Признаки делимости

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 7»

Выполнила ученица 7 «Г» класса

                                                                                              МОУ «СОШ №7» г. Когалыма

                                                                                                   Шишхова Марьяна

Учитель: Маковская О.М.

г. Когалым, 2012 г.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

ВВЕДЕНИЕ

      Иногда возникает ситуация, когда нужно быстро определить, делится ли одно число на другое,  не прибегая к традиционному делению «уголком».  Для небольших делителей существуют простые признаки делимости на 2, 3, 4, 5 , 9, 10 и т.д. ,  известные нам из школьного курса. Чтобы установить делится ли некоторое многозначное число на другое,  в ряде случаев совсем не надо прибегать к непосредственному делению данного числа. Очень часто оказывается, что решение поставленной задачи можно свести к решению другой задачи, более простой. Здесь нам помогает знание признаков делимости.

        Из всех действий арифметики самое своенравное – это деление. Оно обладает особыми свойствами, можно сказать, особым «нравом». Возьмём хотя бы обращение с нулём. Для всех других арифметических действий нуль – равноправное число. Его можно и прибавлять и вычитать; оно может быть множителем в действии умножения, но делителем никогда. Разделить на нуль вообще нельзя никакое число, никакое алгебраическое выражение. Это – важная особенность деления, и если к ней отнестись невнимательно, то легко попасть впросак.

«Нрав» деления проявляется не только по отношению к нулю. Математическая теория уделяет много внимания свойствам целых чисел и законам, управляющим действиям над ними. Так вот, если ограничиться множеством одних только целых (положительных и отрицательных) чисел, то опять-таки «капризничает» только одно действие: деление. Оно, как мы знаем, не всегда выполнимо в области целых чисел. Принято считать так, что  целое число a делится на целое число b, если среди целых чисел найдётся такое число c, произведение которого на b даёт точно число a; если же такого числа нет, то a не делится на b.

Все эти особенности деления и способствовали возникновению таких понятий, как простые числа, наибольший общий делитель (НОД), наименьшее общее кратное (НОК) , признаки делимости чисел, а постепенное развитие теории делимости чисел привело к глубокому расширению всей теории чисел.

      Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел.

      Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счёта или измерения. Основной объект теории чисел – натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость.

        Актуальность темы обусловлена важностью изучаемых признаков делимости чисел, их удивительными свойствами и историей, продолжающейся в наши дни.

        Целью реферата являлось изучение признаков делимости чисел,  которые не входят  в программу школьного курса.

        Для реализации этой цели были поставлены следующие задачи:

• изучить доступную литературу,  связанную с теорией делимости чисел;
• подобрать и обосновать примеры по данной теме.

        Практическая значимость работы: материалы можно использовать при работе со школьниками на дополнительных занятиях, спецкурсах  и кружках.

ГЛАВА I

§ 1.1.  Признак делимости на 11

      Один из важнейших приёмов решения задач таков: свести решение данной задачи к решению другой задачи, более простой.

      Требуется, предположим, установить: делится ли некоторое многозначное число на другое многозначное число? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, в ряде случаев совсем не надо прибегать к непосредственному делению данного числа. Очень часто оказывается, что решение поставленной задачи можно свести к выявлению делимости некоторого другого, не многозначного числа, составленному по тому или иному правилу из цифр данного числа. Так и возникают признаки делимости чисел.

Признак делимости на 11

      Если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.

Если же указанные суммы цифр через одну не равны между собой и их разность не делится на 11, то и данное число не делится на 11.

Пример. Делится ли  3528041 на 11?

Применяем признак:

S1 = 3 + 2 + 0 + 1 = 6,  S2 = 5 + 8 + 4 = 17,   S2 – S1 = 11. S2 – S1 делится на 11. Признак предсказывает:  число 3528041 обязательно должно делиться на 11.

Обосновать этот признак делимости нетрудно, если предварительно заметить, что числа такого вида, как, например, 10 + 1, 100 – 1, 1000 + 1, 10000 – 1, 100000 + 1 и т.д. делятся на 11.

