Почему теорему Пифагора доказывают уже 25 веков?

                                                                                             Автор: Ключников Илья

                                                                8а класс

                                                                                           Научный руководитель:                                                                                

                                                                                                       Вдовенко Ирина Викентьевна,

                                                                                           учитель  математики

пгт Федоровский Сургутский район Тюменская область

2016 год

«Почему теорему Пифагора доказывают уже 25 веков» Быстров Дмитрий

Россия, Тюменская область, Ханты-Мансийский автономный округ-Югра, Сургутский район, г.п. Федоровский, «МБОУ Федоровская СОШ №2 с углублённым изучением отдельных предметов»,

8 а класс

АННОТАЦИЯ

     Своеобразна судьба иных теорем и задач… Как объяснить, например, столь исключительное внимание со стороны математиков и любителей математики к теореме Пифагора? Почему многие из них не довольствовались уже известными доказательствами, а находили свои, доведя, за двадцать пять сравнительно обозримых столетий, количество доказательств до нескольких сотен?

     Изучение научной литературы, анализ теоретического материала, интервьюирование, измерительно-вычислительный практикум позволили сделать попытку найти ответ на главный вопрос работы: почему теорему Пифагора доказывают уже 25 веков. Что по существу является целью исследовательской работы. Деятельность осуществлялась в период с мая 2012 г. по январь 2013 г. Изучены познания о теореме путем опроса тридцати двух человек различного возраста и социального положения. Практическим путем определена возможность применения теоремы Пифагора в жизни. Установлены интересные факты, связанные со знаменитой теоремой. Практическая значимость работы будет актуальна в рамках использования материала педагогами при проведении внеклассной работы по предмету, с целью формирования  у детей познавательного интереса к математике, в частности к геометрии.  Работа сопровождается презентацией. Изготовлен образец головоломки «Пифагор», в приложении имеются модели различных геометрических фигур, где в каждой модели используются все семь фигур квадрата Пифагора.   

     В дальнейшем предполагается найти возможности для приобретения головоломки «Пифагор» в кабинет математики. Головоломку можно использовать на занятиях по математике, ведь она отлично способствует развитию воображения, логики, внимания, пространственного мышления, математических и творческих способностей. 

«Почему теорему Пифагора доказывают уже 25 веков» Быстров Дмитрий

Россия, Тюменская область, Ханты-Мансийский автономный округ-Югра, Сургутский район, г.п. Федоровский, «МБОУ Федоровская СОШ №2 с углублённым изучением отдельных предметов»,

8 а класс

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение…………………………………………………………...................................................4

2. Научно – исследовательская часть……...………………….…………………………..…….…..5

      2.1. О Пифагоре ….…………..………………………..…............................................................5

      2.2. Некоторые формулировки и доказательства знаменитой теоремы.………..……............5

      2.3. Теорема Пифагора на даче моего деда ………….……….…………..………….................8

      2.4. Это интересно! ......................................................................................................................10

3. Заключение………………………………………….…………….………………………………11

5. Библиографический список……………………………………………………………………...12

6. Приложение ……………………………………………………………………………………....13

«Почему теорему Пифагора доказывают уже 25 веков» Быстров Дмитрий

Россия, Тюменская область, Ханты-Мансийский автономный округ-Югра, Сургутский район, г.п. Федоровский, «МБОУ Федоровская СОШ №2 с углублённым изучением отдельных предметов»,

8 а класс

ВВЕДЕНИЕ

     С темой своей исследовательской работы я определился еще весной, заканчивая 7 класс. И так получилось, что с теоремой Пифагора я столкнулся сначала на практике при строительстве дачи моим дедом, и только потом, вооружившись необходимой литературой, провел исследование теоретических фактов, касающихся моей темы. По сути, имея знания по теме на уровне «Пифагоровы штаны во все стороны равны», я слабо представлял себе, как добьюсь поставленной цели. Но работа, в ходе которой я сделал для себя массу открытий,  оказалась очень увлекательной и интересной. И открытия эти выходили далеко за рамки математики, они коснулись и истории, и литературы, и физики и просто жизненной практики.

Из книги А.В. Волошинова «Пифагор» я узнал, что причина популярности теоремы Пифагора триедина: это простота – красота – значимость. В работе мною представлен материал о Пифагоре Самосском, о его теореме и некоторых ее формулировках и доказательствах. Приведены конкретные примеры из жизни, где применяется терема Пифагора. Рассмотрены интересные факты, связанные со знаменитой теоремой. Работа сопровождается презентацией.

