Информационный проект «Необычное в обычном или чудеса в математике» на тему: «Софизмы»

Слайд 1

a + b = c 2 × 2 = 5 sin α cos α S = abc Необычное в обычном или чудеса в математике Математические софизмы Выполнили: ученики 10х классов МОУ лицей №3 Смолянинова Дарья Пацуков Андрей Руководитель: Чернятинская Г.И.

Слайд 2

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию». И. П. Павлов. «Людям, которые желают идти верной дорогой, важно также знать и об отклонениях». Аристотель

Слайд 4

Цели работы : 1) Расширить математический кругозор, познакомиться с новыми понятиями. 2) Развить логическое мышление, наблюдательность, критическое отношение к изучаемому. 3) Увидеть, что и математика преподносит нам занимательные фокусы и загадки, познакомиться с ними, узнать, что такое «софизмы». Основополагающий вопрос: Чем можно удивить? Проблемные вопросы: 1) Что такое математические софизмы? 2) Какие существуют разновидности софизмов? 3) Может ли спичка быть длиннее столба? 4) что такое «парадоксы»?

Слайд 5

ИТАК...

Слайд 6

Что такое софизм? Софизм – (от греческого «sophisma» - мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка) - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям.

Слайд 7

Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.

Слайд 8

Софизмы появились ещё в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов- платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике ( науке и искусству красноречия). Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить доказывать( подтверждать или опровергать) всё что угодно. Для этого они использовали разнообразные логические, психологические и риторические приемы. К логическим приемам нечестного, удачного ведения дискуссии относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в споре недостаточно. Ведь если объективная истина не на стороне спорящего , он все равно проиграет спор. Это понимали и софисты. Поэтому они разработали философскую идею о том, что никаких объективных истин не существует, сколько людей - столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства становится вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто хорошо владеет приемами полемики.

Слайд 9

Софизмы бывают: Арифметические Алгебраические Геометрические Прочие

Слайд 10

Арифметика - (греч. arithmetika , от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь, натуральных и рациональных, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда. Арифметические софизмы a=b 2+2=5

Слайд 11

1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В» Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В. Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему: А(В-А)>(В+А)(В-А). (1) После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что А>В+А (2), А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда А>2В. Примеры : 2. «2×2=5» Напишем тождество 4:4=5:5 Вынесем в каждой части общие множители за скобки: 4(1:1)=5(1:1) Так как 1=1, то 4=5 и 2×2=5.

Слайд 12

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы Алгебры, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Алгебраические софизмы

Слайд 13

Примеры : 3 . «Неравные числа равны» Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b . Пусть их разность равна с , т.е. а - b = c . Умножив обе части этого равенства на а-b , получим ( а-b )² =c ( a-b ), а раскрыв скобки, придем к равенству a²-2ab+b²=ca-cb , из которого следует равенство a²-ab-ac=ab-b²-bc . Вынося общий множитель а слева и общий множитель b справа за скобки получим: a( a-b-c )=b( a-b-c ). Разделив последнее равенство на ( a-b-c ) , получаем, что a=b . 5.« Всякое число равно своему удвоенному значению» Запишем очевидное для любого числа а тождество а²-а²= а²-а ² . Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим: а(а-а)=( а+а )( а-а ) . Разделив обе части на а-а , получим а=а+а , или а=2а. 4. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть, а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c , b = a + c . Перемножаем два эти равенства по частям, нахо-дим : b ² - ab = ca + c ² . Вычтем из обеих частей bc . Получим: b ²- ab - bc = ca + c ² - bc , или b ( b - a - c ) = - c ( b - a - c ), откуда b = - c , но c = b - a , поэтому b = a - b , или a = 2b .

Слайд 14

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними. Геометрические софизмы

Слайд 15

Примеры : A B C O K L M 6.«Катет равен гипотенузе» Угол С равен 90˚, ВО - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВО, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = BC

Слайд 16

7. а по условию параллельно b . с в свою очередь параллельно d . а и b – параллельные прямые, они пересекаются с с и d – параллельными прямыми. Вывод: параллельные прямые пересекаются. а b c d

Слайд 17

Прочие софизмы Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Слайд 18

Примеры : «Полупустое и полуполное » «Полупустое есть то же, что и полуполное . Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное». «Не знаешь то, что знаешь» «Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь». «Вор» «Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего». «Рогатый» «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

Слайд 19

«Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?» Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень. «Куча» Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка. К этому парадоксу можно сделать следующий комментарий: метод полной математической индукции нельзя применять, как показывает парадокс, к объёмно неопределённым понятиям, каковым является понятие "куча песка". «Чем больше» «Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки. Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного я проливаю. Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю. Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше». «Если какой-нибудь человек говорит, что он лжет, то лжет ли он или говорит правду?» Допущение того, что он говорит правду, будет означать, что правдой является то, что он лжет (об этом он и говорит), значит, выходит, что лжет. Если же он лжет, то это как раз и есть то, что он открыто признает. Получается, что он говорит правду».

Слайд 20

Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение. Такой подход способствует пониманию того, что математика – это живая наука, а не собрание закостенелых догм, выдуманных по чьей-то злой воле.