Удивительное число Шехерезады

 Алтайский край  Новичихинский район

МКОУ «Октябрьская средняя общеобразовательная школа»

659738, с. 10 лет Октября, ул. Гагарина, 41, тел/факс 8(385-55) 29-3-16 e-mail Okt1648@yandex.ru

=========================================================

 Удивительное число Шехерезады

Исследовательская работа по математике

                                                                           Выполнила:  Руденко Ольга

ученица 6 класса

                                                                     Руководитель : Ломиворотова Л.Н

                                                                                                   учитель математики

с. 10 лет Октября

2016г.

 Цель работы: Используя современные технологии ознакомиться в общих чертах с историей возникновения натуральных чисел и отыскать удивительные равенства.      

Задачи исследования:

1.  Рассмотреть основные этапы развития натуральных чисел.

2.  Установить взаимосвязи натуральных чисел на примере удивительных равенств.

3.  Изучить свойства числа Шехерезады

Актуальность:

  Тема моего проекта: «Удивительные равенства из натуральных чисел». Я выбрала эту тему, потому что на уроках математики мы работаем с разными числами и теперь уже знаем дроби. Дальше мы будем знакомиться и с другими видами чисел. Но ведь изучать математику мы начали с натуральных чисел. Вот я и решила рассмотреть основные этапы   истории возникновения натуральных чисел, отыскать    удивительные равенства из натуральных чисел и изучить одно удивительно-волшебное число- число Шехерезады.

Гипотеза: Часто приходится удивляться не сложному, а простому.

Объект исследования: Натуральный ряд чисел.

Предмет исследования: Натуральные числа, число Шехерезады.

Методы исследования

• поисковый метод с использованием сети Интернет;
• исследовательский метод при определении этапов развития представлений о числах и изучении удивительных равенств;
• практический метод при создании презентации.

Предполагаемый продукт:

• учебная презентация «Удивительные равенства из натуральных чисел»;

Проведение исследования

Для решения заявленной проблемы мне потребовалось:

•  Изучить литературу для внеклассного чтения по математике;
• Обратиться за консультацией к учителю математики;
•  Найти необходимую информацию в Интернете.

Введение.

                                 «Самые древние по происхождению числа – натуральные.

                                  "Ручейки" натуральных чисел, сливаясь, порождают

                                   безбрежный океан вещественных и разного рода  особых                  

                                   специальных чисел»                               Б.А.Кордемский                                                          

   Ни для кого не секрет, что всюду и повсеместно каждое мгновение наша жизнь наполнена цифрами и числами: день недели, номер автомобиля, магазинный ценник, штрих-код на книжной обложке, количество калорий в пирожном и сколько дней осталось до каникул?..

    Можно ли представить мир без чисел?  Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь.  Число одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.  Люди так часто пользуются числами и счетом, что трудно даже представить себе, что они существовали не всегда, а были изобретены человеком.  Что же пришлось преодолеть человеку, чтобы числа выглядели, так как мы их с вами видим сейчас?                                                                                                                                              История возникновения натуральных чисел берет свое начало еще с первобытного общества. Тогда, конечно, они возникли в самом простейшем виде, но вместе с человечеством развивались и числа. Изначально они использовались только для того, чтобы что-то подсчитать, измерить, т.е. помогали именно в том, что было нужно в практической деятельности людей. Потом число становится частью математики, и история возникновения и развития натуральных чисел обуславливается уже наукой.

 1.История развития числа

   Представление о натуральном ряде чисел: 1,2,3,4,5, 6,… возникло в сознании людей в результате операции счёта. В очень далёкие времена, когда люди умели считать только до трёх, а дальше была «тьма», натуральный ряд чисел был очень коротким. С течением времени, люди сначала считали  при помощи зарубок, зёрен и т. п., а затем при помощи первой счётной машины — пальцев своих рук. Потом они постепенно удлиняли натуральный ряд чисел. Создав натуральный ряд чисел, люди должны были изобрести и способ записи числа в этом ряду при помощи немногих знаков.                            Разные цивилизации создавали свои собственные цифры.  Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели (Рис.5)

рис.5

 Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так (Рис.6)   Они похожи на многие наши цифры

рис.6

Цифры  различных народов в разное время выглядели так:

   Различные способы  записи знаков, которые были изобретены разными народами на протяжении многих веков, в настоящее время вытеснены десятичной позиционной системой, которая позволяет при помощи только девяти знаков — цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и цифры нуль записать любое число натурального ряда.  

