Геометрия, в которой мы живем.

ГЕОМЕТРИЯ, В КОТОРОЙ МЫ ЖИВЕМ

Авторы: Шмидт  

Нелли Анатольевна

Спиров Владимир Сергеевич

Класс: 7

МБОУ «Гимназия № 12» Город: Ленинск-Кузнецкий

Научный руководитель:

Слотюк Мария  Викторовна, учитель математики

КЕМЕРОВО 2016

Содержание

Введение                                                                                        3

Основная часть:                

Глава 1. Геометрия Евклида                                                                5

Глава 2. Геометрия Лобачевского                                                        8

Заключение                                                                                14

Литература                                                                                        16

Приложение                                                                                17

Введение

          Первые геометрические знания человечества появились, когда люди стали задумываться о свойствах окружающего их мира. Самой примитивной характеристикой предмета, которую можно отнести к геометрическим понятиям является размер. Эти примитивные знания использовались в жизни и хозяйстве человека: надо ли вспахать определенный участок поля, построить дом, измерить площадь какого-либо участка, изготовить орудие труда и т.д. Продолжать список деятельности человека, к которой могут быть применены простейшие геометрические теоремы, можно бесконечно. [1]

На уроках геометрии при изучении темы «Параллельные прямые» мы познакомились с аксиомами геометрии, на которых в дальнейшем строится курс геометрии, изучаемый в современной школе и называемый геометрией Евклида. Учитель подвела нас к мысли, что нужно обстоятельно и подробно изучать очевидные для учащихся отношения. Возникает неприятная ситуация, известная из школьного анекдота: «учитель нарисовал на доске равные треугольники, а потом долго доказывал, что они равны» именно очевидность аксиом и затрудняет их усвоение. Не всем учащимся понятно, зачем изучать то, что очевидно?

 Аксиома – как известно, это истина, не требующая доказательств. Это мысль, выраженная словами и ясная для всех, кто ее прочитает. Чтобы опровергнуть аксиому требуется исключительный ум.

 В течение пяти лет школьной жизни нам предстоит изучать геометрию Евклида. А живем мы в какой геометрии? Какое место в геометрической науке занимает Евклидова геометрия, противоречит ли ей неевклидова геометрия?

Свою работу мы назвали: «Геометрия, в которой мы живем».

Цель исследования:

Сравнить геометрию Евклида  с геометрией Лобачевского.

   Задачи:

1. Проанализировать аксиоматику геометрии Евклида.

2. Рассмотреть попытку доказательства пятого постулата.

3. Изучить доказательство аксиомы Лобачевского.

4. Выявить сходства и различия геометрий Евклида и Лобачевского.

5. Провести социологический опрос среди учащихся нашей гимназии  и представить результаты в виде диаграмм.

 Объект исследования: геометрия Евклида и геометрия Лобачевского.

 Предмет исследования: доказательство пятого постулата Евклида.

 Методы исследования:

•        анализ научно – популярной литературы;

•        социологический опрос;

•        методы обработки данных.

Глава 1. Геометрия Евклида

Геометрия - одна из древнейших наук. Она возникла на Востоке (в Ассирии, в Вавилонии, в Индии), основной задачей были простейшие измерения и вычисления,  отвечая на потребности быта, экономических отношений, зачаточной астрономии. С азиатского Востока геометрия проникла в Египет, где жрецы уже решали более серьезные задачи по измерению больших земельных участков; восстановлению  границ, смываемых разливом Нила;  при сооружении пирамид;  при мореплавании и т.д.

 Вычисления на основе измерений, часто приводили к ошибочным результатам, так как  первоначально они выполнялись на глаз. Эта, так называемая, «детская» геометрия была воспринята греками, но потребовалось свыше трех столетий (VII – IV вв. до н.э.), чтобы она сложилась в цельную научную дисциплину. [1;2]

Первым,  кто сделал попытку обобщить все геометрические знания человечества с возникновения первых понятий о свойствах тел и до масштабных трудов ученых Древнего Мира, был древнегреческий математик Евклид (Ευκλείδης). На протяжении всей своей жизни Евклид создавал важнейший в истории развития геометрии трактат, который назвал «Начала» (лат. Elementa) .

В «Началах» (13 томов)  Евклид обобщил аксиоматическую часть геометрии. То есть, он обобщил все утверждения, которые не требуют математических доказательств, а значит, являются основанием всей науки. Именно с помощью этих геометрических утверждений, которые Евклид назвал постулатами (аксиомы второго порядка), проводятся доказательства всех теорем и решения задач. К постулатам относят и определения геометрических фигур, которые в начале курса геометрии изучают как основные фигуры. Вот некоторые из аксиом, предложенных ученым:

1.        Точка есть то, что не имеет частей.

