Математические софизмы

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

 Алешковская средняя общеобразовательная школа

Богородского района Нижегородской области

Районная математическая

научно-практическая конференция

«Удивительный мир чисел»

Математические софизмы

                                       Выполнили работу: учащиеся 11 класса

                                                                    Молчин Илья Андреевич  

                                                                   Абрамов Сергей Вячеславович

                                                          Руководитель: учитель математики  

                                                                                                  Духина М.В.

2014 год

Оглавление

Вступление        3

Основная часть:          

          Немного из истории        3

          Этапы возникновения софизмов        4

          Классификация софизмов        5

          Основные ошибки в софизмах        6

          Исследование         6

Заключение        7

Библиография                                                                                                           7

Приложение        8

Математические софизмы

"Правильно понятая ошибка - путь к открытию"

И. П. Павлов

Вступление

Знаменитый комик Чарли Чаплин сказал:  «Способность думать, подобно игре на скрипке или рояле, требует ежедневной практики». Невозможно с этим не согласиться! Мыслительная деятельность человека  − своеобразный инструмент, пользуясь которым, можно добиться духовных, нравственных, научных высот. Как  человечество в ходе своей истории тренировало и расширяло спектр возможностей ума ориентироваться в каждом деле?

Целью настоящей работы как раз является знакомство с таким  понятием, как «софизм» бесспорно свидетельствующем о блестяще развитом уме и логике владеющего им человека.

Задачи исследования:

1. Выяснить исторические условия возникновения софизмов
2. Классифицировать софизмы по областям (сферам) их функционирования;
3. Разобраться в вопросах полезности (вредности) софизмов для развития логики и ума человека;
4. Получить начальный практический навык работы с софизмами как с ложными умозаключениями.

Софизмы… Редко кто встречался с этим понятием в жизни. Так что же это такое?

Софизм — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

Немного из истории

Софизмы появились в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах.

Аристотель называл софизмами «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа.

         Вот один из древних софизмов («рогатый»), приписываемый Эвбулиду: «Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». Здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной: «Всё, что ты не терял…», то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически. Последнее, однако, стало известно лишь после того, как Аристотель создал логику.

Этапы возникновения софизмов

1.        Первая в истории проба проведения "логической профилактики" в математике принадлежит гениальному древнегреческому математику - Эвклиду. Он был автором первого из известных сборников математических софизмов и парадоксов (сборник "Псевдарий").

2.        Софистам идейно противостоял знаменитый греческий философ Сократ. Дискуссия между софистами и Сократом о существовании объективной истины зародилась приблизительно в V в. до н.э.

3.        Наши дни: появление мысли о том, что человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искуснее замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому, кто разгадал его, так как это - маленькое открытие и прекрасная школа, культура математических вычислений.

Классификация софизмов

Арифметические софизмы — числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Пример: «Число, которое равно другому числу, и больше его, и меньше одновременно».

Для двух произвольных положительных равных чисел А и В составим неравенства, не подлежащие сомнению: А>-В и В>-В. (1).

Затем оба неравенства нужно почленно перемножить, получается А*В>В*В. После деления его на В (а это совершенно законно, потому что В>0), делаем вывод, что А>В.

Записываем два других, таких же очевидных неравенства - В>-А и А>-А, (3). Так же, как и в предыдущем, получается, что В*А>А*А, приводящее при делении на А>0 к неравенству А>В. (4).

Вывод: Число А, которое равно числу В, и больше его, и меньше одновременно.

Алгебраические софизмы  —  намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример: «Дважды два равно пяти».

         Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

Геометрические софизмы — это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Пример: « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».

         Пусть, а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, нахо-дим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

Так же существуют логические, терминологические, психологические, интелектуальные, аффектные и волевые софизмы, список можно было бы продолжить и дальше.

Основные ошибки в софизмах

• Деление на 0;
• Неправильные выводы из равенства дробей;
• Неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;
• Нарушения правил действия с именованными величинами;
• Путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;
• Не правильное использование теорем;
• Проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;
• Неравносильный переход от одного неравенства к другому;
• Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;
• Ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

Исследование

Один из геометрических софизмов заинтересовал нас тем, что к нему не было никаких объяснений, поэтому мы решили поразмышлять над ним самостоятельно.

Рассмотрим рисунок (Приложение 1).

Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.

Доказательство: пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем любую хорду ВЕ, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АС. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим ∆ АВD и ∆ЕDС. В этих треугольниках: ВD = DЕ (по построению), А= Е (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, ВDА= ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, ∆ ВDА= ∆ЕDC , а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Поэтому, АВ=ЕС.

По теореме о признаке равенства треугольника: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. А в нашем случае, А не прилежит к стороне ВD.

Ошибка: неправильное применении теоремы о равенстве треугольников, а именно равны 2 угла, не прилежащие к одной стороне.

Заключение

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

 Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Мы помняли, что важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны.

Библиография

http://sofizmy.narod.ru/

http://xreferat.ru/104/2781-1-sofizmy.html

http://sofism.ru/arifmsofism

http://sophisms.ucoz.ru/index/geometricheskie_sofizmy/0-9

Приложение 1