Математика в литературе

Математика в литературе

Введение
«Гуманитарные науки... только тогда будут удовлетворять человеческую мысль, когда в движении своём они встретятся с точными науками и пойдут с ними рядом... «
                                                                                       А. П. Чехов  
Литература и математика - что может объединять эти далекие друг от друга области знаний? Литературу, с ее интересом к духовному миру человека, поисками нравственных ценностей, смысла жизни, и математику, предпочитающую строгий научный подход и абстрактную форму интуиции. Литература ищет гармонию между человеческой душой и природой. Математика же создала адекватные методы математического описания зна¬ков природы. Это замечательное свойство делает математику универсальным инструментом для всех естественных наук.
Гипотеза: перефразируя знаменитые слова Софьи Васильевны Ковалевской, что каждый математик должен быть немного поэтом в душе, в своей работе мы попытаемся показать, что в некоторых литературных произведениях присутствует математическая логика, строгие научные рассуждения, но встречаются и математически неправильно решенные жизненные задачи.
Актуальность выбранной темы - увидеть за словом число, за сюжетом - формулу и доказать, что художественная литература существует не только для литераторов, как и математика не только для математиков.
Цель исследования - поиск математических задач в художественной литературе. По возможности их решение и объяснение.
Задачи исследования:
вызвать интерес к изучению предмета «математика» у учащихся , имеющих гуманитарный склад ума;
изучение научно-популярной, занимательной русской литера¬туры;
подбор художественной литературы для исследования;
решение задач и оценка полученных результатов;
Методы исследования: анализ научно-популярной и художественной литературы, анализ и решение, сравнение результатов с реальной действительностью.
1. Задача о догадливой вороне
Недавно я прочитала забавный рассказ Л.Н.Толстого о догадливой вороне, основанный на старинной легенде. Этот старинный легенда повествует о вороне, страдавшей от жажды и нашедшей кувшин с водой.
Воды в кувшине было мало, клювом ее не достать, но ворона будто бы сообразила, как пособить горю: она стала кидать в кувшин камешки. В результате этой уловки уровень воды поднялся до краев кувшина, и ворона могла напиться.[13]
1.1 Теоретический способ решения задачи
Не обсуждая того, могла ли ворона проявить подобную сообразительность, я заинтересовалась этим случаем с геометрической стороны. Легенда дает повод рассмотреть следующую задачу:
Сколько воды должно было быть в кувшине первоначально, чтобы ворона могла напиться?
Я решила рассмотреть три случая:
Удалось ли бы вороне напиться, если вода в кувшине налита была меньше половины, до половины, больше половины?
Решение
Разбор задачи убеждает, что способ, примененный вороной, приводит к цели не при всяком первоначальном уровне воды в кувшине.
Ради упрощения примем, что кувшин имеет форму прямоугольной призмы, а камешки представляют собой шарики одинаковой величины. Легко сообразить, что вода поднимается над уровнем камешков лишь в том случае, если первоначальный запас воды имеет больший объем, чем все промежутки между камешками: тогда вода заполнит промежутки и выступит поверх камешков. Можно вычислить, какой объем занимают эти промежутки. Проще всего выполнить расчет при таком расположении каменных шариков, когда центр каждого лежит на одной отвесной прямой с центрами верхнего и нижнего шариков. Пусть диаметр шарика d и, следовательно, объем его
V1= 1/6 πd^3,
а объем описанного около него кубика
V2= d^3.
Разность их объемов: V1-V2 = d^3-1/6 πd^3
есть объем незаполненной части кубика, а отношение

