Геометрические фигуры и их свойства

Слайд 1
Геометрические фигуры и их свойства Работу выполнила Багдасаева Виктория Ученица 10 Б класса

Слайд 2
Цель: систематизация знаний, обобщение материала.

Слайд 3
Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности. Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур. Геометрия

Слайд 4
Точка В геометрии, топологии и близких разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других аналогичных характеристик больших размерностей. Таким образом, точкой называют нульмерный объект. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике. Точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже .

Слайд 5
Прямая Прямая — одно из основных понятий геометрии. Геометрическая прямая (прямая линия) — незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку. Свойства: Через две точки можно провести единственную прямую. Две прямые могут пересекаться только в одной точке. Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых.

Слайд 6
Отрезок Часть  прямой линии , ограниченная с двух сторон  точками , называется отрезком прямой, или  отрезком . Свойства измерения отрезка: Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равняется сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой. Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка AB . При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю. Два отрезка называются равными, если равны их длины.

Слайд 7
Ломаная линия Ломаная линия  — это несколько  отрезков , соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка — началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую  точку ) отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой.

Слайд 8
Л уч Луч (полупрямая) – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от этой точки и включая эту точку. Эта точка называется начальной точкой полупрямой (луча). Обозначается луч двумя точками: начальной точкой и какой-либо точкой на этом луче. Из одной точки можно провести бесчисленное множество лучей. На луче можно отложить еще точку, кроме вершины луча, которая будет принадлежать отрезку, лежащему на этом луче.

Слайд 9
Угол Угол – часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки. Угол – это геометрическая фигура, имеющая вершину, стороны и свою градусную меру. Углы измеряются в градусах и радианах. Виды углов Если у угла обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым углом. Острый угол - градусная мера от 0 до 90 градусов Прямой угол - градусная мера 90 градусов Тупой угол - градусная мера больше 90 градусов

Слайд 10
Параллелограмм Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Свойства параллелограмма : 1. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны. 2. В параллелограмме сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 °. 3. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 4. Диагонали параллелограмма делят его на две равные треугольники. Признаки параллелограмма : 1. Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм. 2. Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник параллелограмм. 3. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм. 4. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.

Слайд 11
Основные формулы

Слайд 12
Прямоугольник Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником . Свойства прямоугольника : 1. Противоположные стороны прямоугольника равны. 2. Все углы прямоугольника прямые. 3. Диагонали прямоугольника равны. 4. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 5. Диагонали прямоугольника делят его на два равных треугольника. 6. В прямоугольника сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 °. Признаки прямоугольника: 1. Если в параллелограмме все углы равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. 2. Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником. 3. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. 4. Если в четырехугольнике три угла прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником. 5. Если в четырехугольнике все углы равны, то этот четырехугольник является прямоугольником

Слайд 13
Формулы Формулы определения длин сторон прямоугольника: 1. Формула стороны прямоугольника через диагональ и другую сторону : 2 . Формула стороны прямоугольника через площадь и другую сторону : 3. Формула стороны прямоугольника через периметр и другую сторону : 4. Формула стороны прямоугольника через диаметр и угол α: a= dsin α b= dcos α  

Слайд 14
Квадрат Квадра́т — правильный четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны. С войства квадрата : Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом. Диагонали квадрата делят его углы пополам. Площадь квадрата равна квадрату его стороны

Слайд 15
Формулы

Слайд 16
Единичный квадрат Единичный квадрат — квадрат в прямоугольных координатах, левый нижний угол которого находится в начале координат и имеет длины сторон по единице. Его вершины имеют координаты (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). Площадь единичного квадрата равна 1, периметр — 4, диагональ — квадратный к орень из двух.

Слайд 17
Ромб Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны, а диагонали в точке пересечения делятся под прямым углом. Свойства : 1. Противолежащие стороны попарно параллельны. 2. Все стороны равны. 3. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. 4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов 5. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 6. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 7. Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

Слайд 18
Формулы

Слайд 19
Единичная окружность Единичная окружность — окружность радиуса 1 на евклидовой плоскости.

Слайд 20
Двугранный угол Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Полуплоскостями называются гранями двугранного угла, а их общая прямая — ребром . Линейный угол : Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линейный угол между этими двумя лучами и будет равен по величине двугранному углу . У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре. Теоремы, используемые для решения задач: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны . Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей. Если две плоскости перпендикулярны и в одной из них проведена прямая перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Слайд 21
Треугольник Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Слайд 22
Формулы

Слайд 23
Равнобедренный треугольник Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором длины двух его сторон равны между собой. Свойства равнобедренного треугольника : 1. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. 2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой. 3. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают между собой. 4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию. 5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые. Признаки равнобедренного треугольника: 1. Два угла треугольника равны 2. Высота совпадает с медианой 3. Высота совпадает с биссектрисой 4. Биссектриса совпадает с медианой 5. Две высоты равны 6. Две медианы равны 7. Две биссектрисы равны

Слайд 24
Равносторонний треугольник Правильный (или равносторонний) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы также равны и составляют 60 °. Свойства: В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны 60 ∘. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной .

