Быстрый счёт, или как быстро научиться считать

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 “Малокамалинская основная общеобразовательная школа №5”

Быстрый счёт, или как быстро научиться считать

Направление «Естественные науки и современный мир»

с. Малая Камала, 2016 год

Краткая аннотация

В наше время существует мнение, что человеку не надо знать приемы быстрых вычислений, что для этого существуют компьютеры. Однако польза быстрых вычислений огромна. Счет в уме является самым древним способом вычисления. При быстрых вычислениях развиваются внимание, сосредоточенность, смекалка, самостоятельность. Быстрый счет тренирует память.  Существует много приёмов упрощения арифметических действий. Знание приёмов быстрых вычислений особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц и калькулятора.

Оглавление

Введение

«Счёт и вычисления –   основы порядка в голове»

Иоганн Генрих  Песталоцци

Немногие умеют считать быстро и правильно. Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач. А ведь приёмы быстрого счёта известны давно. Великолепные способности к быстрому счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано.

Для того чтобы понять, какую роль в нашей жизни играют цифры, поставьте простой эксперимент. Попробуйте некоторое время обойтись без них. Без цифр, без вычислений, без измерений… Вы окажетесь в странном мире, где почувствуете себя абсолютно беспомощным, связанным по рукам и ногам. Как успеть на встречу вовремя? Отличить один автобус от другого? Позвонить по телефону? Купить хлеб, колбасу, чай? Сварить суп или картошку? Без чисел, а значит, без счёта жизнь невозможна. 

Объект исследования: быстрый счёт  

Предмет исследования: нестандартные приёмы устного счёта

Цель: изучение приёмов устного счёта

Задачи:

1. Изучить  литературу по данной теме.
2. Рассмотреть приёмы быстрого счёта.
3. Показать некоторые приёмы быстрого счёта учащимся школы.    

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Как считали в старину

   Никто не знает, когда впервые появились счёт и число. Но уже несколько десятков тысяч лет назад люди собирали плоды и ягоды, охотились на диких животных, ловили рыбу, делали каменные ножи и топоры. И им надо было знать, хватит ли добычи до следующей охоты, много ли поймано рыбы, надо было делить собранные плоды.

     Так, занимаясь охотой, рыбной ловлей, сбором плодов и грибов, люди сталкивались с вопросами, которые сейчас решаются с помощью числа и счета.

     Ещё не умея считать, древний охотник знал, все ли собаки вышли с ним на охоту или какая - нибудь убежала. Люди знали, что у человека столько же рук, сколько рогов у оленя, сколько крыльев у птицы, сколько глаз у волка. Они научились считать до двух.

    Многие племена, живущие на островах Тихого океана, до не давнего времени пользовались только числительными  "один" и "два".

  Число 3 называли "два-один", число 4 -  "два-два", число 5 - "два-два-один", а число 6 - "два-два-два". Чисел же больших, чем 6, они не применяли и говорили "много".

  Такой период прошли, по-видимому, все народы. И в русском языке во многих  пословицах и поговорках слово "семь" употребляется в значении "много": "Семеро одного не ждут", "Семь раз отмерь, один раз отрежь", "Семь  бед - один ответ", "один с сошкой - семеро с ложкой", "У семи нянек дитя без глаза", “Одним махом семерых убиваю", "Лук - от семи недуг", “Сам не дерусь, семерых не боюсь", “Семь верст до небес и все лесом",  "До седьмого пота",  "Семи пядей во лбу".

   Потом стали  появляться и другие числительные: "три", "четыре", "пять" и т.д. Для облегчения счёта предметы стали раскладывать на кучки - пятки, десятки, дюжины. Дюжин (кучки из 12 предметов) была удобна тем, что её легко было разделить на две, три, четыре и шесть равных частей. До сих пор некоторые вещи (вилки, ножи, носовые платки) считают дюжинами. Но ещё чаще, чем дюжинами пользовались пятками (кучками из пяти предметов) и десятками (кучками из 10 предметов). Ведь пятки и десятки было легче отсчитать и с помощью пальцев - в пятке столько же предметов, сколько пальце на одной руке, а в десятке - сколько пальцев на двух руках.

