Исследовательская работа "Союз математики и эстетики"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов № 5  

города Котельнича

Союз математики

и эстетики

Работу выполнила:

Банникова Елизавета

Андреевна

ученица

8 «в» класса

Руководитель:

Земцова Екатерина

Геннадьевна

учитель первой

категории

                                                2012 год

Содержание

Введение.......................................................................................................................3

I. Математика и эстетика...........................................................................................  5

        1.1. Становление математики и эстетики….......................................................  5

        1.2. Открытия Пифагора как часть развития эстетической математики ……  6

      1.3. Последователи Пифагора............................................................................    8

II. Математика и эстетика на современном этапе...................................................  12

       2.1. Принципы симметрии.................................................................................   12

       2.2. Синергетика - трансдисциплинарная наука...............................................  14

       2.3. Теоретико-информационный подход.........................................................  14

Заключение..................................................................................................................  18

Литература и источники информации……………………………………………… 19

Приложение................................................................................................................... 20

Введение

Союз математики и эстетики заявил о себе задолго до появления и математики, и эстетики. Многочисленные образцы древних орнаментов, разбросанные по всему миру, являются свидетельством данного факта. Безупречная математическая симметрия неолитических орнаментов, равно как и их чарующая эстетическая привлекательность не оставляют сомнений в том, что математика и эстетика шли рука об руку уже с доисторических времен. Не случайно неолитическими орнаментами начинаются и книги по истории математики, и энциклопедии по истории искусств.

В эпоху древних цивилизаций  ни математики, ни эстетики еще не существовало. Но поистине удивительно, что рождение математики и эстетики отмечено бесспорными признаками видимой фазы их союза.

Например, египетские пирамиды входят в семь чудес света. Сорок веков они поражают нас, вызывая трепетное ощущение величия, вечности,  мудрости, покоя и красоты. Но не только молчаливое величие, но и совершенство формы привлекает нас в пирамидах.

Еще один пример, Тадж-Махал. Красота мавзолея, полностью построенного из белого мрамора, просто завораживает. Архитектура мавзолея соответствует арабской концепции абсолютной симметрии.

Прочувствованы путем сердца или рассчитаны путем мысли эти великие сооружения? Случайны или необходимы сокрытые в них важнейшие математические константы?

Меня заинтересовал эти вопросы, и я решила найти на него ответ.

Актуальность работы обусловлена интеграционными процессами в науке.  Математике всегда отводилось особое место: начиная с античности, с ней связывался идеал научной истины, понятия математики служили основой для развития других наук и закладывались как принципы искусства. При рассмотрении эстетики в математике необходимо учитывать значимость эстетического взгляда для развития математического знания в целом. На протяжении исторического развития, математическое знание трактовалось как «божественное знание», как чистая деятельность мышления, как строгое и беспристрастное выведение заключений из аксиом и т. д. Математика представляет собой творение человеческого духа, и как один из феноменов культуры подвержена действию эстетических факторов.

Цель работы: изучение взаимосвязи математики и эстетики.

Задачи:

1. Рассмотреть становление математики и эстетики;
2. Обозначить открытия Пифагора, явившееся частью развитие эстетической математики;
3. Определить взаимосвязь математики и эстетики на современном этапе.

Объект исследования: математика и эстетика.

Предмет исследования: математическая симметрия и эстетическая привлекательность.

Гипотеза: если изучить происхождение математики и эстетики, свойства, их определяющие, можно обнаружить их взаимосвязь.

Информационной базой для написания исследовательской работы послужили труды отечественных и зарубежных ученых и практиков, статьи периодических изданий.

Методы исследования - изучение и использование научно-публицистических и учебных изданий, метод сопоставления, аналитический метод.

Опыт исследователя: над данной темой я работаю первый год.

 Практическая значимость:

• Теоретическая основа построения композиции в изобразительном искусстве;
• Дополнительный материал к урокам математики и МХК.