Область исследования: математика                                                                                            

Предмет исследования: терема Пифагора                                                                                           

Цель работы: выяснение причин и фактов, позволяющих ответить на вопрос - почему теорему Пифагора доказывают уже 25 веков

Задачи:    

- изучить научную литературу и сделать краткий экскурс по заданной теме

- определить возможности применения теоремы Пифагора в жизни

- выявить наиболее интересные факты, связанные со знаменитой теоремой

- провести опрос разновозрастных людей на предмет их познаний о теореме и проанализировать полученные данные                                                                                                                                                            

Методы исследования: работа с различными источниками информации по заявленной теме, интервьюирование, измерительно-вычислительный практикум, анализ.                                                                                                            

Практическая значимость исследования: работа будет актуальна в рамках использования материала педагогами при проведении внеклассной работы по предмету, с целью формирования  у детей познавательного интереса к математике, в частности к геометрии.  (слайды 1; 2; 3)

 «Почему теорему Пифагора доказывают уже 25 веков» Быстров Дмитрий

Россия, Тюменская область, Ханты-Мансийский автономный округ-Югра, Сургутский район, г.п. Федоровский, «МБОУ Федоровская СОШ №2 с углублённым изучением отдельных предметов»,

8 а класс

НАУЧНО – ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

О Пифагоре

       Очень сложно раскрыть тему моей работы не коснувшись биографии автора знаменитой теоремы.  

      Крепкого телосложения юношу судьи одной из первых в истории Олимпиад не хотели допускать к спортивным состязаниям, так как он не вышел ростом. Но он не только стал участником Олимпиады, но и победил всех противников. Такова легенда. Этот юноша был Пифагор - знаменитый математик. Вся его жизнь – легенда, точнее наслоение многих легенд. Родился Пифагор 26 веков назад на греческом острове Самос. Это был красивый лицом и отлично сложенный юноша с ясным пытливым взором. Но звали его тогда не Пифагором. Это прозвище он получил лет через 40 за свою способность убеждать речью (Пифагор в переводе с древнегреческого языка – «Говорящий Убедительно»). За полвека он посетил Египет, Вавилон, Индию. Его интересовали науки и мудрости стран востока. Постигнув многое из этого, он вернулся и на севере Италии в Кротоне (на тот момент это была греческая колония) создал крупнейшую в ту эпоху философскую школу (которую назовут пифагорейской) и подарил миру множество открытий, теорем и мыслей. Трудно сказать, какие научные идеи принадлежали Пифагору, какие – его воспитанникам. Пифагор не записал своего учения. Оно известно лишь в пересказах Аристотеля и Платона. Греческий ученый Гераклит утверждал, что Пифагор ученее всех современников, однако порицал его за склонность к магии. Дело в том, что числа для пифагорейцев были наполнены магическим содержанием, они преклонялись перед гармонией чисел. Впрочем, о Пифагоре и его последователях можно говорить очень долго. Жаль, что у нас не всегда на это есть время и тем более жаль, что, как правило, разговор этот начинает "штанами", "штанами" (к ним мы еще вернемся) и заканчивается, хотя в древней Греции штанов не носили. (слайд 4)

Некоторые формулировки и доказательства знаменитой теоремы

     Кроме рассмотренной формулировки и способа доказательства теоремы Пифагора в учебнике геометрии для 8 класса имеются и другие.

Существуют старинные формулировки теоремы Пифагора в переводе с различных языков:

- в переводе с греческого: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол»

в переводе с латинского: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол». 

в переводе немецкого: «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу». 

    Вообще-то теорему Пифагора можно сформулировать двояко:

Геометрическая формулировка: «В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах»

Алгебраическая формулировка: «В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин его катетов»

Собственно обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако предполагается, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, но оно не оказалось единственным!

     Американский автор Э. Лумис в книге «Пифагорово предложение», вышедшей в 1940 г., собрал 370  различных способов доказательства теоремы Пифагора, включая одно, предложенное двадцатым президентом США Гарфилдом. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств теоремы Пифагора. Именно это число и занесено в книгу рекордов Гиннеса. Если добавить к этому доказательства вне научных публикаций, то получится немногим меньше 500 способов доказательств этой теоремы!