2.        Линия есть длина без ширины.

3.        Границы линии есть суть точки.

4.        Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

5.        Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6.        Границы поверхности есть суть линии.

7.        Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

8.        Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

Среди всех постулатов, описанных Евклидом в его «Началах», современные ученые выделяют пять основных, наиболее важных для развития геометрии. Вот эти важнейшие аксиоматические утверждения математика:

I. Через каждые две точки можно провести ровно одну прямую.

II. Вдоль любого отрезка можно провести прямую.

III. Имея отрезок, можно провести окружность так, что отрезок — радиус, а один из его концов — центр окружности.

IV. Все прямые углы равны.

V. Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а. [6]

При этом были и такие математики, которые считали труд «Начала» пестрой смесью логики и интуиции. Они критиковали Евклида за подмену умозаключений интуицией, соображениями, основанными на очевидности; за определения основных понятий геометрии (точка, линия, прямая поверхность, плоскость и т.д.); за  аксиомы и постулаты, за сложность формулировок.

«Начала» Евклида на протяжении более двух тысяч лет подвергались тщательному изучению. Имеется огромная литература, содержащая комментарии к «Началам». Уже древние комментаторы отметили, что «Начала» содержат существенные недостатки, в связи с этим предпринимались попытки их устранения. Особое внимание критиковавших «Начала» Евклида привлекал к себе знаменитый V постулат:

И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.(рис. 1)[3]

                                  s               В

                          r

                                                  С

   Рис. 1

Исследователи, жившие после Евклида, и комментаторы «Начал», рассматривали  пятый постулат, как утверждение, которое не следует помещать среди постулатов, а необходимо доказать как теорему. Они были убеждены в его доказуемости. Поэтому усилия многих поколений математиков были направлены на то, чтобы доказать пятый постулат при помощи остальных постулатов и аксиом Евклида,  и тем самым свести его в разряд теорем. В этом и заключалась проблема пятого постулата.

Решением этой проблемы занимались многие математики, в том числе: Посидоний (I в. до н. э.), Птолемей (III в. до н. э.), Прокл (410 – 475 гг), Насир-Эддин (1201 – 1274 гг.), Д. Валлис (1616 – 1703 гг.), Ламберт (1728 – 1777 гг.), Лежандр (1752 – 1833 гг.), Гаусс (1777 – 1855 гг.), И. Больяи (1802 – 1860 гг.). Все они неизменно оканчивались неудачей. [8]

        О том, насколько велик труд, затраченный на исследования, связанные с проблемой доказательства пятого постулата, можно судить по тому, что известно около 250 серьёзных сочинений, посвящённых теории параллельности, но так и не достигших поставленной цели.

Глава 2. Геометрия Лобачевского

Ближе всех к победе над пятым постулатом приблизился великий русский математик Николай Иванович Лобачевский  (1792-1856 гг). За тридцать лет до кончины Лобачевский впервые высказал нестандартное и,  казалось бы, абсурдное мнение о том, что пятый постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида.

В последствии Лобачевский оказался прав. И математический мир признает гения и назовет  Коперником геометрии, но, к несчастью, как и во многих подобных случаях, это случится уже после смерти великого ученого.

А начал русский математик с того, что заменил в аксиоме Евклида пятый постулат следующей аксиомой: через точку, лежащую вне прямой в плоскости, определяемой ими, можно провести не менее двух прямых, не пересекающихся с данной. [4]

Итак, согласно аксиоме Лобачевского, прямые  и , проходящие через точку А, не пресекают прямую b (рис.2):

                         а1                                                 А

                         а2

                                                         Р                                    b             Рис.2

Попробуем это доказать. В процессе доказательства  нам потребуется аксиома Паша: пусть дан  треугольник АВС. Если прямая а, лежащая в плоскости треугольника, пересекает отрезок АВ, то она пересекает также либо отрезок АС, либо ВС. При этом прямая а не содержит ни одну из точек АВС:         [11]                                a                        A

                              B                                                              C           Рис. 3

Доказательство:

1. На прямой   возьмем какую-нибудь точку   и соединим ее с произвольной точкой В прямой b. Отрезок В   пересечет прямую  в некоторой точке  (рис.4).

               а1                                                  В2 

               а2                     А                  В1

                                        Р             В                               b                 Рис. 4

2. Отметим произвольную точку М  на отрезке , докажем, что прямая АМ не пересекает прямую b. Воспользуемся методом от противного, то есть, допустим, что прямая АМ пересекает прямую b в некоторой точке С (рис.5).