Рассмотрим сначала разности: 100 – 1 = 99, 10000 – 1 = 9999 и т.д.; все они записываются чётным числом девяток и, следовательно, делятся на 11; делятся на 11 и все суммы указанного вида: 10 + 1 = 11, 1000 + 1 = 99 · 10 + 11, 100000 + 1 = =9999 · 10 + 11 и т.д., так как каждая сумма разлагается на два слагаемых, каждое из которых делится на 11.

Обратимся теперь к установлению признака делимости на 11.

Возьмём какое-нибудь многозначное число, например 3 516 282, и расчленим его следующим образом:

2 + 8 · 10 + 2 · 100 + 6 · 1000 + 1 · 10000 + 5 · 100000 + 3 · 1000000.

Все вторые сомножители (единицы с нулями) преобразуем так, чтобы образовались рассмотренные выше суммы и разности: 10 + 1, 100 – 1 и т.д. Имеем:

3 516 282 = 2 + 8(10 + 1 – 1) + 2(100 - 1 + 1 ) + 6(1000 + 1 – 1 ) + 1(10000 – 1 + 1 ) +

+ 5(100000 + 1 – 1 ) + 3(1000000 – 1 + 1 ) = 2 + 8(10 + 1) – 8 + 2(100 – 1) + 2 +

+ 6(1000 + 1) – 6 + (10000 – 1 ) + 1 + 5(100000 + 1) – 5 + 3(1000000 – 1 ) + 3 =

= (2 – 8 + 2 – 6 + 1 – 5 + 3) + [8(10 + 1) + 2(100 – 1) + 6(1000 + 1) + (10000 – 1) +

+ 5(100000 + 1) + 3(1000000 – 1)].

Все слагаемые, заключённые в квадратные скобки, непременно делятся на 11. Значит, делимость рассматриваемого числа на 11 полностью зависит от делимости на 11 числа, заключённого в первой круглой скобке: если оно делится ( не делится) на 11, то и рассматриваемое число делится (не делится) на 11.

Но в первой скобке записана разность сумм цифр данного числа через одну:

( 2 + 2 + 1 + 3) – ( 8 + 6 + 5) = -11. Так как эта разность, равная -11, делится на 11, то делится на 11 и данное число.

Так решение вопроса о делимости любого многозначного числа на 11 сводится к более лёгкому выяснению делимости на 11 разности сумм цифр числа через одну.

§ 2.1. Объединённый признак делимости на 7, 11, 13

      В таблице простых чисел числа 7, 11 и 13 расположены рядом. Их произведение равно 7·11·13 = 1001 = 1000 + 1. Заметим пока, что 1000 + 1 делится и на 7, и на 11,  и на 13. Далее, если любое трёхзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и  множимое, только повторёнными два раза.

      Пусть abc – какое-либо трёхзначное число (a, b и c – цифры этого числа). Умножим его на 1001:

abc

                                                                   1001

 abc

                                                               abc

                                                                abcabc

      Следовательно, все числа вида   abcabc   делятся на 7, на 11 и на 13. В частности, делится на 7, 11 и 13 число 999 999, или, иначе, 1 000 000 – 1.

      Указанные закономерности позволяют свести решение вопроса о делимости многозначного числа на 7, или на 11, или на 13 к делимости на них некоторого другого числа – не более чем трёхзначного.

Пример: Определить делится ли число 42 623 295 на 7, 11 и 13.

Решение:  Разобъём данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может и не иметь трёх цифр. Представим теперь данное число в таком виде: 

42 623 295 = 295 +  623 · 1000 + 42 · 1000000,  или как мы это делали при  рассмотрении признака делимости на 11:

42 623 295 = 295 +  623(1000  + 1 – 1) + 42(1000000 – 1 + 1) =

(295 – 623 + 42) +  [623(1000 + 1) + 42(1 000 000 – 1)].

      Число в квадратной скобке обязательно делится и на 7, и на 11, и на 13. Значит, делимость данного числа на 7, 11 и 13 полностью определяется делимостью числа, заключённого в первой круглой скобке.