(d^3-1/6 πd^3)/d^3 =(d^3 (1-π/6))/d^3 = 1-π/6 ≈ 0,48 (π≈3.14)
означает, что незаполненная часть каждого кубика составляет 0,48 его объема. Такую же долю составляет и сумма всех объемов пустот от объема кувшина. Таким образом, объемы пустот и шариков равны
( 0,48=0,48) и вода не выступает на поверхности.
Мало что изменяется, если кувшин имеет не форму параллелепипеда, а камешки нешарообразны.
Во всех случаях можно утверждать, что если первоначально вода в кувшине налита была, ниже половины, вороне не удалось бы набрасыванием камешков поднять воду до краев.
1.2 Экспериментальная часть
Я провела эксперимент: взял мерный цилиндр и камешки гравия.
Наливала в цилиндр воду, рассматривая все три случая.
Результаты измерений были занесены в таблицу.
Первоначальный уровень воды Объем воды до наполнения кувшина камнями, см3 Уровень воды после наполнения кувшина камнями,
ниже половины 40 Ниже камней
половина 50 Выше на 2см
выше половины 80 Выше на 5см
1.3 Выводы по эксперименту:
если вода стояла, ниже половины высоты кувшина или вода занимала половину высоты кувшина, - вороне не удалось бы напиться;
если вода стояла выше половины высоты кувшина, - ворона бы напилась.
Результаты эксперимента подтверждают теоретическое решение задачи.
Будь ворона посильнее, - настолько, чтобы утрясти камешки в кувшине и добиться их плотного сложения, - ей удалось бы поднять воду более чем в два раза выше первоначального уровня. Но ей это не под силу сделать.
Я проверила, если брать очень мелкие камни, то вода поднимается выше. В реальных условиях рыхлое расположение камешков допустимо. К тому же кувшины обычно раздуты в средней части; это должно так же уменьшить высоту подъема воды, и подкрепляет правильность вывода(от формы сосуда и высоты воды в кувшине зависит решение проблемы: смогла ли ворона напиться воды?).
Сказка о царе Салтане и тридцати трёх богатырях
На уроке литературы в 5 классе учитель задал нам необычный вопрос: докажите, что сказка о царе Салтане именно сказка, а не быль. Сама постановка задачи вызвала недоумение: никогда прежде на уроках литературы мы ничего не доказывали! Да, мы рассуждали, спорили, учились аргументировано отстаивать свое мнение, но доказывать... на уроках литературы... Нет, такого не было. Это же не математика!
А дальше было вот что. Допустим, сказал наш учитель, сказка о царе Салтане — это быль, и всякое высказывание в ней истинно. Рассмотрим, как корабельщики рассказывают царю Салтану про чудо - явления тридцати трех богатырей:
Каждый день идет там диво:
Море вздуется бурливо,
Закипит, подымет вой,
Хлынет на берег пустой,
Расплеснется в скором беге —
И останутся на бреге
Тридцать три богатыря,
В чешуе златой горя,
Все красавцы молодые,
Великаны удалые,
Все равны, как на подбор;
Старый дядька Черномор
С ними из моря выходит
И попарно их выводит,
Чтобы остров тот хранить
И дозором обходить.
... Итак, на берег из моря выходят 33 молодых богатыря и старый дядька Черномор, который выводит их парами, то есть по двое. Но 33 на 2 не делится, следовательно, поэтическое описание оказывается ложным, невозможным с точки зрения арифметики. Отсюда следует, что произ-ведение Александра Сергеевича Пушки¬на действительно является сказкой, что и требовалось доказать.
Неужели поэт ошибся? Получается так, что наш великий поэт допустил элементарную математическую ошибку и не заметил, что 33 нельзя раз делить нацело на 2? Нет, конечно. Почти шесть лет - с 19 октября 1811 года до 9 июня 1817 - Пушкин провел в Императорском Лицее, который принадлежал к числу учебных заведений с энциклопедической программой обучения и воспитания. Он давал общее высшее образование, приравненное к университетскому. Обучение в Лицее длилось шесть лет: первые три года - начальный курс - изучались предметы старших классов гимназии, три по¬следующих года - университетский (или окончательный) курс - предметы университета. В лицейском Уставе говорилось о равноправии гуманитарных и точных наук: «При вступлении воспитанников в курс окончательный науки нравственные, физиче¬ские и математические должны занимать первое место». Пройдет всего несколько лет, и много¬численные научно-технические открытия изменят представления о мире и вызовут огромный интерес к точным наукам. И по¬явятся гениальные пушкинские строки:
О сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух,
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг...[8]
О высоком качестве математического образования в лицее говорит следующий факт: Однажды в конце учебного года профессор Я.И.Карцов попросил своих учеников вычислить сумму 1 + 2 + 3 + ... + 10.
Кто быстро, кто не очень, но каждый получил ответ - 55. А теперь, - продолжил учитель, - перед некоторыми из этих десяти чисел поставьте знак минус так, чтобы полученная сумма равнялась нулю. Кто этого добьется, получит отличную оценку за год! Доподлинно неизвестно, чем закончилась эта история. Быть может, зада¬ча оказалась сложной для лицеистов -гуманитариев. Дело в том, что получить ноль таким образом невозможно, и ожидаемое учителем доказательство этого несомненно заслуживает пятерки.
Подобная задача двухсотлетней давности, «всплыла» в 2010 году на ЕНТ по математике.
Летом 1831 года, женившись, Пушкин проводил лето в Царском Селе и вновь посетил Лицей. Известно, что лицеистов в классе рассаживали в соответствии с успехами в учении: чем ниже успеваемость воспитанника, тем дальше от кафедры он должен был садиться. И вот тогда летом 31-го года один самый смелый воспитанник спросил поэта - за что учитель математики отправил его за самую последнюю парту? ! - Я не мог 33 разделить на 2! - улыбнулся поэт.
В это время, летом 31-го, Пушкин завершал работу над «Сказкой о Царе Салтане». В рукописях поэта сохранились две записи этого сюжета, относящиеся к 1822 и 1824 годам. Вернувшись из Лицея к своему письменному столу, поэт вновь вспомнил пору своего ученичества, вспомнил и эпизод с деле¬нием, всего-то на всего - одно число раз¬делить на другое. Но это деление у юного Александра никак не получалось. Это был именно тот день, когда учитель сказал ему: «Ступайте, Пушкин, на место! И продолжайте лучше сочинять свои стихи!..»
Историю о том неудавшемся делении и зашифровал поэт в рассказе о тридцати трех богатырях, выходящих из моря парами!...