                                                 B2     

                                     A

                                                 M

                 a2                                    B1

                             P          B                                     C                         b

Рис.5

 3.        Рассмотрим треугольник МВС и прямую . Прямая  пересекает сторону МВ треугольника МВС, значит прямая  по аксиоме Паша должна пересекать еще одну сторону данного треугольника: либо ВС либо МС. Отрезок МС прямая  пересечь не может, так как эти прямые уже пересеклись в точке А, значит прямая  должна пересечь сторону ВС, но по аксиоме Лобачевского прямая  пересекать прямую ВС не может.

4. Отсюда следует, что прямая АМ не может пересекать прямую b.

Таким образом, не получив противоречия,  мы доказали, что все прямые, проходящие через точку А не пересекают прямую b.

Это была первая попытка доказать пятый постулат методом «от противного». Следовательно, необходимо было прийти к логическому противоречию. И Николай Иванович проделал огромную работу, пытаясь сделать это. То есть получается, что если пятый постулат Евклида заменить аксиомой Лобачевского , то тогда через точку А можно провести сколько угодно прямых, не пересекающих b.

Николай Иванович доказал много десятков теорем, не обнаруживая логических противоречий. И Лобачевского осенила гениальная догадка: противоречия никогда не будет! Если все прочие аксиомы рассматривать вместе с пятым постулатом, то получается непротиворечивая геометрическая система – евклидова геометрия, а если вместо пятого постулата «вставить»  аксиому Лобачевского, то получим другую геометрическую систему, которая, однако, тоже непротиворечива.

Лобачевский назвал ее «воображаемой геометрией». Теперь ее называют геометрией Лобачевского. Свои исследования он изложил в ряде сочинений, начиная 1829 года. Но математический мир не принял идеи Лобачевского. Ученые не были подготовлены к мысли о том, что может существовать геометрия, отличная от евклидовой. И лишь Гаусс выразил свое отношение к научному подвигу русского ученого: он добился избрания в 1842 году Н.И. Лобачевского членом - корреспондента Геттингенского королевского научного общества. Эта единственная научная почесть, выпавшая на долю Лобачевского при жизни. Он умер, так и не добившись признания своих идей. [5; 7]

В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования 5 постулата (или аксиомы параллельности, включенной в наши дни в школьные учебники). Например: вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр; сохраняются также признаки равенства треугольников и др. Однако теоремы, при доказательстве которых применяется аксиома параллельности, видоизменятся. Теорема о сумме углов треугольника - теорема школьного курса, при доказательстве которой используется аксиома параллельности. Здесь нас ожидает первый «сюрприз»: в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180º.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то в евклидовой геометрии равны и третьи углы (речь идёт о подобных треугольниках). В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников. Но зато в геометрии Лобачевского существует четвёртый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Параллельными, в своей геометрии Лобачевский называет,  прямые, которые все больше приближаются друг к другу, но общих точек не имеют.

                  Рис. 6

А два перпендикуляра к одной прямой (которые неограниченно удаляются друг от друга) Лобачевский называет расходящимися прямыми.

                       Рис. 7

Лобачевский доказывает, что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга (рис. 6). А две расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис. 7).

Оказывается, что этим и ограничиваются все возможности расположения двух прямых на плоскости Лобачевского: две несовпадающие прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо являются расходящимися (в этом случае они имеют единственный общий перпендикуляр). [10]

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще. Открытие неевклидовой геометрии произвело переворот не только в геометрии и даже не только в математике, но можно сказать, в развитии человеческого мышления вообще.

Мы решили провести социологический опрос среди учащихся  нашей гимназии, чтобы выяснить, знают ли ребята, какую геометрию они изучают.  В социологическом опросе участвовало 105 учащихся с 7 по 11 класс.

В качестве основных вопросов были:

1.  Кто является основателем геометрии?
2. Кто такой Евклид?
3. Кто такой Лобачевский?
4. Сформулируйте аксиому параллельности прямых.
5. Нравится ли вам изучать геометрию?

Из результатов опроса видно, что 42% учащихся считают основателем геометрии Евклида, 10% Пифагора и 48% ответили просто «не знаю» даже не назвав ни одного известного математика. На следующий вопрос «Кто такой Евклид?»  так же 43% ответили, что это древнегреческий ученый, основатель геометрии. На вопрос «Кто такой Лобачевский», 33% ответили, что это ученый-математик, некоторые думали, что именно он является основателем геометрии; 67% опрошенных не знали, кем был Николай Иванович. Аксиому параллельности смогли сформулировать лишь 20% опрошенных. Наиболее грамотные и полные формулировки были у семиклассников, это объясняется тем, что во время проведения социологического опроса ребята изучали тему «Параллельные прямые». И на последний вопрос «Нравится ли вам изучать геометрию?» «да» - ответили 47%, «нет» - 53%. Некоторые учащиеся ответили на этот вопрос, что геометрия им нравится, но они ее не понимают.   (Приложение 1)

Таким образом, можно сделать вывод, что изучая геометрию большинство учащихся и не задумываются над историей создания самой геометрии, ее теорем, аксиом. А ведь учебник, который мы нехотя открываем на уроках, это  тысячелетний труд множества великих ученых.