                                                    I. Математика и эстетика 

1.1. Становление математики и эстетики

О времени и причинах рождения математики высказывается известный историк математики Д.Стройк: «Современная математика родилась в этой атмосфере ионийского рационализма — математика, которая ставила не только восточный вопрос «как?», но и современный вопрос «почему?» И хотя античная традиция «отцом геометрии» называет милетского философа Фалеса, сегодня мы можем уверенно утверждать, что математика как дедуктивная наука началась с самосского мудреца Пифагора (ок. 570 - ок. 500 до н.э.). Заметим, что другой «науки», кроме математики, античность и не знала.

Рождение эстетики в принципе справедливо отнести к этому же времени - VI -V вв. до н.э., хотя с эстетикой дело обстоит несколько сложнее. Формально днем рождения эстетики считается 1735 г. - год, когда двадцатилетний Александр Баумгартен защитил на латыни свою магистерскую диссертацию. Следуя учению Лейбница о трех основных духовных ипостасях человека - разуме, воле и чувстве, Баумгартен заметил, что должны существовать и три ветви философии, изучающие их. Науки о законах движения разума (логика) и нравственных установках воли (этика) заложил еще Аристотель. А вот науку о законах чувственного познания - теорию чувствовании - основал Баумгартен и назвал ее эстетикой (греч.  - чувствующий). Естественно, что «чувство прекрасного» - осмысление особого ценностного качества «первой» и «второй» природы, именуемого красотой, становится главным предметом эстетики. Поэтому вслед за Гегелем, сказавшим, что предметом эстетики является «обширное царство прекрасного», эстетику часто называют философией красоты или философией искусства как главного вместилища красоты.

Сегодня принято различать два периода существования эстетики - «неявный» и «явный» или имплицитный и эксплицитный. В «Эстетике» В.В.Бычкова мы читаем: «С первыми следами значимого осознания эстетического опыта мы встречаемся у пифагорейцев - учеников и последователей Пифагора».

Таким образом, мнение исследователей едино: математика и эстетика начинаются с Пифагора. Но еще более замечательным является то, что с самого начала своего пути математика и эстетика заявили о своем явном «эксплицитном» союзе.

1.2. Открытия Пифагора как часть развития эстетической математики        

Согласно античной традиции, сам Пифагор установил, что две струны издают благозвучное гармоничное созвучие (консонанс) лишь в случае, когда их длины относятся как целые числа первой четверки: 1 : 2 (октава), 2 : 3 (квинта) и 3 : 4 (кварта). Это открытие было названо законом консонансов.

Закон консонансов впервые облекал в математическую форму физическое явление - звучание струны. Он впервые указывал на существование числовых закономерностей в природе и послужил отправной точкой в развитии пифагорейской философии. Недаром день, когда Пифагор открыл закон консонансов, немецкий физик А.Зоммерфельд назвал днем рождения математической физики. Закон консонансов также впервые открывал эвристические свойства математики и служил первым убедительным свидетельством красоты и гармонии мироздания, мудрой простоты и целесообразности природы, построенной на единых математических принципах.

Но закон консонансов стал и выдающимся законом эстетики. Он впервые указывал, что гармония, красота, благозвучие также определяются числом. Причем не просто числом, а простейшей четверкой натуральных чисел 1,2,3,4, которая была названа пифагорейцами четверицей — тетрактис - и почиталась ими как божественное откровение. Так что день открытия Пифагором закона консонансов с полным правом можно назвать и днем рождения экспериментальной эстетики. Знание математических законов строения консонансов открывало дорогу к построению музыкальной шкалы - пифагоровой гаммы - и всей пифагорейской теории музыки.

Однако величие Пифагора состояло не только в том, что он открыл закон консонансов, но и сумел оценить его подлинное мировоззренческое значение. Не только «земная» музыка есть гармония и число, но и все мироздание имеет прекрасное, простое и ясное математическое устройство, весь мир есть гармония и число. Так пифагорейцы пришли к своему знаменитому принципу: все есть число. Так мироздание получило имя космос, что по-гречески означает порядок и прекрасное устройство.

