Проект по математике на тему "Число Пи"

Муниципальное казенное учреждение
”Средняя общеобразовательная школа №1 им. Шелаева”

Проект по математике:
”Число Пи”

Работала: ученица 10”А” класса

Родина Полина

Руководитель: учитель математики

Киселёва Татьяна Евгеньевна

21.12.16г.

Содержание:

1. Что такое число Пи?

2.  Точка Фейнмана
   
3.  Пи в жизни

4. Число Пи в творчестве

Введение:

Пожалуй, в мире нет числа загадочнее и интереснее, число пи. С его знаменитым никогда не заканчивающимся числовым рядом.

Это число не даёт покоя всем ученым, особенно математикам.

Сегодня же мы постараемся узнать больше об этом загадочном числе и разобраться с его основной сутью.

Что такое Пи?

 Это математическая константа, равная отношению длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».

 Число иррациональное, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим.

 Трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами.

История:

Впервые обозначением этого числа греческой буквой пи  воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

История числа пи   шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого пи  изучалось с позиции геометрии , классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Еврепе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.

Древний период:

Постоянство отношения длины любой окружности к её диаметру было замечено уже давно. Жители Междуречья применяли довольно грубое приближение числа π. Как следует из древних задач, в своих расчетах они используют значение π≈3π≈3.

Более точное значение для π использовали древние египтяне. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетского папируса, который называют «папирус Ринда». Папирус был составлен писцом Армесом примерно между 2000-1700 гг. до н.э.. Армес в своем папирусе написал, что площадь круга с радиусом r равна площади квадрата со стороной, равной 8/9 от диаметра окружности 8/9⋅2r, то есть 256/81⋅r^2=πr^2. Отсюда π=3,16.

Древнегреческий математик Архимед (287-212 гг. до н.э.) впервые поставил задачу измерения круга на научную почву. Он получил оценку 3*10/71<π<3*1/, рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа π в виде дроби 22/7, которое до сих называется архимедовым числом.

Метод достаточно простой, но при отсутствии готовых таблиц тригонометрических функций потребуется извлечение корней. Кроме этого, приближение сходится к π очень медленно: с каждой итерацией погрешность уменьшается лишь вчетверо.

Классическая эра:

Несмотря на это, до середины 17 века все попытки европейских учёных вычислить число π сводились к увеличению сторон многоугольника. Так например, голландский математик Лудольф ван Цейлен (1540-1610 гг.) вычислил приближенное значение числа π с точностью до 20-ти десятичных цифр.

На вычисление ему понадобилось 10 лет. Удваивая по методу Архимеда число сторон вписанных и описанных многоугольников, он дошел до 60⋅2^29 — угольника с целью вычисления π с 20 десятичными знаками.

После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа π. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число π иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа».

Одним из первых, кто представил метод, отличный от метода Архимеда, был Франсуа Виет (1540-1603 гг.). Он пришел к результату, что круг, диаметр которого равен единице, имеет площадь:

(формула на слайде презентации)

С другой стороны, площадь равна π/4. Подставив и упростив выражение, можно получить следующую формулу бесконечного произведения для вычисления приближенного значения π/2:

(формула на слайде презентации)

Полученная формула представляет собой первое точное аналитическое выражение для числа π. Кроме этой формулы, Виет, используя метод Архимеда, дал с помощью вписанных и описанных многоугольников, начиная с 6-угольника и заканчивая многоугольником с 2^16⋅6 сторонами приближение числа π с 9 правильными знаками.

Английский математик Уильям Броункер (1620-1684 гг.), используя цепную дробь , получил следующие результаты вычисления π/4:

(формула на слайде презентации)

Данный метод вычисления приближения числа 4/π требует довольно больших вычислений, чтобы получить хотя бы небольшое приближение.

Получаемые в результате подстановки значения то больше, то меньше числа π, и каждый раз все ближе к истинному значению, но для получения значения 3,141592 потребуется совершить довольно большие вычисления.