Геометрия как школьный учебный предмет всегда считался одним из самых сложных в школьном курсе математики.

Заключение

В ходе настоящего исследования мы проанализировали литературу, чтобы познакомиться с историей возникновения геометрии, выяснили, что геометрия – одна из древнейших наук, она возникла очень давно, еще до нашей эры. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда,  обтесывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Таким образом, начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач.

Со временем накопилось большое количество геометрических фактов, и у людей появилась потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Так постепенно создавалась геометрическая наука.

Мы узнали, что на протяжении многих веков, начиная с третьего, совсем до недавнего времени единственно верной, непротиворечивой считалась геометрия Евклида. На самой заре человечества древнегреческий ученый - математик в своем труде, называвшемся «Начала», изложил первые аксиомы и теоремы геометрии, которые в те далекие времена казались неоспоримыми. Но в силу того, что Евклид (являвшийся родоначальником геометрии в целом) стоял у самых истоков, на заре этой науки, он не мог всего  учесть. Особенно это касается пятого постулата (о параллельности прямых), доказательства которому он так и не сумел привести.

Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине 19 века великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, так как он создал новую, неевклидовую геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.

Изучив аксиому Лобачевского, мы попробовали самостоятельно доказать ее, так же методом от противного, однако,  как и Николай Иванович, не получили противоречия.  

Сравнив геометрию Евклида и геометрию Лобачевского, мы сделали выводы: геометрия Евклида работает на маленькой поверхности, а геометрия Лобачевского на развернутой плоскости с учетом ее кривизны.

Но перед нами встал вопрос: для чего нужна неевклидова геометрия?

Проанализировав научную литературу, мы узнали, что на основе геометрии Лобачевского созданы новые направления в науке, такие как геометрия на сфере, геометрия выпуклой и вогнутой плоскостей.  Многие из утверждений Лобачевского соблюдаются в космосе, в микромире. И, наверное, в будущем человечество так же найдет применение этой науке.

Мы провели социологический опрос среди учащихся гимназии, чтобы выяснить знают ли учащиеся об истории геометрии, про Евклида и Лобачевского, знакомы ли они с проблемой пятого постулата. Результаты опроса представлены в виде диаграмм в Приложении 1.

Рассмотренный нами материал могут использовать учителя математики при проведении внеурочных занятий, или частично при проведении уроков геометрии.

Нам было очень интересно работать над данной темой. Она нас захватила как увлекательная книга. Из нее мы узнали много интересного, она заставила нас иначе взглянуть на окружающий мир. Мы поняли, как важно в геометрии размышлять, рассуждать, искать истину.

Литература

1. Аксенов, М.Д. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика [Текст]/ Главный ред. М.Д. Аксенова. - М. Аванта+, 2003.-688с.
2. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений [Текст]/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.-М.: Просвещение, 2014.-384 с.
3. Аксиома параллельности Евклида [Электронный ресурс] / Режим доступа - https://ru.wikipedia.org/wiki
4. Геометрия Лобачевского [Электронный ресурс] / Режим доступа -  https://ru.wikipedia.org
5. Геометрия Лобачевского [Электронный ресурс] / Режим доступа - http://geom.kgsu.ru/index.php?id=39&option=content&task=view
6. Евклид и его «Начала» [Электронный ресурс]/ Режим доступа-https://otherreferats.allbest.ru
7. Исследовательская работа по теме: «Н.И. Лобачевский – создатель неевклидовой геометрии» [Электронный ресурс]/ Режим доступа-http://lib2.znate.ru
8. Проектная работа «Неевклидова геометрия (геометрия Лобачевского)»: статьи фестиваля «Открытый урок» [Электронный ресурс]/ Режим доступа – http://festival.1september.ru
9. Факультативное занятие по математике для учащегося 8-го класса на тему: «Лобачевский и его геометрия» в форме филосовской беседы: Статьи фестиваля «Открытый урок» [Электронный ресурс]/ Режим доступа - – http://festival.1september.ru
10. От Евклида до Лобачевского [Электронный ресурс]/ Режим доступа - http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike
11. Открываем неевклидову геометрию [Электронный ресурс]/ Режим доступа - http://vestishki.ru/content/§41

Приложение 1