Учёный кот Пушкина
А.С. Пушкин писал: «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии»[10].
Читая произведения Пушкина, мы находим применение геометрии. Кому не известны следующие пушкинские строки из поэмы «Руслан и Людмила».
У лукоморья дуб зеленый
Златая цепь на дубе том.
И днем и ночью кот ученый
Все ходит по цепи кругом. [10]
А задумываемся ли мы над тем, какую линию описывает кот при своем движении? На первый взгляд может показаться, при таком движении описывается окружность. Но это неверно. Ведь цепь все время наматывается или сматывается с дуба так, что она натянута и образует касательные к окружности ствола. Ее концы при этом описывают сложную геометрическую кривую. Так что кот не зря назван Пушкиным «Ученым»: он знаком с этой геометрической кривой.
Задача о «Гордом холме»
Существует старинная легенда восточных народов, рассказанная А.С.Пушкиным в Скупом рыцаре».
Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу,
И гордый холм возвысился – и царь
Мог с вышины с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли. [12]
Таким образом, можно сформулировать математическую модель данной задачи:
Какую высоту будет иметь куча песка, насыпанная горстями людей из древнего войска?
На какое расстояние увеличится дальность горизонта, если находится на вершине этого кургана?
По экспериментальным данным среднее значение одной горсти песка у одного взрослого мужчины может быть равным 156 см3.
№ Объем горсти песка, см3 Среднее значение, см3
1 190 156
2 148
3 152
4 134

Старинные армии были не так многочисленны, как современные. Рассмотрим большое войско, состоящее из 100 000 человек. Поэтому по моим расчетам объем такого холма мог быть:
V=156∙100000=15600000см3 = 15,6м3.
Высота холма при заданных условиях будет составлять высоту конуса. Угол откоса ≤ 450, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса максимальный в 450.
Если даже каждый воин принес не горсть земли, а пригоршню, то и тогда по результатам эксперимента её средний объем равен 284 см3.
№ Объем пригоршни песка, см3 Среднее значение, см3
1 290 284
2 210
3 325
4 310

А объем холма: V=284∙〖10〗^5= 28400000см3=28,4м3.
Высота такого холма немного отличается от предыдущего и будет:
H≈3,005м.
Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу высотой в 3 метра назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.
У великого полководца Атиллы было самое многочисленное войско, какое знал древний мир. Историки оценивают это войско в 700 000человек. Если бы эти воины участвовали в насыпании холма, то куча была бы выше. Объем такой кучи был бы в 7 раз больше рассчитанной, а высота холма превышала вычисленную высоту в ≈1,9 раза. Она равнялась бы 3 1,9 = 5,7 м. Наверное, курган таких размеров не удовлетворил бы честолюбие Атиллы.
А.С. Пушкин делает ошибку, говоря о далёком горизонте, открывающемся с вершины «гордого холма».
Полчища Атиллы не смогли воздвигнуть холм выше 5,7м. теперь можно завершить расчеты, определив, насколько холм этот расширял горизонт наблюдателя, поместившегося на его вершине.
Глаз такого зрителя возвышался бы над почвой на 5,7+1,5=7,2, т.е. на 7 метров, и следовательно, дальность горизонта была ровно бы 8,8 км. Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на ровной земле, а наблюдать море можно, если находишься на его берегу.
Это легенда, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Доказано геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».


