Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №3 г. Волжского Волгоградской области»

Исследовательская работа по теме:

Дроби вокруг нас.

                                                             Выполнил: ученик 5в класса

Сигачев Александр                                                                                

                                                                                                       Руководитель: учитель математики

Савченко И.В.                              

Оглавление

Цель проекта:        

Задачи        

Проблемные вопросы        

Что же такое дробь?        

Как возникли дроби в математике?        

История возникновения обыкновенной дроби.        

Дроби в Древнем Риме        

Дроби в Древнем Египте        

Вавилонские шестидесятеричные дроби        

Нумерация и дроби в Древней Греции        

Дроби на Руси        

Дроби в других государствах древности        

Десятичные дроби        

Дроби и искусство.        

1) Дроби и музыка.        

2) Золотое сечение.        

Дроби в стихах и сказках.        

Сказка про десятичные дроби        

Сказка про дроби        

Применение дробей.        

География        

В строительстве.        

Ребусы        

Старинные задачи        

с применением обыкновенных дробей.        

1) Задача Эйлера.        

5) Задача из сборника «Вопросы и ответы» армянского учёного        

Анания  Ширакаци.        

ПОЛТАБУНА И ПОЛ-ЛОШАДИ        

Задача из "Арифметики" известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми        

Еще одна задача из "Папируса Ахмеса        

Староиндийская задача математика Сриддхары        

Задача армянского ученого Анания Ширакаци        

Задача о статуе Минервы.        

Задача об источниках Герона Александрийского (I в. до н.э.).        

Задача о Музах.        

Задача о школе Пифагора.        

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        

Цель проекта:

Изучение понятия «дробь», его многозначности  и применение   в окружающей нас жизни и в математике.

Задачи

1. узнать, где человек встречается с понятием «дробь» в жизни;
2. узнать историю возникновения дробей в математике;
3. выяснить необходимость использования математических дробей в повседневной жизни
4. Найти примеры использования дробей в литературе и искусстве .
5. Старинные задачи с дробями.
6. Занимательная страничка. Кроссворды, ребусы и т.д.

Основополагающий вопрос:

Может ли существовать человек без дробей?

Проблемные вопросы

• Что такое дробь?
• Как возникли дроби?
• Зачем нужны математические дроби?
• Дроби в нашей жизни.

Объект исследования – математика.

Предмет исследования – обыкновенные дроби.

Что же такое дробь?

В толковом словаре это слово имеет несколько значений.

1. собир. Мелкие свинцовые шарики для стрельбы из охотничьего ружья. Зарядить ружьё дробью. Стрелять мелкой дробью. Вложить в ружьё заряд дроби. ( слайд)
2. Частые, ритмически повторяющиеся звуки от ударов по чему-л. Д. дождя, града. Слышна сухая д. пишущих машинок. Барабанная д. Отбивать д. (о барабанщике). 

 Танцевальная дробь.  Весёлая д. чечётки. Выбивать д. (о чечёточнике). Слайд

Выбивать дробь зубами – стучать зубами (дрожа от холода, испуга и т. п.).

На флоте, команда «дробь!» — прекращение огня.

В доме  восемь дробь  1 жил высокий господин.

Номер через дробь ставят у домов, пронумерованных по двум пересекающимся улицам.  Слайд

3. Матем. Число, состоящее из частей единицы. Простые дроби. Десятичные дроби. Правильная, неправильная сложение, вычитание дробей.

Обыкновенная дробь  называется правильной, если её числитель меньше её знаменателя. Обыкновенная дробь называется неправильной, если её числитель больше её знаменателя.

Правильная дробь меньше единицы, а неправильная дробь больше или равна единице.

Как возникли дроби в математике?