Математико-эстетический тезис Пифагора о гармоничном и математическом устройстве мироздания имеет непреходящее значение. Идеи Пифагора вскоре были подхвачены Платоном и сформулированы им в виде важнейшего методологического принципа науки - принципа математизации науки.  

Но не менее значимой и непреходящей является и эстетическая сторона идей Пифагора о гармонии мироздания. Мысль о красоте, простоте и гармонии мироздания проходит путеводной нитью по всей истории науки. Не случайно великий физик современности Альберт Эйнштейн писал: «Без веры во внутреннюю гармонию нашего мира не могло бы быть никакой науки. Эта вера есть и всегда останется основным мотивом всякого научного творчества».

Вторым математико-эстетическим открытием Пифагора является нахождение золотых пропорций в пентаграмме. Прямых свидетельств о том, что пифагорейцы открыли золотые пропорции в пентаграмме, нет. Однако косвенных указаний достаточно.

Во-первых, пифагорейцы боготворили пентаграмму и выбрали ее в качестве символа приветствия, пожелания здравствования и тайного опознавательного знака. Во-вторых, пентаграмма обладает всеми видами «древних средних», известных пифагорейцам, - это арифметическое, геометрическое и гармоническое среднее - и есть основания считать, что пифагорейцы знали это. В-третьих, - и это самое главное - любые два соседних отрезка пентаграммы относятся в золотой пропорции или, как говорили греки, в крайнем и среднем отношениях.

Рассмотрение в пентаграмме любой пары подобных треугольников с отношением сходственных сторон

приводит к квадратному уравнению

х2 = а(а - х),

которое пифагорейцы легко решали методом «приложения площадей». Решение последнего уравнения и дает

или число φ,                               которое сегодня благодаря Леонардо да Винчи мы называем коэффициентом золотого сечения.

Способы построения правильного пятиугольника (а значит, и пентаграммы) и деления отрезка прямой в крайнем и среднем отношениях как строго научные факты известны сегодня из «Начал» Евклида (кн. IV, пр. 11 и кн. VI, пр. 30 соответственно). Хотя Евклид и жил на 200 лет позже Пифагора, все историки математики единодушны в том, что эти знания восходят к школе Пифагора.

1.3. Последователи Пифагора

По всей вероятности от пифагорейцев золотые пропорции пентаграммы перешли и в греческое искусство. Известно, что прославленный скульптор V в. до н.э. Поликлет, тесно связанный с пифагорейцами, написал теоретический трактат о числовых пропорциях в скульптуре и создал статую «Дорифор» как практическое воплощение своей теории. Трактат Поликлета не сохранился, но «Дорифор», именуемый также «Канон», дошел до нас в римских копиях.

Тщательные измерения «Канона» показывают, что единственным правилом, заложенным в нем, могут быть пропорции золотого сечения, а не известные античные системы модульного пропорционирования. Но пропорции золотого сечения присущи даже человеку, как, впрочем, и большинству живых форм на Земле. На связь золотых пропорций пентаграммы и золотых пропорций человека указывает следующее. Древние знали, что человек с максимально раскинутыми руками и ногами вписывается в окружность с центром в пупе человека, при этом сам человек становится очень похож на пентаграмму. В то же время пуп человека является и ключевой точкой в построении золотых пропорций человека. «Это весьма немаловажное обстоятельство способно наводить на большие размышления, - пишет выдающийся знаток античности А.Ф.Лосев - и хотя точных данных к такому пониманию числовой природы канона Поликлета не имеется, все же вероятность его огромна и эстетическая значимость его почти очевидна». Так что знаменитый витрувианский человек Леонардо из галереи Академии Венеции восходит не только к Витрувию, но, возможно, и к Поликлету и даже самому Пифагору.

Ученик Платона Аристотель в «Метафизике» пишет: «...заблуждаются те, кто утверждает, что математика ничего не говорит о прекрасном или благом. На самом же деле она говорит прежде всего о нем и выявляет его. Ведь если она не называет его по имени, а выявляет его свойства и отношения, то это не значит, что она не говорит о нем. А важнейшие виды прекрасного - это слаженность, соразмерность и определенность, математика больше всего и выявляет именно их».