Другой английский математик Джон Мэчин (1686-1751 гг.) в 1706 году для вычисления числа π со 100 десятичными знаками воспользовался] формулой, выведенной Лейбницем в 1673 году, и применил её следующим образом:

(формула на слайде презентации)

Ряд быстро сходится и с его помощью можно вычислить число π с большой точностью. Формулы подобного типа использовались для установки нескольких рекордов в эпоху компьютеров.

В XVII в. с началом периода математики переменной величины наступил новый этап в вычислении π. Немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 гг.) в 1673 году нашел разложение числа π, в общем виде его можно записать следующим бесконечным рядом:

(формула на слайде презентации)

Леонард Эйлер развивает идею Лейбница в своих работах, посвященных использованию рядов для arctg x при вычислении числа π. В трактате «De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi» (О различных методах выражения квадратуры круга приближенными числами), написанном в 1738 году, рассматриваются методы усовершенствования вычислений по формуле Лейбница.

Эйлер пишет о том, что ряд для арктангенса будет сходиться быстрее, если аргумент будет стремиться к нулю. Для x=1 сходимость ряда очень медленная: для вычисления с точностью до 100 цифр необходимо сложить 10^50 членов ряда. Ускорить вычисления можно, уменьшив значение аргумента

(формула на слайде презентации)

По утверждению Эйлера, если мы возьмем 210 членов этого ряда, то получим 100 верных знаков числа. Полученный ряд неудобен, потому что необходимо знать достаточно точное значение иррационального числа √3. Также Эйлер в своих вычислениях использовал разложения арктангенсов на сумму арктангенсов меньших аргументов:

(формула на слайде презентации)

Далеко не все формулы для вычисления π, которые использовал Эйлер в своих записных книжках, были опубликованы. В опубликованных работах и записных книжках он рассмотрел 3 различных ряда для вычисления арктангенса, а также привел множество утверждений, касающихся количества суммируемых членов, необходимых для получения приближенного значения π c заданной точностью.

В последующие годы уточнения значения числа π происходили все быстрее и быстрее. Так, например, в 1794 году Георг Вега (1754-1802 гг.) определил уже 140 знаков , из который только 136 оказались верными.

Эра цифровых компьютеров:

Следующее достижение в вычислении π принадлежит французскому программисту Фабрису Беллару , который в конце 2009 года на своем персональном компьютере  установил рекорд, вычислив 2 699 999 990 000 знаков после запятой числа π. За последние 14 лет это первый мировой рекорд, который поставлен без использования суперкомпьютера. Для высокой производительности Фабрис использовал формулу братьев Чудновских. В общей сложности вычисление заняло 131 день (103 дня расчеты и 13 дней проверка результата). Достижение Беллара показало, что для таких вычислений не обязательно иметь суперкомпьютер.

Всего через полгода рекорд Франсуа был побит инженерами Александром Йи и Сингеру Кондо. Для установления рекорда в 5 триллионов знаков после запятой числа π был также использован персональный компьютер, но уже с более внушительными характеристиками. Для вычислений Александр и Сингеру использовали формулу братьев Чудновских. Процесс вычисления занял 90 дней и 22 ТБ дискового пространства. В 2011 году они установили еще один рекорд , вычислив 10 триллионов десятичных знаков числа π. Вычисления происходили на том же компьютере, на котором был поставлен их предыдущий рекорд и занял в общей сложности 371 день. В конце 2013 года Александр и Сингеру улучшили рекорд до 12,1 триллиона цифр числа π, вычисление которых заняло у них всего 94 дня. Текущим рекордом является рекорд Александра Йи и Сингеру Кондо, который составляет 12,1 триллиона цифр после запятой числа π.

Таким образом, мы рассмотрели методы вычисления числа π, используемые в древние времена, аналитические методы, а также рассмотрели современные методы и рекорды по вычислению числа π на компьютерах.

В своей статьей для New Yorker написал Стивен Строгац, математик из Корнелльского университета, «Пи помещает бесконечность в пределы досягаемости». Но что больше всего раздражает математиков – им не известно, действительно ли последовательность цифр в Пи является случайной. «Противоречие между порядком и случайностью – самый изысканный аспект Пи», — считает Строгац.

