Исследование по математике "Золотая пропорция"
Цель данного исследования: найти общее между красотой скульптуры, храма, картины, симфонии, поэмы…
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 zolotaya_proportsiya.rar | 2.29 МБ |
Подписи к слайдам:
«Золотая пропорция»
МКОУ Смаглеевская средняя общеобразовательная школа
Почему один предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым?
Цель исследования:
Найти общее между красотой скульптуры, храма, картины, симфонии, поэмы…
«Формула красоты»
«Формул красоты» известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы – квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т.д. Симметричные фигуры обычно предпочтительнее, чем несимметричные. В пропорциях различных сооружений предпочтительны целочисленные соотношения.Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называют «золотой пропорцией» («золотым сечением»).Сейчас невозможно достоверно установить ни человека, впервые открывшего золотую пропорцию, ни время, когда это произошло. Многие исследователи считают первооткрывателем золотой пропорции греческого математика и философа Пифагора.
«Золотая пропорция»
Древнейшие сведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней употребляется в трудах великих философов Греции: Пифагора, Платона, Эвклида. Платон привёл формулировку золотого сечения, что для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы «скрепила» в единое целое. При этом одна часть целого должна относиться к другой, как целое к большей части.Золотая пропорция является величиной иррациональной, она равна 1,6180339… Обозначают золотую пропорцию буквой Ф. Эта пропорция является господствующей во многих произведениях искусства.
Пифагор
Пифагор родился в 570 г. до н.э. на острове Самосе. В зрелом возрасте он поселился в Кротоне, где основал строго закрытое общество своих последователей («пифагорейский союз»).Музыка, гармония и числа – эти три понятия неразрывно связаны друг с другом в учении пифагорейцев. Математика являлась одной из основ их религии. Пифагорейцы считали, что бог Дионис положил число в основу мировой организации, в основу порядка; оно отражало единство мира, его начало, а мир представлял собой множество, состоящее из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству, и есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых соотношениях.
Построение золотой пропорции
В геометрии существуют различные способы построения золотой пропорции. Например, надо взять квадрат или прямоугольный треугольник с отношением катетов 1 : 2. если с середины стороны квадрата провести окружность радиусом, равным диагонали полуквадрата, то на её пересечении с продолженной стороной квадрата получим отрезок, который меньше стороны квадрата в соответствии с золотой пропорцией. Ещё проще построение золотой пропорции в прямоугольном треугольнике Достаточно провести две дуги окружности, пересекающиеся в одной точке на гипотенузе, и больший катет будет разделен соответствии с золотой пропорцией (рис. 1)
«Золотая пропорция»
Золотая пропорция проявляется в геометрии пяти правильных многогранников (рис. 2) (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр), которые, по представлениям учёных древности, лежат в основе мирозданья.
Тайны Египетских пирамид
Правильная четырёхгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надёжность, устремление вверх.Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти 500 локтям. Высота пирамиды (Н) равна от 146,6 до 148,2 м. Пирамида Хеопса является усечённой. Её верхняя площадка в наши дни имеет размер 10 х10 м, а столетие назад она была равна 6 х 6 м. Угол наклона граней пирамиды равен 51051’. Тангенс этого угла равен 1,27306. Эта величина, равная отношению высот пирамиды к половине её основания, близка к корню квадратному золотой пропорции В основу треугольника OMN (рис. 3) и было заложено отношение OM/MN, равное Основным отношением частей пирамиды Хеопса является золотая пропорция, выраженная в пирамиде неоднократно. Два размера пирамиды, стороны основания (510 локтей) и высота (318 локтей), определили все остальные пропорции, они и стали воплощением основной геометрической идеи пирамиды.