      Рассматривая каждую грань испытываемого числа как самостоятельное число, можно высказать следующий объединённый признак делимости сразу на три числа 7, 11 и 13:

      Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7, или на 11, или на 13, то и данное число делится соответственно на 7, или на 11, или на 13.

      Вернёмся к числу  42 623 295. Определим, на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа: (295 + 42) – 623 = - 286.

      Число – 286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число

42 623 295 делится на 11 и на 13, но на 7 не делится.

      Очевидно, что делимость на 7, 11 и на 13 четырёх-, пяти- и шестизначных чисел, то есть чисел, разбивающихся всего лишь на 2 грани определяется делимостью на 7, 11 и 13 разности граней данного числа. Например, число 29 575 делится на 7 и на 13 и не делится на 11. Действительно, разность граней равна

575 – 29 = 546, а число 546 делится на 7 и на 13 и не делится на 11.

§ 3.1.  Упрощение признака делимости на 8

      В школе обычно сообщают такой признак делимости на 8:

Если число, которое составляют последние три цифры данного числа, делится на 8, то и всё данное число делится на 8.

      Значит, вопрос сводится к делимости на 8 некоторого трёхзначного числа.

      Но при этом ничего не говорится о том, как в свою очередь быстро узнать, делится ли это трёхзначное число на 8. Делимость трёхзначного числа на 8 тоже ведь не всегда сразу видна, приходится фактически производить деление.

      Признак делимости на 4 проще. Здесь требуется, чтобы делилось на 4 число, состоящее только из двух последних цифр испытуемого числа.

      Естественно возникает вопрос: нельзя ли упростить и признак делимости на 8?

Можно, если дополнить его специальным признаком делимости трёхзначного числа на 8.

      На 8 делится всякое трёхзначное число, у которого двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4.

Пример: Делится ли число 592 на число 8?

Решение: Отделяем единицы и половину их числа прибавляем к числу из следующих двух цифр (десятков и сотен). Получаем 59 + 1 = 60 делится на 4, значит, число 592 делится на 8.

Замечание 1: Число, оканчивающееся нечётной цифрой, не может делиться на 8.

Замечание 2: В большинстве случаев сумма двузначного числа, упомянутого в признаке, с половиной единиц данного числа будет давать двузначное же число.

      Сумма будет трёхзначной только для чисел в промежутке от 984 до  998, но даже и в этих случаях она не превысит числа 103  (99 + 4 = 103).

§ 4.1.  Объединённый признак делимости на 3, 7 и 19

Произведение простых чисел 3, 7 и 19 равно 399, Подмечено следующее любопытное свойство:

      Если число 100а + b ( где b – двузначное число,  а – любое целое положительное) делится на 399 или на какой-либо из его множителей, то вместе с ним на то же число делится и а + 4b.

Правило определения делимости данного числа на  3, 7, 19

Отделить от данного числа последние две цифры и к оставшемуся числу прибавить отделённое число, умноженное на 4; если нужно, повторить процесс до получения результата, делимость которого на 3, 7, 19 или на 399 = 3·7·19 была бы очевидной.

Если результат делится (не делится) на 399 или на его множители, то и данное число делится (не делится) на 399 или на его множители.

 Пример: Выясним, например, делится ли число 40 698 на 3,7 и 19.

40 698:

98  4 = 932;  406 + 392 = 798; 98  4 = 392; 7 + 392 = 399.

399 делится на 3, 7 и 19, следовательно, и данное число 40 698 делится и на 3, и на 7, и на 19, а также и на 399.

§ 5.1. Старое и новое о делимости на 7

Почему – то число 7 очень полюбилось народу и вошло в его песни и поговорки:

Семь раз примерь, один раз отрежь.

Семь бед, один ответ.

Семь пятниц на неделе.

Один с сошкой, а семеро с ложкой.

У семи нянек дитя без глазу.

Число 7 богато не только поговорками, но и разнообразными признаками делимости. Два признака делимости на 7 (в объединении с другими числами) мы уже знаем. Имеется также несколько индивидуальных признаков делимости на 7.