Точка Фейнмана:

Точка Фейнмана — последовательность из шести девяток, начинающаяся с 762-ой цифры десятичной записи числа пи. Носит имя американского физика Ричарда Фейнмана (1918—1988), который сказал на одной лекции, что хотел бы запомнить цифры числа пи до этой позиции, чтобы заканчивать рассказ кому-либо словами «девять, девять, девять, девять, девять, девять и так далее», как бы предполагая, что значение π рационально.

Точкой Фейнмана также называют первое возникновение последовательности четырёх или пяти идентичных цифр. Например, точка Фейнмана для цифры 7 — 1589, позиция в числе пи, где семёрка впервые повторяется четыре раза подряд.

(изображение на слайде презентации)

На изображении представлены первые 1300 цифр числа πи. Две повторяющиеся цифры помечены жёлтым, три — зелёным, а шесть — красным

Из случайно выбранных чисел частота встречаемости шести цифр подряд равна приблизительно 0,08 % (на данный момент неизвестно, является ли π нормальным числом)

Следующая комбинация шести цифр подряд, опять девяток, в числе пи встречается на позиции 193 034. На позиции 222 299 можно найти шесть восьмёрок. Ноль повторяется шесть раз в позиции 1 699 927. Последовательность же «12345678» встречается уже в позиции 186 557 266. Последовательность цифр «141592», которая находится сразу после запятой, повторяется в позиции 821 582. Последовательность «123456789», можно встретить уже только на позиции 523 551 502.

Число Пи в жизни:

Поскольку в последовательности знаков числа пи нет повторений – это значит, что последовательность знаков числа пи подчиняется теории хаоса, точнее, число пи – это и есть хаос, записанный цифрами.. Более того, при желании, можно этот хаос представить графически, и есть предположение, что этот Хаос разумен. В 1965-м году американский математик М. Улэм, сидя на одном скучном собрании, от нечего делать начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число пи. Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Попутно он обводил все простые числа кружками. Каково же было его удивление и ужас, когда кружки стали выстраиваться вдоль прямых!

В десятичном хвосте числа пи можно отыскать любую задуманную последовательность цифр. Любая последовательность цифр в десятичных знаках числа пи рано или поздно найдется. Любая!

Ну и что? – спросите вы. Если там есть ваш телефон (а он есть), то ведь там же есть и телефон той девушки, которая не захотела дать вам свой номер. Более того, там есть и номера кредиток, и даже все значения выигрышных номеров завтрашнего тиража лотереи. Да что там, вообще всех лотерей на много тысячелетий вперед. Вопрос в том, как их там отыскать…

Если зашифровать все буквы цифрами, то в десятичном разложении числа пи можно найти всю мировую литературу и науку, и рецепт изготовления соуса бешамель, и все священные книги всех религий. Это строгий научный факт. Ведь последовательность БЕСКОНЕЧНА и сочетания в числе ПИ не повторяются, следовательно она содержит ВСЕ сочетания цифр, и это уже доказано. А раз все, то ВСЕ. В том числе и такие, которые соответствуют выбранной вами книге.

А это опять-таки означает, что там содержится не только вся мировая литература, которая уже написана (в частности и те книги, которые сгорели и т.д.), но и все книги, которые еще БУДУТ написаны. В том числе и Ваши статьи на сайтах.  Получается, что это число (единственное разумное число во Вселенной!) и управляет нашим миром. Надо только рассмотреть побольше знаков, найти нужный участок и расшифровать его. Это чем-то сродни парадоксу со стадом шимпанзе, долбящем по клавиатуре. При достаточно долгом (можно даже оценить это время) эксперименте они напечатают все пьесы Шекспира.

Тут же напрашивается аналогия с периодически появляющимися сообщениями о том, что в Ветхом Завете, якобы, закодированы послания потомкам, поддающиеся прочтению с помощью хитроумных программ. Отметать сходу такую экзотическую особенность Библии не совсем мудро, кабаллисты веками занимаются поиском таких пророчеств, но хотелось бы привести сообщение одного исследователя, который с помощью компьютера нашел в Ветхом завете слова о том, что в Ветхом Завете нет никаких пророчеств. Скорее всего, в очень большом тексте, так же, как и в бесконечных цифрах числа ПИ, можно не только закодировать любую информацию, но и “найти” фразы, изначально не заложенные туда.