Локоть. Это наименование объясняется тем, что по происхождению данная мера представляла длину локтя — расстояние по прямой от локтевого сгиба до конца вытянутого среднего пальца руки. Впервые локоть как мера длины упоминается в "Русской правде" Ярослава Мудрого: "мостнику, помостивше мост, взяти от дела, от десяти лакот ногата". Значение древнерусского локтя 10.25-10.5 вершков (в среднем приблизительно 46-47 см) было получено из сравнения измерений в Иерусалимском храме, выполненных игуменом Даниилом, и более поздних измерений тех же размеров в точной копии этого храма — в главном храме Ново-Иерусалимского монастыря на реке Истре (XVII в). Локоть широко применяли в торговле как особенно удобную меру. В розничной торговле холстом, сукном, полотном локоть был основной мерой. В крупной оптовой торговле локоть сохранял свое значение в качестве контрольной меры, т.к. был неудобен для измерений. Полотно, сукно и пр. поступали в виде больших отрезов — "поставов", длина которых в разное время и в разных местах колебалась от 30 до 60 локтей. Но в конкретное время и в данном месте она имела вполне определенное значение.
Тайны Египетских пирамид
Какую же информацию о знаниях древних египтян в области математики содержит пирамида Хеопса? К ней нужно отнести знание геометрии пирамид, её сечений, углов, отношение сторон, знание гармонического треугольника с отношением сторон, равным Пирамида свидетельствует о знании египтянами золотой пропорции, равной 1,6184, о знании ими числа «пи» и соотношения между числом «пи» и золотой пропорцией. Пирамида несёт нам как послание с далёких веков фундаментальные знания по математике.
Тайны Египетских пирамид
Высота пирамиды Хеопса была изначально 147 м, а длина стороны основания — 232 м. Для ее сооружения потребовалось 2 млн. 300 тыс. огромных каменных блоков, средний вес которых 2,5 т. Плиты не скреплялись строительным раствором, лишь чрезвычайно точная подгонка удерживает их.
Тайны Египетских пирамид
Значительный интерес представляет пирамида Хефрена. Угол наклона боковых граней в ней равен 53012’, что отвечает отношению катетов 4 : 3. Такое отношение катетов соответствует треугольнику со сторонами 3 : 4 : 5, который называют «совершенным», «священным», или «египетским» треугольником. «Египетскому треугольнику» придавали магический смысл. Египтяне сравнивали природу Вселенной с треугольником; они символически употребляли вертикальный катет мужу, основание – жене, а гипотенузу – тому, кто рождается от обоих.
Пирамида Хефрена в Гизе — вторая по величине (выс. 143,5 м) после пирамиды Хеопса.
Застывшая музыка русских храмов
Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. Храм Покрова на Нерли (1165 г.), как в зеркале, отражающийся в стоячей воде Боголюбовской старицы, отличается удивительной стройностью пропорций. Устремленные вверх колонки пилястр и узкие прорези окон создают впечатление невесомости — здание как бы парит в воздухе. .Основные элементы архитектуры церкви Покрова на Нерли взаимосвязаны пропорциями и определяют геометрическую гармонию и красоту этого сооружения. В основе взаимосвязанных пропорций положен прямоугольник со сторонами 1 : 2 и диагональю и его производная – золотая пропорция. Наличие этих пропорций и определило красоту храма, который считается одним из величайших шедевров русского зодчества.
Застывшая музыка русских храмов
Золотая пропорция обнаружена и в архитектуре церкви Вознесения в Коломенском (1532 г.). В основу пропорций этого храма положен прямоугольник со сторонами 1 и , который состоит из двух прямоугольников золотого сечения. Все элементы церкви подчинены двум отношениям: повторению размеров (1 : 1) и отношению
Застывшая музыка русских храмов
Храм Василия Блаженного – один из самых известных храмов Москвы, построен под названием Покровский собор в 1555-61 в честь победы над Казанским ханством в праздник Покрова Богородицы. Впоследствии пристроенная церковь Василия Блаженного дала название всему храму. Храм отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий. Для композиции построек собора характерно гармоническое сочетание симметричных и асимметричных пропорций. Храм, симметричный в своей основе, содержит много геометрических «неправильностей». Так, центральный объём шатра смещён на 3 м к западу от геометрического центра всей композиции. Однако эта неточность делает композицию более живописной, «живой» и она выигрывает в целом.В пропорциях собора преобладает золотое сечение (рис 4). Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения: где . В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора.