Первый признак делимости на 7:

Возьмём для испытания число 5 236. Запишем это число следующим образом:

103 · 5 + 102 · 2 + 10 · 3 + 6 ( так называемая «систематическая» форма записи числа), и всюду основание 10 заменим основанием 3: 33 · 5 + 32 · 2 + 3 · 3 + 6 = 168.

Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7.

Так как 1687 делится на 7, то и 5 236 делится на 7.

Доказательство: Пусть am-1, am-2, …, a2, a1, a0 –  цифры последовательных разрядов m–значного числа N, тогда

N = 10m-1 am-1 + 10m-2 am-2 + … + 102 a2 + 10 a1 + a0,

P = 3m-1 am-1 + 3m-2 am-2 + … + 32 a2 + 3a1 + a0.

Вычтем из первого выражения второе:

N – P = (10m-1 - 3m-1) am-1 + (10m-2  - 3m-2) am-2 + … + (102 – 32) a2 + (10 – 3) a1.

Все двучлены в скобках делятся на 10-3 = 7. Следовательно, если при этом вычитаемое P делится (не делится) на 7, то и уменьшаемое N делится (не делится) на 7, а также, если уменьшаемое N делится (не делится) на 7, то и вычитаемое  P делится (не делится) на 7.

Видоизменение первого признака делимости на 7:

Умножьте первую слева цифру испытуемого числа на 3 и прибавьте следующую цифру; результат умножьте на 3 и прибавьте следующую цифру; результат умножьте на 3 и прибавьте следующую цифру и т.д. до последней цифры. Для упрощения после каждого действия разрешается из результата вычитать 7 или число, кратное семи.

Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7.

Пример: Определим делимость числа 48 916 на 7.

Умножим первую слева цифру на 3:

4  3 = 12.

Для дальнейших расчётов число 12 можно заменить числом 5, которое получается от уменьшения 12 на 7. Заменяя число a числом b, которое отличается от a на 7 или на число, кратное семи, будем ставить между ними значок . Запись первого действия примет вид 4  3 = 12  5. Затем прибавляем к 5 вторую цифру 8 и снова делаем соответствующую замену: 5 + 8 = 13   6.

Далее:

6 3 = 18  4,    4 + 9 = 13  6,   6 3 = 18  4,    4 + 1 = 5,   53 = 151,  1 + 6 = 7.

Окончательный результат 7. Следовательно число 48 916 делится на 7.

Преимущество этого правила в том, что оно легко применяется в уме.

Доказательство: Пусть N = 10m-1 am-1 + 10m-2 am-2 + … + 102 a2 + 10 a1 + a0.

Действуя в отношении с правилом, получаем последовательно:

3 am-1 + 3 am-2,

32 am-1 + 3 am-2 + am-3,

33 am-1 + 32 am-2 + 3am-3 + am-4,

……………………………….

P = 3m-1 am-1 + 3m-2 am-2 + … + 32 a2 + 3a1 + a0.

Найдём разность чисел N и P:

N – P = am-1(10m-1 - 3m-1) + am-2(10m-2 - 3m-2) + …+ a1(10 – 3).

Так как m – число елое положительное (число цифр), то все биномы в скобках делятся на 10 – 3 = 7. Следовательно, делимость числа P на 7 связана с делимостью числа N на 7.

Замечание: Любопытно, что окончательный результат, уменьшенный на 7 или на 14, показывает остаток от деления данного числа N на 7.

Второй признак делимости на 7:

В этом признаке надо действовать точно также, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать не с крайней левой цифры данного числа, а с крайней правой и умножать не на 3 , а на 5.

Пример:

Делится ли на 7 число 37 184?

45 = 20  6,  6 + 8 = 14  0, 05 = 0,  0 + 1 = 1,  15 = 5,  55 = 25  4,  4 + 3 = 7  0. Число 37 184 делится на 7.

Доказательство: Пусть

N = 10m-1 am-1 + 10m-2 am-2 + … + 102 a2 + 10 a1 + a0.