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с такими понятиями, как половина, треть, четверть. А это ведь тоже дроби. С самого детства мы слышим такие выражения: "весит четверть килограмма", "одна вторая листа" или "три четверти часа". Во всех этих случаях мы говорим о дробях: одна четверть, две четверти, три четверти, одна вторая и треть - все это дроби. Люди разных профессий используют дроби в процессе работы,  даже не задумываясь об этом. Например, врач, назначая количество лекарства больному, повар, отмеряя необходимые ингредиенты, продавец, водопроводчик, слесарь и даже музыкант. Да и мы пользуемся дробями с самого детства,  не подозревая об этом ("Мама, дай мне половинку яблока", "Давай разделим шоколадку поровну",  "Я еще четверть часика поиграю в компьютер").

Как же возникла необходимость в обыкновенных дробях?  Откуда они взялись, как, когда, где и кто начал изучать дроби? Как записывали и использовали дроби в разные времена и в разных странах? В школьных учебниках нет информации на данную тему. А зачем изучать действия с дробями, если мы, не знаем, нужны ли они нам?

История возникновения обыкновенной дроби.

Давайте проследим историю возникновения обыкновенной дроби. Дроби появились в глубокой древности, когда древний человек решил разделить добычу с себе подобным. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди столкнулись с необходимостью делить что-то на равные части, т.е. наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удавалось выразить натуральным числом, приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби.  Так русское слово дробь, как и его аналоги в других языках, происходят от латинского слова  fractura, которое, в свою очередь, является переводом арабского с тем же значением: ломать, раздроблять. Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. В древности у разных народов использовались разные дроби и разные записи дробей. В своей работе мы приведем несколько примеров использования дробей в древнем мире.

Дроби в Древнем Риме

У римлян основной единицей измерения массы, а также и денежной единицей служил «асс». Асс делился на 12 равных частей - унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12… Со временем унции стали применяться для измерения любых величин.

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

Дроби в Древнем Египте

На протяжении многих веков египтяне именовали дроби “ломаным числом”, а первая дробь с которой они познакомились была 1/2. За ней последовали 1/4, 1/8, 1/16, …, затем 1/3, 1/6, …, т.е. самые простые дроби называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф   (ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Остальные дроби они записывали в виде суммы долей. Дробь  они записывали в виде ,но знак «+» не указывали. А сумму  записывали в виде . Следовательно, такая запись смешанных чисел (без знака «+») сохранилась с тех пор.

Вавилонские шестидесятеричные дроби

Жители древнего Вавилона примерно за три тысячи лет до нашей эры создали систему мер аналогичную нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60, в которой меньшая единица измерения составляла  часть высшей единицы. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.

Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты.

Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602, 603 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.

Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с.

Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

Нумерация и дроби в Древней Греции

Поскольку греки работали с обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения. Герон и Диофант, самые известные арифметики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятиричным дробям.

Недостатки греческих обозначений дробных чисел, включая использование шестидесятиричных дробей в десятичной системе счисления, объяснялись отнюдь не пороками основополагающих принципов. Недостатки греческой системы счисления можно отнести скорее за счет их упорного стремления к строгости, которое заметно увеличило трудности, связанные с анализом отношения несоизмеримых величин. Слово «число» греки понимали как набор единиц, поэтому то, что мы теперь рассматриваем как единое рациональное число – дробь, – греки понимали как отношение двух целых чисел. Именно этим объясняется, почему обыкновенные дроби редко встречались в греческой арифметике.

Дроби на Руси

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Дроби в других государствах древности

В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.

У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.

Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.

Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:

В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

Десятичные дроби

         Действия над дробями в средние века считались самой сложной областью математики.  До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».  Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби.  

В Европе их ввел в 1585 году голландский математик и инженер Симон Стевин. Вот как он изображал дробь 14,382 

Во Франции десятичные дроби ввел Франсуа Виет в 1579 году; его запись дроби 14,382 – 14/382,   14 382.

                    - ввел Иоганн Гартман Бейер в 1603 году

14(382 – Иоганн Кеплер в 1616 году

            - английский математик Вильям Оутред в 1631 году

14 382 ”’ – Пьер Эригон в 1634 году

             - Роберт Джагер в 1651 году

  Появились десятичные дроби в трудах арабских математиков в Средние века и независимо от них в древнем Китае. Но и раньше, в древнем Вавилоне, использовали дроби такого же типа, только шестидесятеричные.