     Предлагаю вашему вниманию самые, на мой взгляд, важные и интересные:

Греция

Рассмотрим доказательство, приведенное, предположительно спустя три века после Пифагора, в «Началах» Евклида. Идея Евклида состоит в следующем: нужно доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах. А тогда и площади большого квадрата и двух малых квадратов равны. Российские школьники прошлых времен, изучавшие геометрию по Евклиду, в шутку называли это доказательство «пифагоровы штаны»

Китай

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе. Отсюда и простое доказательство.

Индия

 В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания»), крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары, помещён чертёж с характерным для индийских доказательств словом «смотри». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат площадью с2 перекладывается в «кресло невесты»  с площадью а2+в2..

Пифагор

 «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».  Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например: квадрат, построенный на гипотенузе, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах — по два. Теорема доказана. (слайды 5; 6; 7; 8; 9; 10)

Теорема Пифагора на даче моего деда

     Еще не зная ничего толком о теореме Пифагора, я столкнулся с ней в жизни. На лето меня увезли к деду в Стерлитамак, где он строил свою дачу. Как пояснил мне мой дедушка, Николай Александрович, любой вид строительства (и дом не является в этом вопросе исключением) требует тщательного обмера, нивелировки и разбивки котлована. В строительстве для этой цели служат специальные приборы (нивелир и теодолит), которые с достаточной степенью точности позволяют выполнить все необходимые замеры. Но таких приборов у деда в наличии не оказалось, да и не умеет он пользоваться этими приборами. И он ознакомил меня с простейшими видами измерений, с которыми столкнулся на практике при разбивке котлована. Прямые углы (например, для отрыва котлована) он определял, применяя теорему Пифагора. Для этого, оказалось, достаточно сбить три тонкие доски в прямоугольный треугольник, длины сторон которого будут кратны 3; 4 и 5 м. Точность разбивки котлована будет зависеть от точности нанесения отметок на сторонах треугольника, то есть, от аккуратности измерений. Такой план разбивки котлована был у моего деда:

     Мой интерес к теореме сразу же возрос и знакомство с теорией по теме работы позволили мне в дальнейшем оказывать полноценную помощь дедушке в строительстве дачного дома, в частности его крыши.

Для того чтобы рассчитать длину стропил я сделал расчет по теореме Пифагора.                                  

с2=(63*63+230*230)
с2=3969+52900
с2=56869
c=238,47см
Далее дедушка рассчитал угол B. Он получился 750. После всех расчетов отпилили одну доску длиной 238 см, плюс выступ 5-7 см и получилась длина около 245 см. Прикинули её на месте и спилили под нужным углом концы доски. В результате получилась стропила по которой делали остальные стропила. В общей сложности напилили 14 стропил для нижнего уровня мансардной крыши.                          

После проделанной работы начался второй этап строительства стропильной системы мансардной крыши.  И тут не обошлось без расчетов всё по той же теореме Пифагора.

На этот раз с=292 см и угол B получился 350.

     Затем мы сооружали небольшую спортивную площадку. Выровняли участок, срезали мешавшие кустики, посыпали крупным песком землю. Оставалось последнее — разметить игровое поле. Для этого дедушка взял веревку, отмерил лопатой сначала три длины, завязал узел, потом четыре длины и завязал еще один узел, потом – пять… После этой предварительной операции мы взяли три колышка и натянули на них треугольник.

И площадка получилась строго прямоугольной. И только потом я узнал, что, как и в случае разбивки котлована, работали мы с египетским треугольником  и этот треугольник будет прямоугольным: в самом деле, его стороны удовлетворяют теореме Пифагора (32 + 42 = 52). О таком треугольнике египтяне знали с середины I тысячелетия до н. э., и широко использовали эти знания при строительстве пирамид.

   Я не знаю, что было известно о египетском треугольнике и теореме Пифагора коренному населению ХМАО-Югры, но при построении своего жилья они использовали данные факты. С точки зрения физики - чум максимально устойчивая конструкция. Большая площадь основания и небольшая верхняя часть обеспечивают прочность при метелях и сильных ветрах. Легко скатывается снег. Коническая форма меньше всего отдает тепла в атмосферу, внутри тепло распределяется гораздо равномернее. В чуме всегда чистый воздух и хорошая вентиляция.  И в изготовлении конструкция очень проста. При этом чум имеет пропорции двух треугольников с соотношением сторон 3:4:5.