Действуя в соответствии с указанным признаком, получаем последовательно:

5 a0 +  a1,

52 a0 + 5 a1 + a2,

53 a0 + 52 a1 + 5a2 + a3,

……………………….

P = 5m-1 a0 + 5m-2 a1 + … + 5 am-2  + am-1.

Умножим обе части последнего равенства на 10m-1 и из полученного результата вычтем N:

10m-1 P = 50m-1 a0 + 10·50m-2 a1 + … + 10m-2 · 50 am-2  + 10m-1 · am-1,

10m-1 P – N = a0(50m-1 – 1) + 10 a1(50m-2 – 1) + …+10m-2 am-2(50 – 1).

Все двучлены в скобках делятся на 50 – 1 = 49, значит и на 7, но 10m-1 не делится на 7. Следовательно, делимость на 7 числа N связана с делимостью на 7 числа P.

Третий признак делимости на 7

Этот признак менее лёгок для осуществления в уме, но он тоже очень интересен.

Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т.д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый результат, где возможно, на 7 или число, кратное 7.

Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7.

Теорема 1: Если какое - либо двузначное число делится на 7, то делится на 7 и число обращённое, увеличенное на цифру десятков данного числа.

Доказательство: Пусть N = 10х + у делится на 7. Тогда 10х + у = 7k, где k - целое положительное число. Число обращённое и увеличенное на цифру десятков данного числа имеет вид: 10у + х + х = 10у + 2х. Подставим сюда 7k – 10х вместо у, получим число 10(7k – 10х) + 2х = 70 k – 98х, которое делится на 7.

Например, 14 делится на 7, следовательно, делится на 7 и число 41 + 1.

Теорема 2: Если какое-либо трёхзначное число делится на 7, то делится на 7 и число, обращённое, уменьшенное на разность цифр единиц и сотен данного числа.

Доказательство: Пусть N = 100х + 10у + z делится на 7. Тогда 100х + 10у + z = 7k, где k - целое положительное число.

Число обращённое и уменьшенное на разность цифр единиц и сотен данного числа имеет вид: 100 z + 10у + х – (z – х) = 99 z + 10у + 2х. Заменим здесь z через

7k – 100х – 10у; получим число: 99(7k – 100х – 10у) + 10у + 2х = 99·7k – 9900х – 990у + 10у + 2х = 99·7k – 9898х – 980у, которое делится на 7.

Пример 1: Число 126 делится на 7. Следовательно, делится на 7 и 621 – (6 – 1), т.е. число 616.

Пример 2: Число 693 делится на 7, следовательно, делится на 7 и 396 – (3 – 6), т.е. 399.

Теорема 3: Если сумма цифр трёхзначного числа равна 7, то оно делится на 7 только при условии, что цифры десятков и единиц одинаковы.

Обратно, если сумма цифр трёхзначного числа равна 7 и цифры десятков и единиц одинаковы, то такое число делится на 7.

Доказательство:  Докажем сначала прямую теорему:

Пусть N = 100х + 10у + z, причём х + у + z = 7. Тогда

N = (7 – х – у) + 10х + у = 700 – 90х – 99у = 700 – 91х – 98у + х – у =

= 7(100 – 13х – 14у) + (х – у ).

Для того чтобы N делилось на 7, необходимо, чтобы х – у делилось на 7. Так как по условию х < 7 и у < 7, то это может быть лишь при х – у = 0, т.е. при х = у. Прямая теорема говорит о необходимом условии делимости числа N на 7.

Докажем теперь обратную теорему.

Пусть N = 100(7 – Х – У) + 10х + у, причём х = у. Тогда N = 100(7 – 2х) + 10х + х = 700 – 189х = 7(100 – 27х).

Как видно, оно делится на 7. Обратная теорема говорит о достаточном условии делимости числа на 7.

