Исследовательская работа Некоторые зависимости площадей и периметров.

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОТКРЫТАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«В МИР ПОИСКА, В МИР ТВОРЧЕСТВА В МИР НАУКИ»

Муниципальное  автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

Г. Колпашево, Томской обл..

Исследовательская работа

 Некоторые зависимости площадей и периметров.

Автор работы:

Алексеева Алина, 6а класс

Руководитель:

учитель математики Парфенова Елена Витальевна

                                                  Колпашево

                                              2016

Автор: Алексеева Алина, 6а класс.

Руководитель: Парфенова Елена Витальевна,  учитель математики

Тема «Некоторые зависимости площадей и периметров»

Общеобразовательное учреждение МАОУ СОШ №2 г. Колпашева

Используемые медиаресурсы текстовый редактор WORD, редактор POWER POINT, ресурсы сети Интернет

Цель проекта: установить  некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практической ситуации, подтвердить или опровергнуть достоверность знаменитой задачи про царицу Дидону.

Задачи:

--повторить теорию по теме исследования

--провести необходимые исследования и опыты

--сделать выводы

-- рассмотреть практическое применение полученных результатов

1)Актуальность темы

С понятием периметр и площадь мы знакомимся еще начальной школе. Эти важные понятия необходимы человеку на протяжении всей его жизни. И дело не только в том, что деятельность представителей некоторых профессий немыслима без прочных знаний по этой теме

(строители, инженеры, земледельцы, швеи, и т. д., труднее назвать сферу деятельности человека, где эти понятия не пригодятся). Понятия площади и периметра необходимы человеку в окружающей жизни постоянно, самый банальный пример - произвести ремонт в комнате, квартире,  доме. И то и другое понятие связывают стороны многоугольников, следовательно, знание зависимостей между этими величинами очень важно для современного человека

2) Определение предмета исследования        

Итак, вспомним хорошо известные нам факты.

 Площадь – величина, характеризующая размер поверхности, которую занимает геометрическая фигура. (Сколько места фигура занимает на плоскости).

Периметр – размер границ (контура) геометрической фигуры. (Сумма длин всех сторон).

Свойства

Равные фигуры имеют равные площади.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее фигур.

За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единичному отрезку.

3) Формулировка проблемы

Несмотря на всю важность, я не могу припомнить никаких зависимостей связывающих площади и периметры, которые бы мы изучали в школе

Самый простой пример, который заводит в тупик неискушенных обывателей

Есть два участка земли 60х100 и 50х120м. Вроде площадь одинаковая, а первый выгоднее купить - забор то на 20м короче строить! Шутки шутками, и с точки зрения математики все ясно, а вот логически как то странно, вроде периметр это замкнутая воображаемая нить, а то, что внутри нее не должно меняться, как ее не крути. Почему есть разница в периметрах? Так все-таки, есть ли какие - то зависимости, или площадь и периметр никак не зависят друг от друга?

4. Выдвижение гипотезы

Предполагаем, что некоторые зависимости существуют.

Можно даже предположить, что  если площадь больше, то периметр больше,

чем сторон больше, тем периметр больше.

5. Проверка гипотезы

Исследования начнем с простой и хорошо знакомой нам фигуры –прямоугольника.

Исследование №1.   

Заполним  таблицу, считая площадь одной клеточки равной 1 см 2

       А

               В                                                 С                                                                                

          Е                          

                                                                D                                                                      

 Таблица №1

Исследуя результаты измерений, делаем вывод, что не всегда увеличение площади означает, что периметр тоже увеличивается.  При одинаковом периметре и площади бывают разные! Отчего же так происходит?

Продолжим наблюдения.

Исследование №2.                

Таблица №2

Замечаем, что при равных площадях периметры не равны, самый маленький периметр из всех прямоугольников с равными площадями у квадрата.

 Вот какое замечательное свойство у квадрата! Среди всех прямоугольников одинаковой площади у него самый маленький периметр!!!