   Запись цифр в определенном порядке и определенные действия с ними при помощи знаков могут делать удивительные вещи! Проверить это можно на примере удивительных числовых равенств из натуральных чисел.

2. Удивительные числовые равенства из натуральных чисел.  

Часто приходится удивляться

не сложному, а простому.    

 Изучая удивительные равенства, я встретилась с интересным числом Шехерезады.  Уже в самом названии этого числа есть что –то таинственное, магическое -  ведь оно связано с заглавием волшебной книги арабских сказок «Тысяча и одна ночь». Я заинтересовалась этим числом. Оказалось, что в математике число Шехерезады никак не применяется, но обладает целым рядом интереснейших свойств. Вот эти свойства я и попыталась изучить в своей работе.

Свойства числа Шехерезады

1. Это самое малое натуральное четырехзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел:

1001= 10 •10•10 + 1•1•1= 103 + 13;

2. Число 1001 состоит из 77 злополучных чертовых дюжин (1001 = 77 •13);
3. Число 1001 состоит из 91 «одиннадцатки» (1001 = 11•91);
4. Число 1001 состоит из 143 семерок (1001 = 7•143) (вспомним, что число 7 считалось магическим числом);
5. Число 1001 равно произведению трех последовательных простых чисел: 7, 11,13.   (1001= 7 •11•13)
6. Если считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 ночь состоит из 1+1+1/2 +1/4 года      (1001= 52 ∙2∙ 7 + 26 ∙ 7 + 13 ∙ 7) (таким образом, мы видим, как в числе Шехерезады литература переплетается с математикой)
7. При  умножении  любого  трехзначного  числа  на 1001 получается число,    состоящее  из данного числа, только написанного дважды.

Например: 987·1001=987987. Это произведение можно вычислить даже  устно, применив распределительное свойство умножения относительно сложения:

     987·1001=987 (1000+1)=987·1000+987·1=987000+987=987987;

8. Число 1001 называют числом-палиндромом, то есть числом, читающимся справа-налево и слева-направо одинаково.(Приложение 1)

В математике палиндромические числа иногда называют «числами Шехерезады».

    Чем же еще замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых "простых" чисел. Число 1001 делится без остатка и на 7, и на 11 и на 13 - на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Но не в том диковинка, что число 1001=7∙11∙13, - здесь нет еще ничего волшебного. Замечательно то, что у этого интересного числа есть свое удивительное правило: если умножить на него любое трехзначное число, это самое трехзначное число повторится дважды. К примеру: 202∙1001=202202;       875∙1001=875875;          207∙1001=207207, и т. д. Именно эти свойства числа 1001 применяются в фокусах с разгадыванием числа.

Идея фокуса заключается в следующем:                                                                     Написать на листе бумаги любое трехзначное  число, затем приписать к нему еще раз то же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из трех повторяющихся цифр. Разделить шестизначное число на 7, при этом  результат должен получится без остатка. Полученное число разделить  на 11. Полученный результат разделить   на 13, частное - это число которое  было написано вначале вычислений.                                                                  

    Чтобы провести фокус с числом Шехерезады нужны пять участников. Пусть один из участников на листе бумаги напишет любое трехзначное число и передаст эту запись кому-нибудь другому, где тот рядом должен повторить то же самое число. Третий участник должен разделить это число на 7 (уже понятно, что шестизначное число разделится на 7 без остатка). Пусть четвертый участник разделит полученный результат на 11 (никакого остатка от деления не будет). А потом пятый участник разделит полученный результат на 13 (опять деление будет без остатка). В результате получится самое первое число, написанное на листе.

Итак, первый участник записал: 342 втopoй — 342342, третий - 342342 : 7 = 48906, четвертый - 48906 : 11 = 4446, пятый - 4446 : 13 = 342.