Позднее учёный Гартман Бейер (1563-1625) выпустил сочинение “Десятичная логистика”, где писал: “…я обратил внимание на то, что техники и ремесленники, когда измеряют какую-нибудь длину, то очень редко и лишь в исключительных случаях выражают её в целых числах одного наименования; обыкновенно им приходится или брать мелкие меры, или обращаться к дробям. Точно так же астрономы измеряют величины не только в градусах, но и в долях градуса, т.е. минутах, секундах и т.п. Их деление на 60 частей не так удобно, как деление на 10, на 100 частей и т.д., потому что в последнем случае гораздо легче складывать, вычитать и вообще производить арифметические действия; мне кажется, что десятичные доли, если бы ввести вместо шестидесятеричных, пригодились бы не только для астрономии, но и для всякого рода вычислений”.

Сегодня мы пользуемся десятичными дробями естественно и свободно. Однако то, что кажется естественным нам, служило настоящим камнем преткновения для учёных Средневековья. В Западной Европе 16 в. вместе с широко распространённой десятичной системой представления целых чисел в расчётах повсюду применялись шестидесятеричные дроби, восходящие ещё к древней традиции вавилонян. Понадобился светлый ум нидерландского математика Симона Стевина, чтобы привести запись и целых, и дробных чисел в единую систему. По-видимому, толчком создания десятичных дробей послужили составленные им таблицы сложных процентов. В 1585 г. он опубликовал книгу “Десятина”, в которой объяснил десятичные дроби.

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

Дроби и искусство.

Лев Николаевич Толстой сказал:

«Человек подобен дроби: числитель - это он сам,

а знаменатель то, что он о себе думает.

Чем больше знаменатель, тем меньше дробь.»

1) Дроби и музыка.

     Ноты отличаются по длительности их звучания. Знаком    обозначают целую ноту, ноту вдвое короче – половинную -   , четвертную -    ,

 восьмую -   , шестнадцатую -     .

2) Золотое сечение.

     Золотым сечением называли математики древности и средневековья деление отрезка при кот ором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближённо равно 0,618. Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается в природе.

     Окружающие нас предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплёты многих книг имеют отношение ширины и длины, близкое к значению 0,618.

      Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры – Парфенон – построено вV в. до н.э. отношение высоты здания к его длине равно 0,618

Дроби в стихах и сказках.

Мы дроби не простые,

Мы знаки не пустые.

Мы дроби десятичные,

Возможно и привычные.

Если правильные мы.

Слева нас стоят нули.

Прямо перед запятой –

Этот знак ведь непростой.

Запятая в нас важна,

И всегда она нужна.

Вот пример вам: если вдруг

Написал ваш лучший друг

Про единицу, что она

Одной десятой равна.

Но ведь это так ужасно

И старался он напрасно!

Дети, помните всегда:

Запятая в нас важна!

А вот ещё правило, оно не сложней:
Если в конце десятичных дробей
Нули отбросить иль их приписать,
Да хоть всю тетрадь нулями исписать!
Дробь, равная данной получится,
Так зачем же тогда мучиться?

Чтоб дроби десятичные сравнить,
Вам много и не надобно учить.
Число знаков десятичных уравнять,
К одной из них справа нули приписать.
И, отбросив запятую потом,
Правое с левым сравнить числом.

Чтоб нас вычесть, иль сложить,
Вам не следует спешить.

Тут совет мы можем дать:
Друг под другом нас записать.
Запятая чтоб была под запятой,
А складывать надо так,
как будто нет их ни одной.
А потом обратите внимания,
Что можно без особого старания
Вам в самом конце, в ответе её,
Просто поставить на место своё.

Теперь, когда вы всё о нас знаете,
И многое теперь понимаете.
Помните, мы дроби десятичные,
И вам, наверное, привычные.
И все же, приступая к решению,
Обдумывайте всё хорошенько.