Очевидно, можно сделать вывод что, при наименьшем периметре  самая выгодная площадь у квадрата.

Запомним это замечательное свойство квадрата, заключать в своих границах наибольшую площадь при постоянном периметре.

6. Объяснение результатов

Отчего же возникают такие зависимости, в чем причина. Чтобы лучше разобраться в этом вопросе, проведем опыт.

Опыт.

Я взяла произвольный  прямоугольник. Измерила его длину, ширину, площадь и периметр, результаты измерений занесла в таблицу №4

 (1 строка).

Теперь разрезала фигуру повдоль пополам и составила новую фигуру

Таблица №4

-------

|  |  |                    

|  |  |

|  |  |

-------

----

|  |

|  |

|  |

----

|  |

|  |

|  |

----

Количество квадратиков не изменилось. Наблюдаем, что происходит со сторонами прямоугольника, когда периметр увеличивается.

У  фигуры появились  дополнительные стороны,  которые стали границами, это дополнительные 20 см, и исчезла граница 5+5=10см. Итого 20-10=10 см. Вот и дополнительные 10 см.  Периметр увеличится.

7. Основные выводы.

1. Итак, при наименьшем периметре  самая выгодная площадь у квадрата. Замечательное свойство квадрата, заключать в своих границах наибольшую площадь при постоянном периметре.
2.  Не всегда увеличение площади означает, что периметр тоже увеличивается.  При одинаковом периметре и площади бывают разные!
3.  Чем больше сторон, тем больше периметр подтверждается.

8. Практические задачи.

Задача 1. Периметр квадрата увеличили на 40, затем периметр полученного квадрата уменьшили на 40. У какого из квадратов площадь наименьшая

Ответ. Чем больше периметр квадрата, тем больше его площадь. 40 от периметра второго квадрата больше, чем 40 от периметра первого. Значит, наименьший периметр, а тогда и наименьшая площадь у третьего квадрата.

Задача 2. Мы разместили 15 дисков как показано на диаграмме. Периметр каждого диска равен 12 см.Чему равен внешний периметр этой фигуры?

Ответ. Задача интересная и для меня была трудная. Я сделала так. Сложила все половинки, их 9, значит периметр-54.Остались 3 угловых круга. Если соединить их центры линиями , то получится равносторонний треугольник. Сумма углов треугольника 180 градусов, (это половинка периметра диска).

т.е. 12х3-6=20. Так как я взяла 3 круга, то осталось 3 круга минус одна половинка, весь периметр равен 54+30-84

Задача 3. Человек прикинул в уме, что он может выложить пол комнаты, имеющей квадратную форму, квадратной плиткой, и что ему не понадобится ни одну из них разрезать. Сначала рн положил плитки по краям комнаты и на это у него ушло 56 плиток.

Найдите, сколько всего ему надо иметь плиток, чтобы покрыть весь пол? Чему равна сумма цифр этого числа.

Ответ. Я из 56 вычла 4 угловые плитки, потом разделила 52 на4, получила плитки в одном ряду плюс 2 угловые, получилось 15, умножила на 15,получилось 225,сумма цифр 9.

Задача 4. Начертите какой-нибудь небольшой квадрат. Как надо изменить его стороны, чтобы построить квадрат, площадь которого была бы: 1)вчетверо больше? 2) в 9 раз больше? 3) в 16 раз больше?

 Проверьте решение построением.

Ответ:

1) Стороны увеличить в 2 раза

2) Стороны увеличить в 3 раза

3) Стороны увеличить в 4 раза

Задача 5. Из 22 спичек сложить прямоугольник наибольшей площади.(Спички не ломать!) Так - как мне известно, что при постоянном периметре наибольшую площадь заключает в себе квадрат, но квадрата не получится, так как 22 не делится нацело на 4. а также при постоянном периметре площадь тем больше, чем меньше разница между сторонами, то наименьшая  разница получится в случае когда стороны будут  равны 5 см, 5 см. и 6 см , 6 см.

Задача 6.  (Из книги Я. И. Перельмана) «Занимательная геометрия)

   Из рассказа Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно?»

