), В (-2;7) А(-5;1) В(-5;-7) а) а) б) б)

Слайд 29

Скалярное произведение векторов

Слайд 30

Угол между векторами O A B Градусную меру AOB обозначим . Угол между векторами a и b равен . Угол между векторами a и b обозначается так: a b a b a b a и b , OA=a , OB=b если a b , то лучи OA и OB образуют AOB a b , или один из них или оба нулевые , то =0˚ a c d f b 30 ˚ Углы между векторами таковы: a b = 30˚, a c=120˚, b c=90˚, d f=0˚, d c=180˚ Два вектора называются перпендикулярными, если угол между равен 90˚. α

Слайд 31

Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. a∙b = a ∙ b ∙ cos (a b) Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a∙a = a ²

Слайд 32

Скалярное произведение в координатах. Теорема ab = x₁x ₂ + y₁y ₂ α O B A Скалярное произведение векторов a {x₁ ; y₁} и b {x₂ ; y₂} выражается формулой: a и b не нулевые. OA=a , OB=b . AB²= O A²+ OB² – 2∙ OA∙OB∙ cosα AB=b – a, OA=a. OB=b, b- a ²= a ² + b ² - 2ab ab =½( a ² + b ² - b - a ²) a{x₁ ; y₁}, b{x₂ ; y₂} и b-a {x₂ - x₁ ; y₂ - y₁} a ² =x + y , b ²=x +y , b-a ²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)² b a

Слайд 33

Следствие 1˚ Ненулевые векторы a{x₁ ; y₁} и b{x₂ ; y₂} перпендикулярны тогда и только тогда, когда x₁x ₂ + y₁ y₂ =0 Следствие 2˚ Косинус угла α между ненулевыми векторами a{x₁ ; y₁} и b{x₂ ; y₂} выражается формулой:

Слайд 34

Свойства скалярного произведения векторов 1˚. a²≥0 , причём a²>0 при a ≠0 2˚. a∙b = b∙a (переместительный закон) 3˚( a +b)c= a∙c+b∙c (распределительный закон) 4˚( ka)b = k( a∙b ) ( сочетательный закон) Для любых векторов a,b,c и любого числа k справедливы соотношения:

Слайд 35

Задание6 Вычислите скалярное произведение векторов a и b , если : а) a{4 ;-1 } , b{ 2;3 } ; б) a{ -5;6 } , b{ 6;5 } a{4 ;-1 }, b{ 2;3 } a∙b = 4 ∙ 2+(-1) ∙ 3= 8 -3= 5 б) a{ -5;6 } , b{ 6;5 } a∙b =(-5) ∙ 6+6 ∙ 5=0

Слайд 36

За Внимание