Хотя средневековье и в религии, и в искусстве явилось антиподом античности, оно продолжило пифагорейскую традицию в онтологии красоты. И на рассвете средневековья один из отцов церкви Блаженный Августин в трактате «О музыке» выступил последовательным пифагорейцем во взглядах на природу красоты: «Число лежит в основе всякого восприятия красоты. Только в том случае, когда само ощущение удовольствия преисполнено определенных чисел, оно способно одобрять равные интервалы и отвергать беспорядочные». И через 1000 лет, на закате средневековья, «последний схоласт» Фома Аквиант в «Сумме теологии» писал: «Красота заключается в должной пропорции: ведь ощущение наслаждается вещами, обладающими должной пропорцией, как ему подобными, поскольку и ощущение есть некое разумение, как и всякая познавательная способность вообще». Заметим, что в утверждении «ощущение есть некое разумение» Фома зорко разглядывает неразрывность правополушарного и левополушарного способов познания действительности.

Эпоха Возрождения, провозгласившая себя духовным преемником античности, возродила пифагорейский союз математики и эстетики. С наибольшей ясностью это сделал первый в череде универсальных гениев Возрождения Леон Баттиста Альберти: «Красота есть строгая соразмеренная гармония всех частей, объединяемых тем, чему они принадлежат, - такая, что ни прибавить, ни убавить, ни изменить ничего нельзя, не сделав хуже. Великая это и божественная вещь, осуществление которой требует всех сил искусства и дарования, и редко когда даже самой природе дано произвести на свет что-нибудь вполне законченное и во всех отношениях совершенное...»

В 1202 г. итальянский купец Леонардо Пизанский более известный по прозвищу Фибоначчи в «Книге об абаке» впервые смоделировал и решил задачу о развитии популяции кроликов. Рост популяции кроликов описывается знаменитым рядом Фибоначчи, который строится по рекуррентной формуле :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

Легко заметить, что отношения первых чисел ряда Фибоначчи 1:1, 2:1, 3:2, 5:3, 8:5 есть не что иное, как числовые значения важнейших консонансов примы, октавы, квинты, большой сексты (обращение малой терции 6:5) и малой сексты (обращение большой терции 5:4) соответственно. Также можно обнаружить, что чем больше номер п в отношении двух соседних чисел Фибоначчи, тем ближе это отношение к коэффициенту золотого сечения. Наконец, с помощью разложения числа Ф в цепную дробь получим, что

Так было установлено единство между важнейшими эстетически значимыми пропорциями.

Еще через 300 лет в 1509 г. францисканский монах Лука Пачоли в трактате «Divina Proportione» назвал деление отрезка в крайнем и среднем отношении Sectio divina - божественной пропорцией. Пачоли рассмотрел тринадцать свойств божественной пропорции, называя их эпитетами самых превосходных степеней, и по существу провозгласил божественную пропорцию непререкаемым каноном красоты. Друг Пачоли Леонардо да Винчи сделал 60 рисунков к трактату, что в немалой степени способствовало успеху трактата, хотя и предпочитал называть пифагорейскую пропорцию Sectio aurea - золотое сечение.

И еще через 300 лет, в середине XIX в., с выходом в свет труда А.Цейзинга «Новое учение о пропорциях человеческого тела», золотое сечение предстало как основной морфологический закон природы и искусства. Эстетико-математическая система Цейзинга может быть сведена к трем основным положениям: золотое сечение господствует в искусстве; золотое сечение господствует в природе; золотое сечение господствует в искусстве именно потому, что оно господствует в природе. Так по прошествии двух тысячелетий вновь зазвучал Аристотелев тезис о подражании искусства природе.

Итак, Пифагор и его последователи определили основы взаимосвязи эстетического и математического. Открытие золотого сечения и его пропорций позволило утверждать о существовании эстетической математики.