Ответ.

 Переведем задачу на математический язык. С точки зрения математики  путь Пахома – это  периметр. Путь, то есть периметр, должен быть как можно меньше, а площадь как можно больше, но возможно ли такое?

За день Пахом может пройти определенное расстояние, ни  больше, ни меньше, задача - охватить этим расстоянием как можно больше площади.

Математическая  постановка вопроса

Как наименьшим периметром обойти площадь. Что за фигура, получится при обходе?

Пахому надо было  идти по квадрату.  Ему бы пригодились знания, полученные в результате наших исследований. Кстати, не имея верной стратегии обхода Пахом старался отхватить как можно больше площади и переоценил свои силы, в финале рассказа он падает без сил и погибает.

Задача 6. Задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона, спасаясь от своего брата, тирана Пигмалиона, отплыла из родного города Тира с небольшим отрядом своих сторонников. Было это, если верить легенде, около 825 года до нашей эры. Долго плыли царевна и ее спутники по Средиземному морю, пока не пристали к берегу Африки. Жили в тех местах нулидийцы. Пришельцы им были совершенно ни к чему. Но Дидоне некуда было деться, место ей понравилось, и царевна стала упрашивать нулидийского царя Ярба продать ей немного земли. Желая, видимо, отделаться от назойливой финикиянки, Ярб заломил баснословную цену за клочок земли, который можно окружить одной бычьей шкурой. К его удивлению и разочарованию, Дидона приняла это издевательское предложение, расплатилась и отправилась отмерить свою землю. Только она не стала расстилать шкуру на берегу. Как она это сделала?

Ответ. От учителя я слышала рассказ про Древнюю царицу Дидону, которая спасаясь от преследований своего родственника попросили убежища у Древнего царя. Она попросила совсем немного Земли, столько, сколько сможет охватит бычья шкура, но в отличии от Пахома, царевна была прекрасно знакома с математикой, поэтому она перехитрила Царя, разрезав шкуру быка на тонкие полоски и охватила полученным периметром столько Земли, что позволило ей организовать на ней свое царство.

Я попыталась примерно подсчитать, сколько же Земли могла охватить Дидона. Может быть древняя легенда, всего лишь красивый вымысел? Используя ресурсы Сети Интернет, я узнала, что шкура крупного быка  может достигать площади 4, 5 м 2. Одна полоска представляет из себя прямоугольник. Представим себе, что все полоски положили последовательно друг за другом, и так как шкура  довольно прочна, попробуем взять ширину полоски 1 мм. Это я, считаю минимальная ширина, конечно на самом деле ширина, скорее всего, не менее 3мм, иначе полоски будут рваться. Получили прямоугольник, ширина которого 1мм. Подсчитаем длину. Если первоначально шкура имеет форму прямоугольника со сторонами 1500мм на 3000мм, тогда у нас будет 1500 полосок шириной 1мм, и общей длиной 1500х3000=4500000 мм=4500 метров

А теперь обратимся к древним источникам, в них говорится, что царевна смогла охватить 22 стадии, я узнала, что 1 стадия ~ 200 метров.

22* 200 =4400 метров!

Древняя легенда находит свое подтверждение! Мои расчеты с точностью до 100 метров совпали с историческими данными!Так как из проведенных выше исследований мне понятно, что при  постоянном периметре самая выгодная площадь у квадрата, высчитаем сторону квадрата при периметре 4400 метров.

 Данный периметр может охватить площадь примерно 1100мх1100м=1210000м2= 121 га вполне достаточная площадь земельного участка для  города древности!

9. Подготовка к презентации

Для написания опыта были использованы возможности текстового редактора Word. Итоговый материал представлен в виде презентации, выполненной в редакторе Power Point.

10. Литература и Интернет - источники:

http://www.develop-kinder.com/client/forumsuhoi/index.html

Я. И. Перельман, «Занимательная геометрия», Изд.: Терра-Книжный клуб (2008), 384 стр..