Застывшая музыка русских храмов
Выражение «архитектура – это застывшая музыка» стало крылатым. Музыкальная мелодия основана на чередовании звуков различной высоты и продолжительности, в её основе – временная упорядоченность звуков. В основе архитектурной композиции – пространственная упорядоченность форм. Чтобы оценить размеры пространственной конструкции геометрической фигуры, мы должны проследить взглядом от начала до конца эту фигуру, и чем больше, например, длина её, тем длительнее будет восприятие.Создание религиозных и других произведений архитектуры требовало от зодчих и строителей хорошего знания геометрии, принципов и правил создания гармонических пропорций, обладания прекрасным художественным вкусом.
Формула красоты
Сколько художников, поэтов, скульпторов, истинных ценителей прекрасного, восхищались красотой человеческого тела!
Формула красоты
Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликтета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно в месте пупка. И не случайно величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений.
Формула красоты
Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя «Дорифор» («Копьеносец»), изваянная Поликтетом (рис.6). Фигура юноши выражает единство прекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Статуя полна спокойной уверенности; гармония линий, уравновешенность частей олицетворяют могущество физической силы. Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.
Формула красоты
Шедевром красоты считается Афродита Милосская (III – II вв. до н.э.), созданная Агесандром.
Формула красоты
Статуя богини любви и красоты, изваянная Праксителем для храма на острове Книд, считалась его современниками величайшим чудом.
Формула красоты
Уже тысячелетия пытаются люди найти математические закономерности в пропорциях тела человека, прежде всего человека хорошо сложенного, гармоничного. Гармоничность телосложения создаёт впечатление о соразмерности всех его частей, которая может быть выражена простыми числовыми отношениями. Леонардо да Винчи предпринял ряд измерений, из которых он вычислил средние размеры человека. В качестве единицы измерений пропорций человека он принял голову, но не всю длину черепа, а только длину лица.
Леонардо да Винчи
ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ (15 апреля 1452— 2 мая 1519) - итальянский живописец, скульптор, архитектор, ученый, инженер.
Формула красоты
В середине 19 в. английский учёный Эдинвург построил канон пропорций человеческого тела на основе музыкального аккорда. С точки зрения этого канона, мужское тело оказалось, по его мнению, соответствующим мажорному аккорду, а женское – минорному. Приведённые им средние антропометрические данные для мужских и женских тел позволяют найти в пропорциях частей тел отношения, равные терции (5/4), сексте (5/3), септиме (15/8).
В музыке интервал – это соотношение двух звуков по высоте. Если звуки берутся поочередно, интервал называется мелодическим, если одновременно, — гармоническим. Названия интервала — латинские порядковые числительные (указывают, сколько ступеней входит в интервал):прима (1),малая и большая секунды (2),малая и большая терции (3),чистая и увеличенная кварты (4),уменьшенная и чистая квинты (5),малая и большая сексты (6),малая и большая септимы (7),чистая октава (8).
Формула красоты
В середине 19 в. немецкий учёный Цейзинг в своих исследованиях находил, что всё тело человека в целом и каждый отдельный его член связаны математически строгой системой пропорциональных отношений, среди которых золотое сечение занимает важнейшее место. Он установил, что золотая пропорция есть среднестатистическая величина, характерная для всех хорошо развитых тел. Он нашёл, что средняя пропорция мужского тела близка к 13/8 = 1,625, а женского – к 8/5 = 1,60.
Формула красоты
Неоднократно предпринимались попытки создать идеализированную эталонную модель гармонически развитого человеческого тела.Известно, что размах вытянутых в стороны рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг (рис. 7).
Алгебра музыки
Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л. Сабанеевым. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Бетховена (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%) Характерно, отмечает Л. Сабанеев, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам.