II. Математика и эстетика на современном этапе

Естественно, что XX в., который помимо прочих определений может быть назван и веком математизации науки, принес немало доказательств союза математики и эстетики. К числу фундаментальных принципов, на которых строится этот союз, следует отнести принцип симметрии. Если эстетическая мощь симметрии была использована, начиная с эпохи неолита, то сам принцип симметрии был обозначен только в XX в. Именно в XX в. стало понятно, что принцип симметрии фактически лежит в основе всего мироздания.

2.1. Принцип симметрии

Математический аппарат рационального осмысления симметрии был заложен Эваристом Галуа 30 мая 1832 г. в ночь перед дуэлью, на которой он был убит в возрасте 21 года. Но только по прошествии без малого 100 лет теория групп Галуа становится мощным инструментом анализа свойств симметрии. В 1918 г. Эмми Нётер доказала знаменитую теорему о соответствии каждому виду симметрии своего закона сохранения. В середине XX в. американские физики Цзундао Ли и Чженьнин Янг (1958), а затем Юджин Вигнер (1963) получили Нобелевские премии за открытие фундаментальных законов симметрии атомного ядра. В это же время Джеймс Уотсон, Фрэнсис Крик и Морис Уилкинсон (1962) получили Нобелевскую премию за установление молекулярной структуры нуклеиновых кислот - открытие знаменитой симметричной структуры двойной спирали молекулы ДНК. И в это же время с помощью мощных телескопов были открыты спиральные галактики, так что спиральная симметрия стала известна повсюду - от микро- до макрокосмоса. В конце XX в. С.В.Петуховым законы симметрии были обнаружены в структуре генетического кода. Симметрия стала пониматься как важнейший закон гармонии мироздания.

Таким образом, к концу XX в. в полной мере сбылись пророческие слова В.И.Вернадского, сказанные им в 20-е гг. XX в.: «Принцип симметрии в XX в. охватил и охватывает все новые области. Из области материи он проник в область энергии, из области кристаллографии, физики твердого вещества он вошел в область химии, в область молекулярных процессов и в физику атома. Нет сомнения, что его проявления мы найдем в еще более далеком от окружающих нас комплексов мире электрона и ему подчинены будут явления квантов.

Симметрия стала важнейшим компонентом всей научной культуры. Не меньшую роль идея симметрии играет и во всей истории художественной культуры. Как отмечал выдающийся математик XX в. Герман Вейль, «симметрия... является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Постичь порядок и красоту мироздания - это путь идеи симметрии в науке. Создать красоту и совершенство - это смысл жизни идеи симметрии в искусстве.

Таким образом, идея симметрии для человека носит архетипический характер. От «видимой глазом» природной симметрии до «видимой разумом» научной концепции - таков путь идеи симметрии в культуре. Именно архетип симметрии переформирует в сознании человека идею гармонии мироздания, которое именно по этой причине и было названо древними греками космосом.

Космология вообще взросла на почве идеи симметрии. Идея симметрии, как способ достижения гармонии и совершенства, привела Пифагора к верной гипотезе о шарообразности Земли и круговых траекториях планетных орбит, так как только шар и окружность обладают центральной симметрией бесконечного порядка, т.е. в высшей степени совершенны. Так же и Платон только из эстетических соображений, т.е. из соображений симметрии, объявил атомы четырех стихий правильными многогранниками и по существу предвосхитил законы симметрии микромира. По-видимому, то же триединство гармонии - симметрии - совершенства подсказало Резерфорду планетарную модель атома. Таким образом, на всех этапах развития научной культуры эстетическое содержание симметрии придавало этой идее и мощный эвристический потенциал.

2.2. Синергетика – трансдисциплинарная наука

Конец XX века знаменовался стремительным взлетом новой трансдисциплинарной науки, названной синергетикой. Важной особенностью синергетики с самого ее зарождения выступила универсальность, установление удивительных аналогий в поведении различных систем, изучаемых различными науками. Это свойство синергетики отмечал ее основатель Г.Хакен: «В течение длительного времени казалось, что в науке появляется все большее и большее количество дисциплин и что вообще не существует объединяющего принципа. Однако в последние два десятилетия эта тенденция изменилась. Предпринимается ряд попыток навести мосты между различными науками. Синергетику можно рассматривать как один из таких мостов»

В синергетике происходит стирание границы между наукой и искусством, между естественными и гуманитарными науками, между поведением человека и природы. Именно синергетика открывает новый союз математики и эстетики.