5. Заключение
Приступая к исследованию, мы ставили перед со¬бой задачу вызвать интерес к изучению предмета «математика» у учащихся, имеющих гуманитарный склад ума.
Математика неисчерпаема и многогранна, одного покоряет ее логическая стройность, другого – абстрактный метод, третий ценит в ней величайшую полезность. Единство особенности математики – это так же ее особенность, которая составляет ее красоту.
В моей исследовательской работе раскрыты факты счастливого соединения художественного и математического таланта, наблюдаемого у некоторых людей. Читая художественные произведения, я встречала в них элементы математики.
Математика и литература, не так далеки друг от друга. Искусство и наука требуют фантазии, творческой смелости, зоркости и наблюдения различных явлений жизни. Литература учит нас понимать окружающий мир, математика – точно мыслить, соизмерять, оценивать этот мир.
Через поиск и решение математических задач в литературных произведениях и сравнение полученных решений с автор¬скими, мы, повторяя сказанное выше, хотели вызвать интерес к изучению математики.
Для этого:
- была изучена научная и научно-популярная литература, исследующая связь литературы и математики, представляющая решение задач в литературных произведениях;
- были подобраны для исследования отрывки из художественных произведений, в которых рас¬сматривались или были представлены различные математиче¬ские задачи или ситуации, связанные с этой наукой;
- выполнено решение подобранных задач;
- проведено сопоставление полученных в данном исследо¬вании решений задач с решениями, представленными авторами литературных произведений;
О заинтересованности нашим проектом говорит тот факт, что учащиеся средних классов сами стали находить и приносить нам математические задачи из произведений детской художественной литературы: «Алиса в стране чудес»Льюиса Кэрролла, «Старик Хоттабыч» Л.И. Лагина и др. А ученики старших классов проявили интерес потому, что некоторые задачи из художественных произведений в несколько изменённом виде встречаются в едином национальном тестировании (ЕНТ) по математике.
Если 2 из 100 человек, с которыми мы общались, перед которыми мы выступали с нашим исследованием, увидят в художественных произведениях математическую ситуацию, задачу, там где раньше никогда её не видели, не обращали на неё внимание, и хотя бы 1 человек из этих 2% попытается разобрать ситуацию, приступить к решению этой математической задачи, мы считаем, что наша работа, наше исследование, принесли огромную пользу, ибо они увидели за словом число, за сюжетом – формулу то есть цель нашей работы – достигнута.

Вывод

Подводя итог, можно с уверенностью сказать, что математика и литература – это вечные науки. С древнейших времен известно, что математика учит правильно и последовательно мыслить, логически рассуждать. Кто занимается математикой, тот развивает свой ум и внимание, воспитывает волю и настойчивость. А эти качества нужны всем без исключения: и врачу, и артисту, и художнику, и писателю. Не менее важна и литература, позволяющая человеку выражать свои мысли, чувства, эмоции. Только в тесной взаимосвязи этих наук человек будет чувствовать себя спокойно, уверенно, комфортно в этом огромном мире загадок.

Список литературы
А.Блок «Автобиография»
Гаусс Карл Фридрих. Сборник статей, М., 1956.
Гомер. Илиада. Песнь шестая
Депман И. Я. Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики М., «Просвещение» 1989 С. 191
Козлов С.Софья Васильевна Ковалевская: приложение «Математика» к газете «Первое сентября» [Текст] / - 2009. -№18.-С. 2-3.
Перельман, Я. И. Занимательная арифметика. [Текст] / Я. И. Перельман. - Русанова, 1994.
Перельман, Я. И. Занимательная геометрия [Текст] / Я. И. Перельман. Екатеринбург: Тезис, 1994. - 288 с.
Пушкин А.С. Сочинения в 3-х томах, Санкт-Петебург:Золотой век, Диамант,1997
Пуш¬кин А. С. Поли. собр. соч.: В 17 т. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1939-1959.
Пушкин А.С. Руслан и Людмила. М., 1993,с.12
Пушкин А. С. Сказка о царе Салта¬не
Пушкин А.С. Скупой рыцарь. Собр. Соч. Т. №3, М., 1969. – С. 353.
Л.Н.Толстой «Сказ о догадливой вороне».