Сказка про десятичные дроби

В городе, где жили дроби, такие, как (12/10), (289/100), (1872/10000), (5/100) и вообще со

знаменателями 10, 100, 1000 и т.д., все жили очень дружно. Никто никого не бил, не обижал и никто не

спорил. В этом городе были красивые дома, а на окошках стояли красивые цветочки. У каждой дроби был

свой дом и сад. В саду росли наливные яблочки, вишенки, груши, а ещё разные цветочки.

Были там также и школы. Туда ходили маленькие дробики, со знаменателем 10. Были и взрослые дроби,

со знаменателями от 100 до 100 000, и совсем старые, со знаменателем от 100 000 и до бесконечности.

Взрослые дроби бегали на работу.

Ну, а старики и старушки весь день сидели в креслах-качалках и читали книги, а иногда шлепали по

попкам дробей-малышей за непослушание или шалости, или читали им сказки.

Но однажды на город напал Штрих со своей армией. Он беспощадно убивал всех, сжигал дома, грабил их.

Десять лет длилась война. Побеждали то одни, то другие, но выиграть войну никто не мог.

Но один добрый Волшебник помог беспомощным дробям. Он погасил горящие дома, вернул награбленное

и прогнал Штриха прочь.

Лишь один вопрос волновал Волшебника: “Как же вылечить пораненные дроби?”. Он долго думал и,

наконец, придумал. Вместо дробной черты он дал дробям запятые, убрал знаменатели, а таким дробям,

как 1/100, 32/1000 и т.д. добавил после целой части справа 1, 2, 3 и т.д. нулей, смотря сколько их было в

знаменателе.

Сказка про дроби

Сказ: Сказка про дробь. Жили – были числитель и знаменатель. Числителя звали два, а знаменателя тринадцать. Жили они хорошо. Ученики писали их в тетрадках, они видели себя в книжках, но хотели они еще брата или сестру. Тогда пошли они к тетушке математике и попросили ее поменять два и тринадцать местами. Тетушка долго не соглашалась. Но два и тринадцать рассказали, что у них нет ни брата, ни сестры. Математика пожалела и согласилась. Она поменяла два и тринадцать местами и получилась неправильная дробь тринадцать вторых, из этой дроби появился брат шесть целых, но хоть он появился позже, все равно был старше всех. А тринадцать поменяла свое имя и стала один. Так получилась дробь - Шесть целых одна вторая. С помощью числителя тринадцать и знаменателя два, ученики стали знать больше. Умная дробь. Давным-давно в стране под названием Математика жило множество жителей: числа, цифры, дроби, лучи, отрезки, фигуры.…Однажды царь математик позвал к себе одну из сестер - неправильную дробь. Он задал ей задание: -Выдели из числителя и знаменателя целую часть. Долго думала она, как выделить Целую часть. И решила она разделить свой числитель на знаменатель. Поделила числитель на знаменатель. В числители у нее было 25, а в знаменатели 6. И получилось из нее не двадцать пять шестых , а четыре и одна шестая. Царь наградил ее за это. И стала она первой неправильной дробью, которая выделила целую часть. Два друга. Жили-были два друга Числитель и Знаменатель. Однажды Знаменателя похитили, Куб заточил его замок, который охранял он и Параллелепипед. Они были очень сильными и большими по размерам. На следующий день Числитель пошёл искать Знаменателя. Он день шёл, два шёл, на третий день он встретил своего давнишнего друга, которого звали Доля. Доля выслушал рассказ Числителя и пошёл с ним на поиски знаменателя. После нескольких дней пути они дошли до этого замка. И на них напали Куб и Параллелепипед. Они попросили друзей ответить на вопрос, как находится их объем. Куб дал Числителю и Доле на раздумье два часа. Но Числитель и Доля любили науку Математику и быстро ответили на вопрос Числитель крикнул: «Формула объема Куба V= а3», а Доля добавила: «Формула объёма Параллелепипеда V=а в с.» Куб и Параллелепипед тут же испарились. Вот так Числитель и Доля спасли Знаменателя.

  Пришел из школы ученик и запер в ящик свой дневник.