Для практики, в пределах Земли достаточно 11 знаков после точки. Тогда, зная, что радиус Земли равен 6400 км или 6,4*1012 миллиметров, получится, что мы, отбросив двенадцатую цифру в числе  ПИ после точки при вычислении длины меридиана, ошибемся на несколько миллиметров. А при расчете длины Земной орбиты при вращении вокруг Солнца (как известно, R=150*106 км = 1,5*1014 мм) для такой же точности достаточно использовать число ПИ с четырнадцатью знаками после точки, да что уж там мелочиться — диаметр нашей Галактики около 100.000 световых лет (1 световой год примерно равен 1013 км) или 1018 км или 1030 мм., а еще в XVII веке были получены 34 знака числа ПИ, избыточные для таких расстояний,  а их на данный момент вычислено до 12411-триллионного знака!!!

Отсутствие периодически повторяющихся цифр, а именно, исходя их формулы Длина окружности=Пи*D окружность не замыкается, так как нет конечного числа. Этот факт также может тесно быть связан с спиральным проявлением в нашей жизни .

 В 1965-м году американский математик М. Улэм, сидя на одном скучном собрании, от нечего делать начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число пи. Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Попутно он обводил все простые числа кружками. Каково же было его удивление и ужас, когда кружки стали выстраиваться вдоль прямых!

  Спираль, как геометрическая фигура – это совокупность окружности и прямой линии.   Еще в давние времена Рене Декарт объяснял, что образование материи вообще и планет в частности обусловлено свойствами вихрей, состоящих из спиральных образований. В разные годы спиралями занимались известные ученые различных отраслей наук,  инженеры, изобретатели, писатели, любители естествознания. Во многих трудах спираль ассоциируется с развитием и основой космоса, со многими процессами  в живой и неживой природе.   Вообще, в  биологии спираль – это символ жизни, и как сказал И. Гете: “Спиральность одна из характерных признаков всех организмов, как проявление самой сущности жизни”.  Во всем, что живет, есть  вездесущая спираль, как  рациональная форма материи, обеспечивающая минимальные  энергозатраты на свое создание и поддержание при максимальной функциональности.

Пи в творчестве:

В музыке:

Для полноты картины предлагаю к просмотру следующее видео.

(видео на слайде презентации)

Этот молодой человек написал эту мелодию, присвоив первые цифры числа π нотам минорной  гармонической гаммы. Играя «ноты π» правой рукой, левой он добавлял гармонические комбинации.

Графические изображения Пи:

Мартин Крживинский (Martin Krzywinski) – биоинформатик, который при помощи компьютерной науки и статистики анализирует геном человека. Вот как выглядит его визуализация числа Пи:

(изображение на слайде презентации)

На рисунке каждая цифра числа представлена точкой определенного цвета: 3 – оранжевого, 1 – красного, 4 – желтого и т.д. Затем Крживинский сложил цветные точки в спираль. Переход от центра круга к его внешнему краю – первые 13 689  цифр Пи:

(изображение на слайде презентации)

Совместно с канадским ученым Кристианом Илисом Василом (Christian Ilies Vasile), который называет себя «художником по случаю», Крживинский также создал серию представлений Пи в виде круга, где цифры соединены друг с другом разноцветными «струнами». Художник соединил тройку с единицей, затем с четверкой и так далее, меняя цвет с каждой новой цифрой.

(изображение на слайде презентации)

Следующая визуализация изображает тот же процесс, однако в ней авторы вынесли повторяющиеся цифры (точки) на внешний край круга. Чем больше раз цифра повторяется, тем больше точка. Большие фиолетовые точки представляют девятки, которые в одном десятичном ряду повторяются 6 раз. Это так называемые точки Фейнмана: повторение происходит намного раньше, чем предсказывает вероятность.

(изображение на слайде презентации)

Случайность последовательности цифр Пи отображена в другой визуализации, созданной астрономом и аналитиком Надие Бремер (Nadieh Bremer). В ней она изображает, как Пи «преодолевает барьеры» в 100, 1000, 10 000 и 100 000 цифр:

(изображение на слайде презентации)