§ 6.1.  Признак делимости на 13, 17 и 19

Изложенные выше три признака делимости чисел на 7 по своему методу похожи на известные условия делимости чисел на 3 и на 9. Там и тут из цифр данного числа N при помощи простых арифметических действий  составляется некоторое новое число P, от делимости которого на данный делитель зависит и делимость данного числа. Число P составляется всякий раз так, что разность N – P (или, может быть сумма N + P) делится на данный делитель. Основой метода является делимость двучленов an +  bn на a +  b при нечётном n и an -  bn на a ± b при чётном n.

Применяя тот же метод рассуждений, можно убедиться в справедливости следующего любопытного признака делимости на 13, 17 и 19.

Для определения делимости данного числа на 13, 17 и 19 надо умножить крайнюю левую цифру испытуемого числа соответственно на 3, 7 или 9 и вычесть следующую цифру; результат опять умножить соответственно на 3, 7 или 9 и прибавить следующую цифру и т.д., чередуя вычитания и прибавления последующих цифр после каждого умножения. После каждого действия результат можно уменьшить или увеличить соответственно на число 13, 17, 19 или кратное ему. Если окончательный результат делится (не делится) на 13, 17, 19, то делится (не делится) и данное число.

Пример 1:  Делится ли число 2 075 427 на 19?

Применяем правило: 2×9 = 18  -1

( если не желательно вводить действия с отрицательными числами, то можно оставить 18 не вычитая из него 19);

-1 – 0 = -1,   -1×9 = -9, -9 + 7 = -2,  -2× 9 = - 18  1;

1 – 5 = - 4,  -4 × 9 = - 36 2,  2 + 4 = 6, 6×9 = 54  16;

16 – 2 = 14  -5, -5 × 9 = -45  12, 12 + 7 = 19  0. Делится.

§ 7.1.  Обобщённый признак делимости

      Мысль о рассечении числа на грани с последующим их сложением для определения делимости данного числа оказалась очень плодотворной и привела к единообразному признаку делимости многозначных чисел на довольно обширную группу простых чисел. Одной из групп «счастливых» делителей являются все целые множители p числа d = 10n + 1, где n = 1, 2, 3, … ( при больших значениях n теряется практический смысл признака).

При n = 1, d = 11, p = 11;

n = 2, d = 101, p = 101;

n = 3, d = 1001, p = 7, 11 и 13;

n = 4, d = 10001, p = 73 и 137.

      Для определения делимости какого-либо числа на любое из этих чисел p надо:

1. Рассечь данное число справа налево (от единиц) на грани по n цифр

 ( каждому p соответствует своё n; крайняя левая грань может иметь цифр меньше n);

2. Сложить грани через одну, начиная с крайней правой;
3. Сложить остальные грани;
4. Из большей суммы вычесть меньшую.

Если результат делится (не делится) на p, то делится (не делится и данное число.

      Так, для определения делимости числа на 11 (p = 11) рассекаем число на грани по одной цифре (n = 1). Поступая далее, как указано, приходим к известному признаку делимости на 11. При определении делимости числа на 7, 11 или 13 (p = 7, 11, 13) отсекаем по 3 цифры (n = 3). При  определении делимости числа на 73 и 137 отсекаем по 4 цифры (n = 4).

      Выясним, например, делимость пятнадцатизначного числа 837 362 172 504 831 на 73 и на 137 (p = 73,137, n = 4).

      Разбиваем число на грани: 837/ 3621/ 7250/ 4831.

Складываем грани через одну: 4831 + 3621 = 8452;    7250 + 837 = 8087.

 Вычитаем из большей суммы меньшую:

8452 – 8087 = 365.

Замечаем, что 365 делится на 73, но не делится на 137; то же можно сказать и о данном числе.

      Второй группой «счастливых» делителей являются все целые множители p числа d = 10n - 1, где n = 1, 3, 5, 7, … Ограничиваемся нечётными значениями n, потому что при n чётном (n = 2m) выражение 102m – 1разлагается на множители как разность квадратов, а делители вида 10m + мы только что рассматривали.

      Число d = 10n – 1 даёт следующие делители:

При n = 1, d = 9, p = 3;

n = 3, d = 999, p = 37;

n = 5, d = 99999, p = 41, 271 и т.д.