Слайд 25
Формулы

Слайд 26
Прямоугольный треугольник Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов ) Свойства:

Слайд 27

Слайд 28
Трапеция Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна ). Параллельные стороны трапеции называются основаниями . Другие две — боковые стороны . Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной . Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной . Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Слайд 29
Свойства:

Слайд 30

Слайд 31

Слайд 32

Слайд 33
Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Слайд 34
Прямоугольная трапеция Прямоугольная трапеция - это трапеция, у которой хотя бы один из углов прямой Свойства: У прямоугольной трапеции два угла обязательно прямые Оба прямых угла прямоугольной трапеции обязательно принадлежат смежным вершинам Оба прямых угла в прямоугольной трапеции обязательно прилежат к одной и той же боковой стороне Диагонали прямоугольной трапеции образуют с одной из боковых сторон прямоугольный треугольник Длина боковой стороны трапеции, перпендикулярной основаниям равна ее высоте У прямоугольной трапеции основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона - наклонная к основаниям У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой

Слайд 35
Основные формулы: a и b - основания трапеции с - боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям d - боковая сторона трапеции, не являющаяся перпендикулярной основаниям - острый угол при большем основании трапеции m - средняя линия трапеции  

Слайд 36
Окружность Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности , а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности . Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом . Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга . Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Слайд 37
Касательная Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Свойства касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания . Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Слайд 38
Х орда Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Свойства хорд: Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде. Дуги , заключенные между параллельными хордами, равны. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Слайд 39
Свойства окружности: Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая ). Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры. Углы в окружности: Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Угол , вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом . Свойства углов, связанных с окружностью: Углы , вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 °. Угол , образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами . Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Слайд 40
Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле: Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле: Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом , измеренным в радианах, вычисляется по формуле: Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:   Формулы:

Слайд 41
Круг Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью . Точка О также называется центром круга Свойства: При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя. Круг является выпуклой фигурой. Площадь круга радиуса R вычисляется по формуле : , где ≈3.14159…. Площадь сектора равна , где α — угловая величина дуги в радианах, R — радиус. Периметр круга (длина окружности, ограничивающей круг): . ( Изопериметрическое неравенство) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или, что то же самое, обладающей наименьшим периметром при заданной площади.  

Слайд 42
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Слайд 43

Слайд 44
Конус Конусом называется тело, которое состоит из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (образующими конуса ). Конус называется прямым , если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания . Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания . У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом .

Слайд 45
Сечения конуса Если плоскость сечения проходит через вершину конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник,  боковые стороны  которого являются образующими конуса. Сечение конуса, проходящее через ось (высоту) называется  осевым . Если плоскость параллельная плоскости основания конуса, то она пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса.

Слайд 46
Пирамида Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д . Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания . Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды . Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра ). Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Слайд 47
Свойства пирамиды: 1) Если все боковые ребра равны, то – около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр – боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы 2 ) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Слайд 48
Виды пирамид Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Для правильной пирамиды справедливо: – боковые ребра правильной пирамиды равны; – в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники; – в любую правильную пирамиду можно вписать сферу; – около любой правильной пирамиды можно описать сферу; – площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Слайд 49
Виды пирамид Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды . Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Слайд 50
Свойства тетраэдра: Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра. Плоскость , которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части. Основные формулы: а – сторона тетраэдра

Слайд 51
Призма Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников A1A2 ... An и B1B2 ... Bn , лежащих в параллельных плоскостях, и n параллелограммов A1A2B2B1,...,A1AnBnB1 . Боковые грани – все грани, кроме оснований (являются параллелограммами ). Боковые ребра – общие стороны боковых граней (параллельны между собой и равны ). Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани . Высота призмы – перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания . Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания . Диагональное сечение –пересечение призмы и диагональной плоскости. Перпендикулярное сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Слайд 52
Свойства призмы: Основания призмы – это равные многоугольники. Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма. Боковые ребра призмы параллельные и равны . Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах . Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням и всем боковым рёбрам призмы. Основные формулы: Площадь полной поверхности призмы = сумме площади её боковой поверхности и двойной площади основания. S пп = S бп+2 S ос Площадь боковой поверхности произвольной призмы: S=P*l , где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра. Площадь боковой поверхности прямой призмы: S=P*h , где P — периметр основания призмы, h — высота призмы. Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту . V = Soh , где V - объем призмы, So - площадь основания призмы, h - высота призмы.

Слайд 53
Правильная призма Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.п.).

Слайд 54
Правильная четырехугольная призма Свойства: Основания правильной четырехугольной призмы – это 2 одинаковых квадрата; Верхнее и нижнее основания параллельны; Боковые грани имеют вид прямоугольников; Все боковые грани равны между собой; Боковые грани перпендикулярны основаниям; Боковые ребра параллельны между собой и равны; Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям; Углы перпендикулярного сечения - прямые; Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником; Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям. Основные формулы:

Слайд 55
Цилиндр Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов . Круги, указанные в определении, называются основаниями цилиндра . Отрезки , соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, называются образующими цилиндра . Цилиндр называется прямым , если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований . Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований . Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований . Свойства цилиндра: Основания цилиндра равны Основания лежат в параллельных плоскостях Образующие цилиндра параллельны и равны Основные формулы: S бп =2 π rh S пп = 2πrh+2πr2=2πr(h+r) V= π r 2 h

Слайд 56
Сечения цилиндра Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением . Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, — прямоугольник. Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, — круг.

Слайд 57
Шар Шар – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара . Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у шара.

Слайд 58
Основные формулы Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг ABC – основание шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, – высота шарового сегмента. Точка M – вершина шарового сегмента . Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле : S = 2π Rh , где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента . Объём шарового сегмента можно найти по формуле: V = πh2(R – 1/3h ), где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента . Шаровой сектор – это часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента) и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной – центр шара O . Объем шарового сектора находится по формуле : V = 2/3πR2 H .

Слайд 59
Вектор Вектором называется направленный отрезок , где точка A — начало, точка B — конец вектора. Нулевым вектором называется вектор, у которого начало совпадает с концом . Векторы и называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены . Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы и называются противоположно направленными. Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.  

Слайд 60
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначают Два вектора называются равными , если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными . Вектор, противоположный вектору , обозначается как .