Пришлось дневник ей показать. Не удержалась мать от вздоха, увидев надпись: “ Очень плохо”

Узнав, что сын такой лентяй, отец воскликнул : “ Шалопай!”

Ленивый сын поплелся прочь, улегся на покой.

И захрапел. И в ту же ночь увидел сон такой.

Жужжали пчелы на кустах в июльскую жару,

Цвели, качаясь на стеблях, цветочки на ветру.

И где-то меж звериных троп, среди густой травы,

Лежал несчастный землекоп без ног, без головы.

На это зрелище смотреть никто не мог без слез.

Вскочил с постели ученик в шестом часу утра.

Пред ним лежал его дневник на стуле как вчера.

Применение дробей.

География

     Участки земной поверхности изображаются на карте в уменьшенном виде, для этого используется понятие масштаба: отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.

Например: масштаб карты  означает, что 1см на карте соответствует 10000см на местности.

 В строительстве.

     Фасад здания Первой клинической больницы им. Н.И. Пирогова (Москва) построен так, что если разделить высоту здания так, как показано на рисунке (приложение 3), т.е. по золотому сечению, то получим те или иные выступы, карнизы и т.д. Например, равны отношения .

Школьник встречается с дробями на протяжении всех лет обучения с 5 по 11 класс

• Мы собрали подборку старинных задач на дроби  и задач с практическим применением.

Нарисовали рисунки

Ребусы

        и = о

          ,        ь

(Дробь)

( Числитель)   

        (Знаменатель)

По горизонтали:

1. Как называется обыкновенная дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему?

2. Свойство, которым обладают обыкновенные дроби.

3. Что находим, когда число, соответствующее целому делим на знаменатель и умножаем на числитель дроби, которая это выражает?

4. Как называется деление числителя и знаменателя на одно и тоже, отличное от нуля число?

5. Число в обыкновенной дроби, которое показывает, на сколько частей разделили целое. 

6. Куда переносим запятую при делении десятичной дроби на 10, 100, 1000, …?

7. С помощью этой дроби записывают доли.

8. Что находим, когда число, соответствующее части, делим на числитель и умножаем на знаменатель дроби, которая это выражает?

По вертикали:

1. Как называется обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя?

2. Замена точного значения величины близким к нему «круглым» числом.

3. Число, в записи которого используется запятая, называется  ...… дробь.

4.  часть числа – это ……

5. В обыкновенной дроби число, показывающее сколько частей взяли.  

6. Как называется число, в состав которого входит целая часть и дробная, которая является правильной дробью?

7. Куда переносим запятую при умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000, …?

 4. Задачи с практическим содержанием.

1. В целях пожарной безопасности агрегаты по приготовлению травяной муки должны находиться на расстоянии не менее 30м от скирд соломы, ёмкости с горючим – не менее чем на  этого расстояния, животноводческие помещения – не менее чем на  последнего расстояния.

Определите эти расстояния.

2. Выращивание бычков состоит из трёх периодов: это молочный, доращивание и заключительный откорм. К концу первого периода бычок достигает массы 120кг, что составляет   массы бычка, достигаемой к концу второго периода, масса в конце второго периода составляет  массы бычка, достигаемой к концу третьего периода. Определите массу бычка, достигаемую к концу третьего периода.

3. Первое окучивание картофеля производится, когда ботва достигает высоты  дм, при этом окучивание производится на  высоты ботвы. Определите высоту первого окучивания картофеля.

4. Жилой дом должен располагаться на расстоянии не менее 6м от проезжей части улицы. Помещения для животных должны находиться от дома в  раза. А мусорные контейнеры в  раза дальше, чем  дом от проезжей части улицы. Определите эти расстояния.

5. При взрывных работах  на открытой местности взрывники для безопасности должны уходить от места взрыва на 300м, при корчёвке пней – не менее чем на  этого расстояния, а при дроблении валунов зарядами должны уходить на расстояние, в  раза большее, чем при корчёвке пней. Определите безопасное расстояние при этих взрывных работах.