Музыка стихов
Многое в структуре произведений поэзии роднит этот вид искусства с музыкой. Каждый стих обладает своей музыкальной формой – своей ритмикой и мелодией. В строении стихотворений проявляются закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция, и числа Фибоначчи.Проведены исследования поэтических произведений А. С. Пушкина периода 1829 – 1836 гг. Сюда вошло 109 стихов. Число строк в стихотворениях этого периода изменялось от 4 до 116. На графике распределения стихотворений А. С. Пушкина по числу строк в них отчётливо выделяется несколько максимумов – наиболее часто встречающихся размеров (рис. 8). Они явно тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34. Причём по мере увеличения размеров стихотворений эти максимумы как бы «размываются». Максимум в области 46 – 56 строк выражен совсем слабо.Проявляется закономерная тенденция в творческой манере поэта; он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам ряда Фибоначчи. В результате стихотворения распределились так: 5 ± 1 строка - 14, 8 строк – 12, 14 ± 2 строки – 32, 22 ± 2 – 15, 32 ± 2 – 8 штук. Общее число этих стихотворений составило около 80% к их общему числу.
Музыка стихов
Числа Фибоначчи проявляются не только в размерах стихотворений, но и в их структуре – числе строк в стихах, числе стихов в произведении. Некоторые стихи построены по схеме 3 х 5, 3 х 8, 5 х 8, 8 х 8. Наиболее выдающиеся произведения А. С. Пушкина тяготеют к размерам 8, 13, 21 и 34 строки. К ним относятся стихи «В крови горит огонь желаний…», «Я вас любил, любовь ещё быть может…», «Пора, мой друг, пора! Покоя сердце просит…» - все они состоят из восьми строк. В произведениях «Сонет», «Поэту», Мадонна», «Няне» - 13 – 14 строк. По 20 строк в стихотворениях: «Храни меня, мой талисман», «Во глубине сибирских руд», «Поэт», «Когда в объятия мои. «Я памятник воздвиг себе нерукотворный…», «Брожу ли я вдоль улиц шумных…», «Зимний вечер» содержат 32 строки.
ПУШКИН Александр Сергеевич (1799-1837), русский поэт, родоначальник новой русской литературы, создатель современного русского литературного языка.
Музыка стихов
Стихи А. С. Пушкина занимают в поэзии особое место, остаются непревзойденными в русской поэзии по степени их художественного совершенства, неповторимой индивидуальности и оригинальности художественной формы. Присутствие в их метрике чисел Фибоначчи отражает не только приближение к вершинам гармонии, но и свидетельствует о разнообразии художественной формы, её обогащении новыми, оригинальными построениями.
Пора, мой друг, пора! [покоя] сердце просит – Летят за днями дни, и каждый час уноситЧастичку бытия, а мы с тобой вдвоемПредполагаем жить, и глядь – как раз – умрем.На свете счастья нет, но есть покой и воля.Давно завидная мечтается мне доля – Давно, усталый раб, замыслил я побегВ обитель дальнюю трудов и чистых нег
Поэт! не дорожи любовию народной.Восторженных похвал пройдет минутный шум; Услышишь суд глупца и смех толпы холодной, Но ты останься тверд, спокоен и угрюм.Ты царь: живи один. Дорогою свободнойИди, куда влечет тебя свободный ум,Усовершенствуя плоды любимых дум, Не требуя наград за подвиг благородный.Они в самом тебе. Ты сам свой высший суд;Всех строже оценить умеешь ты свой труд.Ты им доволен ли, взыскательный художник?Доволен? Так пускай толпа его бранитИ плюет на алтарь, где твой огонь горит,И в детской резвости колеблет твой треножник.1830
Музыка стихов
Не только стихотворения А. С. Пушкина тяготеют в своих размерах к числам Фибоначчи, но у других поэтов проявляется тяготение размера стихов к 8, 13, 21 строчкам.Например, в размерности стихов В. Брюсова проявляются числа Фибоначчи. Было проанализировано 360 стихотворений, они охватывали период от 1882 до 1912 г. Стихотворения распределены следующим образом: с числом строк 8 – 25 шт. (7%), 13 ± 1 – 77 шт. (21,5%), с числом строк 21 ± 1 – 70 (19,6%) и числом строк 34 ± 2 – 36 шт. (58%). Общее число этих стихотворений составило 208 шт.(58%). К остальным относятся стихотворения с числом строчек 10, 14, 16, 18, 24, 26, 28, 31, 32 и т.д. Поэт явно предпочитал стихотворения с числом строк 8, 13 ± 1, 21 ± 1 как наиболее оптимальные для выражения мыслей и чувств.