      Если надо было пересчитать много предметов, кучки объединялись в большие кучки: десять десятков составляли сотню, десять сотен - тысячу. В этом случае считали несколько человек. Первый отсчитывал единицы, загибая один за другим пальцы на руках. Когда у счётчика оказывались загнутыми все 10 пальцев, он разгибал, а другой счётчик загибал один палец. Его пальцы показывали, сколько отсчитано десятков. Когда и он загибал  все пальцы, то это означало, что отсчитано десять полных десятков, то есть сотня. И тогда третий счётчик загибал один палец. Если в конце счёта оказывалось, что третий загнул 6 пальцев, второй - 2 пальца, а первый - 8  пальцев, то это означало, что отсчитано 6 сотен, 2 десятка,  и 8 единиц, 628 предметов. Такая система отсчёта называется десятичной, так как в ее основе лежит число 10.

     Русские названия чисел связаны с десятичной системой счисления. Например, семнадцать значит "семь на десять", тридцать - "три десятка", семьдесят - "семь десятков", а пятьсот - "пять сотен".

   Сейчас почти все народы пользуются счётом десятками, сотнями и тысячами, то есть десятичной системой счисления. Но раньше некоторые народы применяли другие системы счисления счёта. В теплых странах, где люди ходили босыми, для счета применялись не только пальцы рук, но и ног. Получался счёт двадцатками. Так считали некоторые африканские и американские народы. Французы число восемьдесят называют словом, которое в переводе на русский означает "четыре раза по двадцать". Значит, когда-то их предки считали двадцатками.

   А 5 тысяч лет назад в некоторых странах Востока считали кучками по 60 предметов (то есть по дюжине пятков). Следы такой системы счисления сохранились до сих пор, и сейчас мы делим час на 60 минут, а 60 минуты на 60 секунд.

  С такой системой счисления связано и деление на 6 развернутого угла на 180 градусов, ведь 180=3*60.

  Первоначально для расчётов нужны были не очень большие числа, поэтому для разрядов было немного названий. Но учёные древнего мира стали задумываться над вопросом: "А можно ли выразить числом количество капель воды в реке, саранчи в стае, песчинок на берегу моря?" Тех чисел, которые они знали, для этого было недостаточно. Но более двух тысяч лет тому назад греческий математик Архимед  создал систему нумерации, в которой были такие огромные числа, что с их помощью можно было пересчитать не только песчинки на берегу моря, но и все песчинки на земном шаре. Громадные числа встречаются и в книгах, написанных примерно тогда же в Индии.

  В Древней Руси 10 тысяч называли "тьмой", 100 тысяч - "легионом". И сейчас, когда хотят сказать, что собралось много людей, говорят: "Народу - тьма". Название "миллион" стало применяться с XIV века, а "миллиард"- с  XVI века. Существуют названия для разрядов, больших миллиарда, но на практике их почти не применяют.

  Числа надо было не только уметь называть при счёте, их надо было научиться записывать.

  Еще до появления письма для запоминания чисел пользовались бирками - кусками дерева, на которых делали столько зарубок, сколько единиц было в числе. А индейцы в Америке  изображали числа с помощью узелков на верёвках.

   Когда же появилась письменность, числа стали записывать специальными знаками. Многие народы пользовались для этого первыми буквами числительных (если бы мы так поступали, то сто обозначали бы буквой "с", а  тысячу - буквой "Т"). В Древней Руси буква "а" обозначала число 1, буква "б"- число 2. Были буквы и для обозначения числа от слов, над буквами стали ставить  особый знак (титло).

  Широкое распространение получила система записи чисел, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. Вот некоторые римские цифры:

                                 I - один;               L - пятьдесят;

                                 V - пять;              C - сто;

                                 X - десять;          M - тысяча.

  Знак для 5 - это раскрытая ладонь, а для 10 - две раскрытые ладони. Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще до XVIII века в деловых бумагах разрешалось обозначать числа лишь римскими цифрами. До сих пор мы пользуемся этими цифрами для обозначения веков, например,  пишем ХХ век - двадцатый век.

  Римская система записи чисел была неудобна - над числами трудно было выполнять арифметические действия. Её вытеснила знакомая нам система записи чисел, появившаяся в Индии примерно 1400 лет назад. В этой системе все числа обозначались с помощью цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.

  При этом значение цифры зависело от занимаемого ею места, от её позиции. Поэтому такую систему записи чисел называют позиционной. Позиционной была шестидесятичная система, о которой говорилось раньше. Но только в Индии появилась позиционная десятеричная система записи. Замечательным изобретением ученых Индии было введение особого знака для пропущенных разрядов - цифры  0. Ведь без этого трудно было бы отличить 17 от 170, 108 от 1800. Постепенно такой способ записи чисел стал распространяться повсюду.  Так как европейцы узнали этот способ записи чисел от арабов, то цифры, которыми мы пользуемся, часто называем арабскими.