6. Минимальная температура для прорастания семян огурца 150, у кукурузы , а у свеклы  температуры прорастания семян огурца. Определите минимальную температуру прорастания семян кукурузы и свеклы.

7. Комплекс по производству свинины имеет 5200 га посевных площадей. Из них 65% занимают зерновые культуры,   остатка – кормовые культуры, а остальная площадь занята под картофелем. Определите эту площадь.

8. От одной коровы в год было получено 5000кг молока при жирности 3,7%, а от другой 4600 кг при жирности 4,5%. В молоке какой коровы и на сколько больше содержалось молочного жира?

9. При распилке бревна на доски  его объёма превращается в опилки, а при обработке досок ещё  объёма бревна идёт в стружку. Какая часть объёма бревна идёт в стружку?

10.  всех расходов предприятия составляли затраты на сырьё,  на заработную плату и  на топливо и освещение. Какую часть всех расходов предприятия составляли эти затраты?

   11. Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого 2/3 метра?

   12.Хозяйка испекла для гостей пирог. К ней может прийти либо 10, либо 11 человек. На какое наименьшее число кусков ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну как между 10, так и между 11 гостями?

  13. Как разделить 7 яблок между 12 мальчиками, если ни одно яблоко нельзя резать более чем на пять частей?

   14. В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья  — четвёрки, половина  — тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?

          15. Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/70 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить?

          16. Сбербанк начисляет вкладчику 12 % годовых. Вкладчик положил на счет 30 000 руб. и не снимал деньги со счета  в течение трех лет и не брал процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год? Через три года?

         17. Холодильник стоил 12 600 руб. В мае цена холодильника была снижена на 20%, а в июне – еще на 5%. Какой стала стоимость холодильника в июне?

        18.В начале года тариф на электроэнергию составлял 72 к. за 1кВт/ч. В середине года он увеличился на 50%, а в конце года еще на 40%. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 90%? Менее чем на 90%? Более чем на 90%?

Старинные задачи

с применением обыкновенных дробей.

На дроби существует много старинных задач. Вот некоторые из них:

1) Задача Эйлера.

Леонард Эйлер (4 апреля 1707г.- 18 сентября 1783г.) - является  основателем русской научной математической школы. Полное собрание его сочинений насчитывает более 70 томов, а списки его трудов – более 850 названий.

  Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил завещание. «Старший  из моих сыновей должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий – 2000 рублей  и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т.д.»

Определите число сыновей и размер завещанного сбережения.

Решение: так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000 рублей меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 рублей меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё восьмую часть остатка, этого остатка  не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 рублей. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1000 рублей, а остальные 7000 рублей получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма  49000 рублей.

2) Эту задачу более 200 лет назад задавал своим ученикам учитель математики Иоганн Хемелинг.

От числа одну восьмую

Взяв, прибавь ты к ней любую

Половину от трехсот,

И восьмушка превзойдёт

Не чуть-чуть – на пятьдесят

Три четвёртых. Буду рад,

Если тот, кто знает счёт,

Мне число то назовёт.

Решение: тот, кто знает счёт, составит уравнение

3) История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Всё, что известно о нём, почерпнуто из надписи на его  гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.

Путник! Здесь прах погребён Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.

Часть шестую его представляло  прекрасное детство.

Двенадцатая часть протекла ещё жизни – покрылся пухом тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке провёл Диофант.

Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына.

Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой старец земного удела конец восприял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.

Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?

Решение: приняв всю жизнь Диофанта за х, можно составить уравнение

Значит, он женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года.

4) Известный физик А.В. Цингер в своих воспоминаниях о Л.Н. Толстом рассказывает о следующей задаче, которая очень нравилась известному писателю:

         «Артели косцов надо  было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение: если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол- артели, то ясно, что за полдня пол-артели скашивает  луга. Следовательно, на малом лугу остался нескошенным участок в . Если один косец скашивает в день  луга, а скошено было , то косцов было восемь.