Очень поэтично (что характерно для больших ученых и еще раз указывает на союз эстетики и математики) говорит об этом сам Пригожин: «Ученые поняли, что идеализированные ситуации не преподнесут им универсальной отмычки; точные науки вновь, наконец, должны стать естествознанием со всем богатством его оттенков, о чем сегодня просто забыть. Отныне перед исследователями стоит проблема, которая прежде считалась прерогативой гуманитарных наук,  - проблема необходимого диалога со всем предшествующим знанием по каждому вопросу и предмету». И далее: «Любая наука становится ныне наукой гуманитарной, наукой, созданной людьми для людей. Она находится сейчас в состоянии поэтического подслушивания природы».

2.3. Теоретико-информационный подход

И еще одно направление становится сегодня основой союза математики и эстетики. В середине XX в. возникает еще одна математическая концепция, связанная с именами Н.Винера, Дж.фон Неймана, К.Шеннона и др., которая вводит в рассмотрение новую координату – информацию. Без теории информации немыслима современная компьютерная культура. Но теория информации позволяет сделать и важный шаг на пути сближения научно-технической и гуманитарно-художественной культур. Источником информации в науке является внешний мир и его наблюдение ученым; источником информации в искусстве является внутренний мир и фантазия художника.

Теоретико-информационный подход к изучению культуры и искусства сегодня успегно развивается в работах Г.А.Голицына, В.М.Петрова, В.П.Рыжова и уже позволил авторам получить ряд новых нетривиальных и конструктивных результатов. Укажем на некоторые из них.

Принцип максимума информации, который Г.Голицын и В.Петров выдвигают в качестве основного постулата своей теории, позволил В.Петрову объяснить знаменитые опыты Г.Фехнера об эстетическом предпочтении человеком формата золотого сечения, то есть прямоугольника с отношением сторон 1,618. С этих опытов в конце 19 в. началась экспериментальная эстетика. Но в опытах Фехнера испытуемым предлагались «чистые» формы – равномерно окрашенные прямоугольники, не несущие никакой информации, кроме отношения сторон. Если же прямоугольник становится картиной, то художники отдают эстетические предпочтения совсем иным формат с отношением сторон ≈ 1,3. теоретико-информационный подход позволил В.Петрову объяснить и этот феномен.

Г.Голицын отводит принципу максимума информации главенствующую роль вариационного принципа – единственного принципа, из которого выводится вся теория, все законы теории, все основополагающие константы теории и т.д. В качестве первого шага Голицын выводит из принципа максимума информации важнейшие эстетические константы – коэффициент золотого сечения и основные консонансы музыкальных тонов. Таким образом, впервые в своей двухтысячелетней истории закон золотого сечения выводится не индуктивным (эмпирическим) путем, а дедуктивным (теоретическим) способом. В терминах теории информации закон золотого сечения получает обобщенную трактовку, а именно: отношение золотого сечения доставляет наблюдателю максимум информации при минимуме затрачиваемых ресурсов.

Следует заметить что после эпохи Ренессанса, Пачоли и Леонардо, XX век можно назвать веком «постнеклассического ренессанса» золотого сечения. В ХХ в. закон золотого сечения получает огромное число поразительных эмпирических доказательств и приложений в самых различных областях знания.

Например, в 1974 г. оксфордский астрофизик и математик Роджер Пенроуз изобрел способ квазипериодического покрытия плоскости с помощью двух типов ромбов, имеющих пропорции золотого сечения: «толстого» ромба со сторонами 1 и большой диагональю Ф и «тонкого» ромба со сторонами 1 и малой диагональную . Покрытие Пенроуза образует изящную квазипериодическую структуру, тяготяющую к пентагональной симметрии. При больших площадях покрытия отношение «толстых» и «тонких» ромбов стремится к числу Ф. Разумеется, и «толстые» и «тонкие» ромбы как фигуры с пропорциями золотого сечения содержатся в пифагорейской пентаграмме.