  Когда древнему писцу надо было рассчитывать, сколько хлеба понадобится войску, он должен был умножить дневной паёк воина на число воинов и число дней, которое продлится поход. А чтобы разложить налог на население деревни, надо было выполнять деление. Иными словами, надо было выполнять  арифметические действия. Способы выполнения этих действий были совсем не похожи на современные, ведь и числа записывались совсем по-другому. Например, египтяне для умножения пользовались удвоением чисел. Чтобы умножить число на 6, они удваивали его, потом снова удваивали результат и складывали полученные ответы (6а=4а+2а).

  В других странах Востока для подсчётов пользовались таблицами, похожими на нашу таблицу умножения. Только в ней были указаны и ответы для произведения очень больших чисел.

  В Древней Греции и в Древнем Риме для подсчётов использовали специальные счётные доски - абаки.

   Особенно трудными считались действия умножения и деления. Поэтому ещё несколько сотен лет назад по разным странам ходили люди, хорошо умевшие считать. Купцы их нанимали для выполнения разных расчётов.

  Ещё 3 тысячи лет назад были составлены первые учебники математики. По ним обучали писцов записывать, складывать, вычитать, умножать и делить числа, решать задачи. Пока книги надо было переписывать от руки, таких учебников было мало. Но когда в ХV веке изобрели книгопечатание, число учебников по математике стало быстро увеличиваться.

        В России первый учебник по математике создал в 1703 году Леонтий Филиппович Магницкий.

        В дошедших до нашего времени древних математических рукописях  встречаются не только целые числа, но и дроби. В Древнем Египте знали только доли и был особый знак для дроби . Поэтому действия над дробями были очень сложными.

        В конце XVI века появились десятичные дроби. При вычислениях с десятичными дробями получались числа с очень большим числом цифр. Такое число знаков не было нужно для практики. Поэтому приходится округлять полученные ответы, вести приближённые вычисления. Много сделал для развития приближённых вычислений русский математик и кораблестроитель академик Алексей Николаевич Крылов (1863-1945). Сейчас для облегчения вычислений построили машины, которые считают удивительно быстро. За одну секунду эти машины могут выполнить миллионы арифметических действий (сложений, вычитаний, умножений и делений) над многозначными числами.

2.2. Запоминание чисел

 Быстрый вычислитель должен, прежде всего, обладать превосходной развитой памятью на числа. До какой изощренности доходит такая память у лучших счётчиков, показывают следующие рекорды.

        Знаменитый немецкий вычислитель Рюкле выучил наизусть число, состоявшее из  504 цифр, в течении 35 минут, а его соотечественник доктор Браунс побил этот рекорд, сделав то же самое менее, чем 13 минут.

        Но, конечно, такой феноменальной памятью наделены от природы лишь отдельные единицы. Профессиональные  счётчики, не обладая прирождённой памятью на числа, помогают себе различными приёмами (так называемые «мнемоническими»).

        В обиходной жизни мы и сами зачастую пытаемся пользоваться подобными приёмами, большей частью, надо признаться, довольно неудачно выбранными. Желая запомнить номер телефона 49-25, мы возлагаем надежды на то, что это легко удастся восстановить в памяти, так как оно составлено из двух точных квадратов:

                   49=72, 25=52.

        Но когда является надобность действительно вспомнить его, к нашим услугам оказывается безнадёжно - ошибочно выбор примеров: 16-25, 36-64, 25-16, 64 -16, 81-25 и т.д.

Подобная  же неудача постигает нас и в других случаях. Телефон 17-53 мы собираемся запомнить, пользуясь тем, что сумма  первых двух цифр(1+7) равна сумме двух последних (5+3). Но финал оказывается не лучше, чем в предыдущем случае. А ведь надо ещё не спутать, к чьему телефону была применена та и к какому - иная комбинация. Можно только удивляться, как правило, люди пытаются пользоваться этим явно негодным приёмом.

        Пристрастие к нему остроумно высмеивал писатель Я. Гашек в своих знаменитых "Похождение бравого солдата Швейка": "Швейник разглядывал номер своей винтовки и, наконец, сказал:

        - Номер 4268. Как раз такой номер был у одного паровоза в Печке на шестнадцатом пути. Паровоз надо было увести в Лиссу для ремонта, но это не так-то просто было, потому что у машиниста, который должен был его отвести туда, была очень плохая память на номера. Тогда начальник станции вызвал его к себе в канцелярию, и говорил ему:

        - На 1-м пути стоит паровоз №4268. Я знаю, что у вас плохая память на номера, а если вам написать номер на бумажке, то вы бумажку потеряете. Но уж если вы так слабы на номера, то постарайтесь запомнить, что я вам сейчас скажу, и вы увидите, что можно с лёгкостью заменить себе любой номер. Ну, так вот.