5) Задача из сборника «Вопросы и ответы» армянского учёного

Анания  Ширакаци.

     Один купец прошёл через 3 города, и взыскивали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, и во втором городе половину и треть  оставшегося имущества, и в третьем городе половину и треть  оставшегося имущества. И когда он прибыл домой, у него осталось 11 денежков.

Узнай, сколько всего денежков было вначале у купца.

      Решение: принимаем всё имущество купца за х, в каждом городе он отдавал  своего имущества, значит, в первом городе он отдал х, и у него осталось х.

Во втором городе он отдал  своего оставшегося имущества, и у него осталось  -  =.

Аналогично вычисляется остаток имущества после прохождения третьего города . И этот остаток равен 11, значит . У купца было 2376 денежек.

В городе Афинах был водоём, в который проведены три трубы. Первая могла наполнить водоём за 1 час, вторая – за 2 часа, а третья – за 3 часа. Узнай, за какую часть часа все 3 трубы вместе наполнили водоём.

Решение: первая труба за один час заполняет весь водоём, равный х, а вторая труба за один час заполняет половину водоёма, т.е  , а третья - . Найдём время заполнения водоёма тремя трубами .

 За  часа три трубы заполнят водоём.

 6) В начале XVIII  века в России было немного образованных людей. Одним из авторитетных учёных был Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739), который в 1703 году издал первый печатный учебник по математике «Арифметика». По этому учебнику обучались многие поколения русских людей.  В книге Магницкого много задач с разным содержанием, включая и дроби.

«Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет тое же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его выпьет тое же кадь»

Решение: муж за день будет выпивать  часть кади, а вместе с женой -  часть, значит, жена за один день выпьет   часть кади, а всё содержимое выпьет за 35 дней.

«Некий человек нанял работника на год, обещал ему дати 12 рублев и кафтан. Но той, работав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчёт 5 рублей и кафтан, и ведательно есть, а коликие цены оный кафтан был.»

Решение: пусть стоимость кафтана х рублей. За один месяц работник заработал 1 рубль и  кафтана, тогда за 7 месяцев должен был получить 7 рублей и   кафтана. Получаем уравнение:

, значит, кафтан стоит   рубля.

ПОЛТАБУНА И ПОЛ-ЛОШАДИ

К табунщику пришли три казака покупать лошадей.

"Хорошо, я вам продам лошадей, - сказал табунщик, - первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму - половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью.

Себе же оставлю только 5 лошадей".

Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась.

Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков? В произведении знаменитого римского поэта I века до н. э. Горация так описана беседа учителях учеником в одной из римских школ этой эпохи:

Учитель. Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию?

Ученик. Одна треть.

Учитель. Правильно. Ты сумеешь беречь свое имущество.

Решение:    

  Ответ:     .

Задача из "Арифметики" известного среднеазиатского математика Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми

 (IX век н. э.). "Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10".

Решение: 

1.  - отняли от числа за два раза.
2.  - составляют число десять.
3.  - искомое число.

Ответ: 24.

Еще одна задача из "Папируса Ахмеса"

 (Египет, 1850г. до н.э.).

"Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:- Сколько приводишь ты своего многочисленного стада? Пастух отвечает: - Я привожу две трети от трети скота. Сочти!"

Решение:

1) 70:2·3=105 голов - это 2/3 от скота.

2) 105·3=315 голов скота.

Ответ: 315 голов скота.  

Староиндийская задача математика Сриддхары

(XI век н.э.). Есть кадамба цветок, На один лепесток  Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла Вся в цвету сименгда, И на ней третья часть поместилась .Разность их ты найди,   Ее трижды сложи  И тех пчел на кутай посади Только две не нашли Себе место нигде ,Все летали то взад, то вперед и везде  Ароматом цветов наслаждались. Назови теперь мне, Подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось?

Решение:

1.  - разность
2.  - пчел, которых посадили на кутай
3.  - пчел на трех цветках
4.  - составляют 2 пчелки
5.  - пчел всего.

Ответ: всего 30 пчел.