Я проводила такой фокус в классе с одноклассниками. Они удивились!

Разгадка фокуса: этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто. Приписать к трехзначному числу его само – значит умножить его на 1001, т.е. на произведение 7·11·13. Шестизначное число, которое получится после приписывания к задуманному числу его самого, должно будет делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13. В результате последовательного деления на эти три числа (то есть на их произведение – 1001) шестизначное число должно снова дать  задуманное число.                                                 Выполнение фокуса можно видоизменить так, чтобы иметь возможность объявить загадчику число, которое получится у него в итоге выкладок. Можно попросить того, кто загадывает число, разделить шестизначное число на 7, потом на 11, потом на задуманное число, и с уверенностью объявить конечный итог всех делений - 13 .

 Повторяя фокус, можно попросить произвести деление в ином порядке: сначала на 11, потом на задуманное число и на 13 . Ответ должен быть 7.    Тогда фокус можно назвать «Угадаю число». В классе с одноклассниками  я проводила и такой фокус. Сделала так:

 На закрытой доске написала число 7. Потом попросила всех  задумать любое трёхзначное число, приписать к нему это же число. Затем, разделить получившееся шестизначное число на 11, результат разделить на задуманное трехзначное число, а затем на 13. Открыла доску и показывала, что в результате у всех получился один итот же ответ- число 7.

 Если предложить разделить  сначала на 13 , потом на задуманное число и на 7. Конечный итог – 11, то есть в  фокусе «Угадаю число» можно угадывать  так же и числа 13,11.

Итак, пользуясь указанным свойством числа Шахерезады, можно достичь результатов совсем неожиданных, кажущихся волшебными, по крайней мере человеку неподготовленному.

В своей работе я попробовала погрузиться в тайны числа 1001 и открыла для себя много интересного.  Теперь я могу использовать эти маленькие тайны, удивляя других необычными числовыми фокусами, основанными на простой математике. Чтобы понять суть фокуса, необходимо лишь уловить небольшую, но точную математическую закономерность.  

В дальнейшем я попробую разгадывать сама фокусы с множеством других магических чисел.   А современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. И мне бы хотелось продолжить изучение удивительных равенств и интересных чисел.  

Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые.

Приложение 1.

Получение чисел палиндромов

   Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Некоторые палиндромы я получила сама, так как их получение можно считать удивительными равенствами.  Если  взять любое натуральное число и «сложить» его с обращённым числом, то есть записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, то можно сразу получить палиндром. Если же палиндром не получился, то проделаем, то же действие с получившейся суммой и будем повторять его до тех пор, пока не образуется палиндром. Иногда достаточно сделать всего один шаг (например, 312 + 213 = 525), но, как правило, требуется не менее двух. Я получила палиндромы с первого раза для таких двузначных чисел:  23+32 =55; 31+13 =44; 45+54= 99, 51+15 =66 , 56+65=121. Чем большие числа я брала, тем больше шагов нужно было сделать, чтобы получился палиндром. С числом 96  палиндром 4884 получился только на четвёртом шаге. В самом деле:

96 + 69 = 165,

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884. 

   Числами-полиндромами являются квадраты любого числа, состоящего из единиц до 10 знаков. Например:

11²=121

111²=12321

1111²=1234321

…

111111111²=12345678987654321

 Если умножение этих чисел написать в столбик, то становится понятно почему так получается.

Источники информации

1. Абдулаев И. Математические задачи с микрокалькулятором: Кн.для учащихся . – М.: Просвещение, 1990. – 80с.
2. Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. Математика. Арифметика. Геометрия. тетрадь- тренажёр. 5 класс: М.: Просвещение, 2016.-127с.
3. Гайдман М. «Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки». Москва, издательство «Наука», под редакцией Г.Е.Шилова, 1978 г.
4. Детская Энциклопедия, Москва изд. Академия Педагогических наук РСФСР, 1961 г.
5. Интернет-ресурсы
6. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. М., Просвещение, 1963.- 436с.
7. Минаева С.С. Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике. М.: Просвещение, 1983. – 128 с.