Позже японский физик Ясунари Ватанаба предложил компьютерный алгоритм по раскраске решеток Пенроуза и, выбирая различные гаммы цветов, создал изящный календарь из 12 месяцев года – прекрасный образец соединения математики и эстетики. Свой календарь Ватанаба демонстрировал в 1996 г. на Международной конференции «Математика и искусство» в г.Суздале.

В 1976 г. Роббер Амман обобщил двумерную задачу Пенроуза на трехмерный случай и нашел трехмерные квазипериодические покрытия пространства «толстыми» и «тонкими» ромбоэдрами. Однако и двумерные, и трехмерные квазипериодические покрытия, по признанию самого астрофизика Пенроуза, оставались не более чем математическими развлечениями, изящной игрой эстетствующего ума математиков.

Каково же было изумление и Пенроуза, и Аммана, и всей научной общественности, когда через 10 лет, в 1984 г., израильский материаловед Дан Шехтман открыл квазипериодические структуры, очень похожие на решетки Пенроуза-Амманна в аллюминиево-марганцевом сплаве. Эти структуры, названные квазикристаллами, представляли собой непериодические структуры, основанные на пентагональной и икосаэдрической симметрии, и в силу этого были пронизаны пропорциями золотого сечения по все направлениям. Открытие Шехтмана буквально перевернуло современную кристаллографию, так как всегда считалось, что симметрия пятого порядка может встречаться только в живой природе и в мире кристаллов в принципе невозможна.

С тех пор как в 1754 г. швейцарский натуралист Шарль Бонне обнаружил, что расположение листьев на стебле описывается числами Фибоначчи, учение о филлотаксисе (листорасположении) стало едва ли не первой попыткой внедрения математических методов  биологии. За 250 лет истории филлотаксиса сделано немало открытий, хотя до сего времени нет теории, объясняющей, например, законы расположения семечек в розетке подсолнуха, причины возникновения в ней «левых» и «правых» спиралей, число которых равно двум соседним числам Фибоначчи (а отношение, следовательно, числу Ф) и т.д. Новым шагом в теории филлотаксиса стало открытие украинским ученым О.Боднаром закона преобразования спиральных биосимметрий, который является убедительным подтверждением гипотезы В.И.Вернадского о неевклидовом характере геометрии живой природы.

Симметрия в окружающем мире часто воспринимается как прекрасное, эстетическое. Она заложена в самом основании мироздания в микрокосмосе частицам противостоит их зеркальное отражение - античастицы. Симметрия -  фундаментальное свойство мироздания - повторяется и в листке дерева, и в строении тела животных и человека. Осваивая мир, люди сообразуют свою деятельность с его свойствами, выходя благодаря этой деятельности в сферу свободы. В ходе человеческой деятельности рождается красота как способность действительности стать объектом освоения и потому быть значимой для человечества и в результате освоения стать сферой свободы.

Таким образом, эстетическая роль математики состоит, в частности, в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, полезность, удовольствие и др.).

Заключение

Я согласна с мнением многих исследователей в том, математика и эстетика начинаются с Пифагора. С самого начала своего пути математика и эстетика заявили о своем явном «эксплицитном» союзе.

Пифагор и его последователи определили основы взаимосвязи эстетического и математического. Открытие золотого сечения и его пропорций позволило утверждать о существовании эстетической математики.

Эстетическая роль математики состоит, в частности, в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами  такими как красота, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, полезность и другие.

Математизация сфер общества – характерная черта нашей эпохи. Математика широко используется как в традиционных областях, но и в нетрадиционных областях (история, лингвистика, психология, социология и др.). Математизация - существенный фактор наведения и укрепления междисциплинарных связей, решения междисциплинарных проблем, проникновения не только в количественно отражаемую сущность таких явлений, но и в их качественную сущность.

Таким образом, выдвинутая мной гипотеза о взаимосвязи  и союзе математики и эстетики нашла свое подтверждение в ходе исследования.

Литература и источники информации

Приложение