Для определения делимости какого-либо числа на любое из этих чисел p надо:

1. Рассечь данное число справа налево (от единиц) на грани по n цифр (каждому p соответствует своё n; крайняя левая грань может иметь цифр меньше n);
2. Все грани сложить.

Если полученный результат делится (не делится) на p, то делится (не делится) и данное число.

Заметим, что число, все n разрядов которого – единицы (начиная с n = 3), также делится на соответствующее p. Так, 111 делится на 37, 11 111 делится на 41 и на 271.

Курьёз делимости

Даны четыре изумительных десятизначных числа:

2 438 195 760;

3 785 942 160;

4 753 869 120;

4 876 391 520.

В каждом из них есть все цифры от 0 до 9, но каждая цифра только по одному разу

и каждое из этих чисел делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18.

ГЛАВА II

ЗАДАЧИ

2.1. Старинная восточная притча

      Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвёртую часть, а младшему – пятую.
     Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
     - О мудрец! – сказал старший брат. – Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5.  Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
     - Нет ничего проще, - ответил им мудрец, - Возьмите моего верблюда и идите домой.
     Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.
     Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался. Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
     - О мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд -лишний.
     - Это не лишний, сказал мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой.

2.2.  Число на гробнице

      В одной из египетских пирамид учёные обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. Трудно точно сказать, за что выпала такая честь на долю этого числа. Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10.

2520 = 2·2·2·3·3·5·7, т.е. данное число делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

      Действительно, нет числа, меньшего чем 2520, обладающего указанным свойством. Нетрудно убедиться в том, что это число является наименьшим общим кратным целых чисел первого десятка.

      В легенде рассказывается, что когда один из помощников Магомета – мудрец Хозрат Али садился на коня, к нему подошёл человек и спросил:

- Какое число делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без остатка?

Мудрец ответил:

- Умножь число дней в неделе на число дней в нужном месяце и на число месяцев в году ( считая, что в месяце 30 дней).

      Мудрец  прав: НОК(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2520, 2520 = 7·30·12.

2.3. Число Шахразады – 1001.

1001 = 7·11·13 – равно произведению трёх последовательных простых чисел. Числа вида abcabc = abc · 1001 делятся на 7, на 11, на 13, на 1001.

1001 = 7·11·13 = 7·143 = 13·77 = 11·91

      2.4. Записав шесть различных чисел, среди которых нет 1, в порядке их возрастания и перемножив, Таня получила в результате 135135. Какие числа перемножила Таня?

Решение: 135135 = 1001·135

135 = 3·5·9, 1001 = 7·11·13, значит 135135 = 3·5·7·9·11·13.

2.5. Трёхзначное число

Если от задуманного мной трёхзначного числа отнять 7, то оно разделится на 7, а если отнять от него 8, то оно разделится на 8, если отнять от него 9, то оно разделится на 9.  Какое число я задумал?

Решение: Очевидно, что задуманное число кратно 7, 8 и 9.

Значит, оно равно 7×8×9 = 504.

Других множителей у него нет, так как при наличии самого меньшего из них, то есть ещё одной двойки, искомое число стало бы уже четырёхзначным.

2.6. Корзина яиц

      Женщина несла на рынок корзину яиц. Прохожий нечаянно толкнул женщину, корзина упала, яйца разбились. Виновник несчастья, желая возместить потерю, спросил:
- Сколько всего яиц было в корзине?
- Точно не помню, - ответила женщина, - но знаю, что когда я вынимала из корзины по 2, по 3, по 4, по 5 или по 6 яиц, в корзине оставалось одно яйцо, а когда я вынимала по 7, в корзине ничего не оставалось. Сколько яиц было в корзине?

Решение:    НОК (2, 3, 4, 5, 6) = 60. Надо найти кратное 7, на 1 больше кратного 60.

 Заметим, 60n + 1 = 7 · 8n + 4n + 1. Число 60n + 1  делится на 7, если 4n + 1 делится на 7. Наименьшее из подходящих значений n  - число 5.

Значит, в корзине могло быть 301 яйцо.