        Паровоз, который вам надо отвести в депо, значится за номером 4268. Вот и обратите внимание. Первая цифра - четвёрка, вторая - двойка. Запомните, стало быть, 42, т. е. дважды два - четыре, что даёт нам первую цифру, а если разделить ее на два, то получится опять два, и, таким образом, у нас получится  рядом 4 и 2. Дальше уже  просто. Сколько будет дважды четыре? Восемь, не так ли? Вот вы и запечатлейте в памяти, что восьмёрка в нашем номере является последней цифрой. Теперь вы уже запомнили, что первая цифра - четвёрка, вторая двойка, а последняя восьмёрка. Значит, остаётся только запомнить цифру шесть перед восьмёркой. Но и это совсем просто. Ведь первая цифра у нас 4, вторая 2, а вместе они как раз составляют 6. Вот и номер 4268 крепко засел у вас в голове. Вы можете также прийти к результату более простым путем, а именно: из 8 вычесть 2, получится 6. Запомните: 6. Из 6 вычесть 3 получится 4. Стало быть, имеете уже 4 и 68. Теперь надо только между этими двумя цифрами поставить цифру 2, и получим 4268. Можно сделать и еще иначе, тоже весьма просто, при помощи умножения.         Запомните, что дважды 42 равно 84. В году двенадцать месяцев. Надо вычесть 12 из 84 останется 72, и из 72 еще раз вычесть 12 месяцев, Получится 60. Вот у нас уже есть 6, потому что ноль мы можем  просто отбросить.

        Значит, если мы напишем 42-6-84 и отбросим последнюю 4, то неминуемо получим число 4268, т.е. номер паровоза, который надо отвести".

        Примеры эстрадных счётчиков - совершенно иного рода. Вот один из них, который может при случае пригодиться и каждому из нас.

        Счётчик связывает с цифрами определённые согласные буквы, твердо выученные:

Так как буквы выбраны только согласными, составляя короткие словечки. Например:

        Сходным образом составляются слова и для двузначных чисел:

11- гага                        14 - гуща

12 - год                        15 - губа

13 - жук                    16 - игла

и т.п.

        Чтобы запомнить число 2549, эстрадный счётчик мысленно подписывается под цифрами соответствующие  им буквы:

2      5      4      9

д      п      ч      р

т      б      щ      ц

и быстро составляются из них слова:

25                 49

дуб               ящер

        "Дуб" и "ящер" не только легко запомнить, но и связать как-нибудь с фамилией гражданина или названием учреждения, которым принадлежит телефон.

2.3. Приёмы ускоренного умножения

Для выполнения тех отдельных действий умножения, на которые распадается каждый из указанных выше приёмов, существуют также удобные способы. Некоторые из них весьма несложны и удобно применимы; они настолько облегчают вычисления, что не мешает вообще  запомнить их, чтобы пользоваться при обычных расчётах.

Таков приём  перекрестного умножения, который весьма удобен при действиях с двузначными числами. Способ не нов; он восходит к грекам и  индусам и в старину назывался "способом молнии",  или "умножение крестиком". Теперь он забыт.

Пусть требуется перемножить 24*32.  Мысленно располагаем  числа по следующей схеме, одно под другим:

2  4

*

3  2

Теперь последовательно производим следующие действия:

1) 4*2=8 - это последняя цифра результата.

2) 2*2=4; 4*3=12; 4+12=16; 6 - предпоследняя цифра результата; 1 запоминаем.

3) 2*3=6, да ещё удержанная в уме единица, имеем 7 - это первая цифра результата.

Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8 - 768

После непродолжительного упражнения приём этот усваивается очень легко.

Другой способ, состоящий в употреблении так называемых "дополнений", удобно применяется в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100.

Предположим, что требуется перемножить 92*96. "Дополнение" для 92 до 100 будет 8, для 96 - 4. Действие производят по следующей схеме:

множители: 92 и 96

"дополнения": 8 и 4.

Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя "дополнения " множимого или наоборот: т. е. из 92 вычитают 4 или  из 96 вычитают 8. В  том и другом случае имеем 88; к этому числу приписывают  произведение "дополнений": 8*4=32. Получаем результат 8832.