БРЮСОВ Валерий Яковлевич (1873-1924), русский поэт.
Музыка стихов
Многие стихотворения В. Брюсова, построены по схеме 2 х 4,2 х 3. примером может служить «Сонет к форме».Стихотворение состоит из явно выраженных двух частей: первая часть из 8 строк и вторая часть из 6. А ведь отношение 8 : 5 – это числа Фибоначчи и золотая пропорция. Требования четности строк слегка исказили эту пропорцию.
«Сонет к форме»
Есть тонкие властительные связиМеж контуром и запахом цветка.Так бриллиант невидим нам, покаПод гранями не оживёт в алмазе.Так образы изменчивых фантазий,Бегущие, как в небе облака,Окаменев, живут потом векаВ отточенной и завершенной фразе,И я хочу, чтоб все мои мечты,Дошедшие до слова и до света,Нашли свои желанные черты.Пускай мой друг, разрезав том поэта,Упьется в нем и стройностью сонета,И буквами спокойной красоты!
Живопись
Многие исследовали находили проявления золотой пропорции в произведениях великих художников. Наличие золотой пропорции в композиции произведений художников придавала им гармоническую законченность, совершенство и одновременно подвижность, динамизм, оживляло композицию.Характерным примером такого рода могут служить картины В. И. Сурикова и японского художника Хокусая.
На многочисленных картинах Хокусая сотни раз встречается изображение Фудзи – священной горы японцев. Сама гора вулканического происхождения почти строго симметрична, но её изображение нигде не встречается в центре картин, всегда смещено, что делает композицию ассиметричной, придаёт ей подвижность.
Киноискусство
Ещё один вид искусства – кино, вобравшее в себя драматургию действия, живопись изображения, музыку сопровождения. В композиции фильма «Броненосец Потёмкин» (режиссер С. Эйзенштейн) господствующую роль играет золотая пропорция. «Нулевая точка» движения фильма сосредоточена в картине мёртвого Вакулинчука между концом второй и началом третьей части пятиактного фильма. Точка апогея фильма – красный флаг на мачте восставшего броненосца. Красный флаг взвивается в точке золотой пропорции, отсчитываемой от конца фильма. Золотая пропорция в композиции фильма проявляется не только для всего фильма в целом, но и для каждой из его пяти частей. В этом и есть одна из основных причин художественной ценности этого фильма. В построении композиции фильма С. Эйзенштейн сумел воплотить основной принцип гармонии – деление целого на части в соответствии с золотой пропорцией.
Вывод по исследованию:
Итак, золотая пропорция является не только мерилом гармонии в природе и в произведениях искусства, но и основой красоты, источником эстетического удовлетворения. Понятие красоты, прекрасного значительно шире, вариантнее, чем понятие гармонии и упорядоченности. Совершенная симметрия и пропорциональность могут не отвечать эталонам красоты, они совершенны, но мертвы, и лишь разнообразные отклонения от этих статичных канонов придают живость, неповторимую индивидуальность, прелесть и гармонию творениям природы и человека.
Информационные ресурсы
Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2003.2. Н. А. Васютинский «Золотая пропорция», М., «Молодая гвардия», 1990.
Автор работы
ученица 11 класса МКОУ Смаглеевской средней общеобразовательной школыКантемировского муниципального районаВоронежской областиШестопалова Наталья.
Агния Барто. Сережа учит уроки
Горячо - холодно
Мост из бумаги для Киры и Вики
Басня "Две подруги"
Дельфин: сказка о мечтателе. Серджио Бамбарен