2.7.  Найти наименьшее число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, на 3 – остаток 2, на 4 – остаток 3, на 5 – 4, на 6 – 5, на 7 – 6, на 8 – 7, на 9 – 8, на 10 – 9.

Решение:  Если прибавить к искомому числу 1, то полученное число будет делиться на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Таким числом является 2520, а искомое число на 1 меньше, т.е. 2519.

2.8. Четыре теплохода

      В порту пришвартовались 4 теплохода. В полдень 2 января 1953 года они одновременно покинули порт.

      Известно, что первый теплоход возвращается в этот порт через каждые 4 недели, второй – через каждые 8 недель, третий – через 12 недель, а четвёртый – через 16 недель.

      Когда в первый раз теплоходы снова сойдутся все вместе в этом порту?

Решение:   НОК чисел 4, 8,12, и 16 есть 48. Следовательно, теплоходы сойдутся через 48 недель, т.е. 4 декабря 1953 года.

2.9. Ошибка кассира

      Обращаясь к кассиру магазина, покупатель сказал:

- Получите, пожалуйста, с меня за 2 пачки соли по 90 копеек, за 2 куска мыла по 2 р. 70 коп., за 3 пачки сахару и за 6 коробок спичек, но стоимость пачки сахара и спичек я не помню.

      Кассир выдал покупателю чек на 29 р. 17 коп. Взглянув на чек, покупатель вернул его кассиру и сказал:

- Вы, несомненно, ошиблись в подсчёте общей суммы. Кассир проверил и согласился. Пришлось извиниться и выдать покупателю другой чек.

      Каким образом обнаружил покупатель ошибку?

Решение: Цена на соль и мыло кратна числу 3. Количество пачек сахару и коробок спичек тоже кратно 3. Поэтому сумма стоимости всех покупок должна быть кратна числу 3. Этой кратности не было в сумме, обозначенной на чеке

(сумма цифр 2 + 9 + 1 + 7 = 19 не делится на 3). Значит, в подсчётах имеется ошибка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

       Постепенное развитие теории делимости чисел привело к глубокому расширению всей теории чисел.

      Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел.

      Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счёта или измерения. Основной объект теории чисел – натуральные числа. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость.

      В своей работе:

      - Изучила доступную литературу, связанную с теорией делимости чисел.

      - Самостоятельно разобрала признаки делимости чисел, которые не входят  в программу школьного курса.
-Создала материал, объясняющий в доступной форме данную тему.
-Подобрала задачи на применение признаков делимости чисел.
-Создала презентацию, которая раскрывает смысл выбранной темы.

       Признаки делимости чисел интригуют и учёных и любителей. Накопилось много доказанных теорем о делимости чисел, но ещё больше недоказанных, среди которых есть важные для науки, а есть «любительские».

      Полагаю, что работа над задачами в некоторой мере увеличит запас ваших школьных представлений о делимости чисел, а может быть и побудит вас к систематическому изучению всей теории чисел.

ЛИТЕРАТУРА

1. В мире чисел. А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Гусак; Минск, 1987г.
2. За страницами учебника математика. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин; М. «Просвещение»,1989г.
3. Задачи по математике для любознательных. Д. В. Клименченко. М. «Просвещение»,1992г.
4.  Задачи по математике для любознательных: Книга для учащихся 5 – 6 классов средней школы. Д.В. Клименченко.   – М.: Просвещение, 1992.
5. Занимательная алгебра. Я. И. Перельман, М. «Наука», 1975г.
6. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Д.О. Шклярский,
7. Математическая смекалка. Б.А. Кордемский. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005.
8.  Математические завлекалки. Б.А. Кордемский.   – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005.

Н.Н. Ченцов, И.М. Яглом.; М. «Наука», 1977г.

9. Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. А. В. Фарков, М. 2003г.
10. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. В. Н. Березин, Л.Ю. Березина, И. Л. Никольская. М. «Просвещение»,1985г.
11. Факультативный курс по математике 7-9.И. Л. Никольская; М. «Просвещение»,1991г.