Что полученный результат верен, наглядно видно из следующих преобразований:

88*96=88*(100-4)= 88*100-88*4

4*96=4*(88+8)=4*8+88*4

92*96= 8832+0

Ещё пример. Требуется перемножить 78 на 77:

множители: 78 и 77

"дополнения": 22 и 23

78-23=55

22*23=506

55000+506=6006

Третий пример. Перемножить 99*9

множители: 99 и 98

"дополнения": 1 и 2

99-2=97

1*2=2

В данном случае надо помнить, что 97 означает здесь  число сотен. Поэтому складываем: 9700+2=9702

2.4. Для обиходных расчётов

Существует огромное множество приёмов ускоренного выполнения арифметических действий - приемов, предназначенных не для эстрадных выступлений, а для обиходных вычислений. Составилась бы целая книга, если задаться  целью описать хотя бы только главнейшие из них; такие книги и написаны, примером является книга известного французского педагога Мартела "Быстрый счет" или переведённая с немецкого брошюра Нейхазуза "Тайны быстрых вычислений". Ограничусь поэтому лишь несколькими  приёмами  из числа наиболее удобно применимых.

        В  практике технических и торговых вычислений  нередки случаи, когда приходится складывать столбцы чисел, близких друг к другу по величине. Например:

43      

38      

39  

45

41

39

42        

43=40+3  

38=40-2    

39=40-1    

45=40+5

41=40+1

39=40 -1

42=40+2

Точно так же находим сумму:

752=750+2      750*6+1=4501

753=750+3

746=750-4

754=750+4

745=750-5

751=75+1

Подобным образом поступают, когда находят арифметическое среднее чисел, близких между собой по величине. Найдем, например, среднюю из следующих цен:

руб. коп.

4       65

4       73

4       75

4       67

4       78

4       74

4       68

4       72

Отсюда искомая средняя цена:  4 руб. 70 коп. + 1,5 коп=4 руб. 7112 коп.

Перейдём к умножению. Здесь, прежде всего, укажем, что умножение на число 5, 25 и 125 значительно ускоряется, если иметь в виду следующее:

Поэтому, например,

При умножении на 15 можно пользоваться тем, что

Поэтому легко производить в уме вычисления вроде таких:

или проще:

При умножении  на 11 нет надобности писать 5 строк

383

 11

383

                                                                  383

4213.

Достаточно лишь под умножаемым числом  подписать его еще раз, отодвинувши на одну цифру,

383                                       383

                                            +383                  или                  +  383

                                          4213                                        4213

и произвести сложение.

        Полезно запомнить результаты умножения первых девяти чисел на 12, 13, 14, и 15. Тогда умножение  многозначных чисел на такие множители значительно  ускоряется.

4587

    13

        Поступаем так. Каждую цифру множимого умножаем в уме сразу на 13:

7*13=91;                                   1 - пишем, 9 - запоминаем;

8*13=104;   104+9=113;           3 - пишем, 11 - запоминаем;

5*13=65;       65+11=76;           6 - пишем, 7 – запоминаем.

4*13=52;       52+7=59.

                                Итого: 59631.

После нескольких упражнений этот приём легко усваивается.

Весьма удобный приём существует для умножения двузначных чисел на 11: надо раздвинуть цифры множимого и вписать между ними их сумму:

43*11=473

Если же сумма цифр двузначная, то число десятков прибавляют к первой цифре множимого: 48*11=4(12)8, т. е. 528.

Рассмотрим некоторые приёмы  ускоренного деления.

При делении на 5 умножают делимое и делитель на 2:

3471:5=6942:10 =694,2.

При делении на 25 умножают оба числа на 4:

3471:25=13884:100=138,84.

Аналогичным образом поступают при делении на  и на :

=2314,

Заключение

«Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит» – говорил Михаил Ломоносов. Умение быстро считать остаётся полезным навыком и для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.

Для того, чтобы освоить способы быстрого счета, необходимо немного попрактиковаться, выработать навык счета. Методы быстрого счета выручат вас в самое неудобное время, когда нет возможности воспользоваться калькулятором, избавят от необходимости считать на бумажке столбиком, хотя и для счета столбиком, тоже необходим элементарный навык.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел. (Серия «Занимательная наука»).  М: - Русонова, 1994. – с. 134
2. Виленкин И.Я. и др. Математика 5. М: - Мнемозина, 1996. – с. 164
3. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М: - Триада - Литера, 1994. – с. 79
4. http://4brain.ru/schitat-v-ume/
5. http://www.rutvet.ru/in-tehnika-ustnogo-scheta-kak-nauchit-sya-schitat-v-ume-bystro-6417.html
6.  http://biz-incom.ru/sposoby-bystrogo-scheta