Задача армянского ученого Анания Ширакаци

 (VII век н.э.). "Один купец прошел через 3 города, и взыскивали с него в первом городе пошлины половину, и треть имущества, и во втором городе половину и треть (с того, что осталось), и в третьем городе половину и треть (с того, что осталось). Когда он прибыл домой, у него осталось 11 денежков (денежных единиц). Итак, узнай, сколько всего денежков было вначале у купца?"

Решение:

1.  - оставшегося имущества взыскали в третьем городе.
2.  - составляют 11 денежков.
3.  - денежков было у купца в третьем городе.

А по аналогии с предыдущим решением 66 денежков составляют   часть оставшихся денежков во втором городе, т.е.

4.  - денежков было у купца во втором городе.

А 396 денежков – это    часть оставшихся денежков в первом городе, т.е.

5.  - денежков было у купца в начале.

Ответ: У купца было 2376 денежков.

Задача о статуе Минервы.

"Я изваяна из золота. Поэты то злато в дар принесли. Хоризий принёс половину всей жертвы, Фестия часть восьмую дала, десятую – Солон. Часть двадцатая – жертва певца Фимисона. А девять – всё завершивших талантов – Обет, Аристоником данный. Сколько же злато поэты все вместе в дар принесли?"

Решение:

Пусть поэтами в дар принесены Х талантов, тогда составим уравнение:

;  ; ;  ;    ;   х=40

Ответ: 40 талантов золота.

Задача об источниках Герона Александрийского (I в. до н.э.).

"Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй – за 2 дня, третий – за 3 дня, четвертый – за 4 дня. За сколько времени заполнят бассейн четыре источника вместе?" Решение: ()-скорость заполнения источниками.

 (дня) - время наполнения бассейна всеми источниками вместе.

 Ответ:   дня.

Задача о Музах.

 Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает: «Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!» «Яблок я нес с Геликона немало, – Эрот отвечает – Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу. Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, Клио пятую часть взяла, Талия – долю восьмую. С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора. С частью седьмою Эрато от меня убежала, Тридцать плодов утащила Полигимния. Сотня и двадцать взяты Уратией, Триста плодов унесла Каллиопа. Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками. Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю». Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами?

Решение:

Пусть Х - яблок было у Эрота вначале, тогда оставим уравнение

 ;     ;     

 ;    х=3360

Ответ: 3360 яблок было у Эрота.

Задача о школе Пифагора.

Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат,— отвечал Пифагор.— Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины". Сколько учеников было у Пифагора?

Решение:

Пусть Х -  количество учеников у Пифагора, тогда составим уравнение

 ;     ;     ;    ;  ;      

Ответ: 28 учеников было у Пифагора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в своей работе мы показали, что дроби появились очень давно и на протяжения всего времени существования человека, он использовал, на ряду с целыми числами, и дроби.

        Мы узнали, что: дроби появились в Древнем Египте для более точного счёта; слово дробь произошло от слова "дробить", "ломать", "разбивать на части"; дробная черта появилась всего 300 лет назад; в каждой культуре были и есть интересные задачи с дробями; дроби были важны для решения практических задач. И раз древние египтяне, вавилоняне, римляне и др. могли использовать дроби и проводить вычисления с использованием дробей, то и современный человек, даже имея современную вычислительную технику, обязан уметь пользоваться дробями.

Литература.

1. Виленкин Н.Я. Из истории дробей. /Квант, №5, 1987 – 54с  (http://kvant.mccme.ru)
2. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики. – М.: Просвещение, 2007 – 145с.
3. Интернет энциклопедия Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki) статья "Дробь".
4. Козлова Е.Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Издание 4-е, стереотипное. М.: МЦНМО, 2008 – 318с.
5. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – 9-е изд., стер. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1991 – 78с.
6. Курт Смит. Задачки на математическую логику / Курт Смит; пер. с англ. Д.А.Курбатова. – М.: АСТ: Астрель, 2008 – 115с.

Фридман Л.М. Изучаем математику. – М.: Просвещение, 2001 – 318с