 Если построить точку пересечения перпендикуляров, то должна получиться пропорция золотого сечения. Если не придерживаться такого построения, то в чуме будет не комфортно...  либо слишком низко, либо площадь маловата. (слайды 11; 12; 13; 14; 15)

Это интересно!

     Необходимо заметить, что российские ученые тоже не остались в стороне от знаменитой теоремы. Помимо всевозможных научно-исследовательских работ, статей считаю возможным отметить первые и последние сведения:

1. Первый русский перевод евклидовых "Начал", где речь идет и о теореме Пифагора. Его осуществил Фома Иванович Петрушевский (1785—1848 г.г. — метролог, переводчик).

Он не просто перевел, но и снабдил примечаниями книгу  "Эвклидовых начал восемь книг, содержащие в себе основания геометрии" (СПб., 1819 г.).

2. Серия из мультипликационных «Математических этюдов», созданная с помощью компьютерной графики нашим современником, заведующим лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института имени В.А. Стеклова Николаем Николаевичем Андреевым. За уникальный проект 8.02.2011 г. (в день Российской науки) ученый получил премию Президента России.  «Математические этюды» Андреева доступны любому пользователю интернета. Некоторые «умные игры», к примеру, интерактивное доказательство теоремы Пифагора, есть и в мобильной версии.

     Так же будет интересен следующий факт: из различных доказательств теоремы – геометрических и алгебраических, существуют и механические!

     Не менее интересна и такая информация: в конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения  о существовании обитателей Марса подобных человеку.  Это явилось следствием открытий итальянского астронома Джованни Скиапарелли, в частности открытие на Марсе каналов, которые  долгое время считались искусственными. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами,  вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем  другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Интервьюирование

     Чтобы определиться с актуальностью выбранной темы исследования я провел опрос тридцати двух жителей дачного поселка от 18 до 67 лет. Из них два студента из технических вузов, пять студентов из гуманитарных вузов,  трое военнослужащих,  двенадцать работающих человек (из них пять представителей рабочих специальностей), трое безработных и семь пенсионеров. И как выяснилось из опроса, большинство респондентов знают формулировку теоремы, но не смогли сформулировать ответ на вопрос: почему теорему Пифагора доказывают уже 25 веков (приложение 1), (слайды 16; 17; 18; 19; 20; 21).

                   ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение                 . Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Учащиеся средних веков доказательство теоремы Пифагора считали очень трудным и называли Dons asinorum-ослиный мост, или elefuga- бегство «убогих», так как не которые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, называли ее так же "ветряной мельницей", «теоремой - бабочкой», «креслом невесты», составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

     В ходе исследования в теоретическом и практическом направлении было выявлено, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии. Значение теоремы состоит в том, что с ее помощью можно решить множество задач и вывести большинство теорем геометрии, в частности, она сыграла  большую роль в доказательстве теоремы Ферма, доказательство которой искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно она была доказана не так давно, в 1995 году Эндрю Уайлсом. А тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы, свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

     Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли "Юный Архимед" (…Гвидо с обожженной  палочкой  в  руках  доказывал  на  каменных  плитах дорожки, что квадрат  гипотенузы  прямоугольного  треугольника  равен  сумме квадратов катетов…). Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона "Менон" (в беседе Сократа и раба). Этой теореме даже посвящены стихи. Пифагор был не только математиком, но и философом. Ему принадлежит немало великих догадок. Вот почему люди помнят его уже две с половиной тысячи лет, а среди знаменитых олимпийских чемпионов Пифагор наиболее знаменит, - ему выпало счастье победить не только соперника, но и время – фактически все вышесказанное и есть ответ на вопрос - почему теорему Пифагора доказывают уже 25 веков.

Вывод: в ходе исследовательской деятельности сделан краткий экскурс по заданной теме, определены возможности применения теоремы Пифагора в жизни, выявлены наиболее интересные факты, связанные со знаменитой теоремой, проведен опрос разновозрастных людей на предмет их познаний о теореме и проанализированы полученные данные, сформулирован ответ на основной вопрос работы, к работе выполнена презентация и сделан макет головоломки «Пифагор» с приложением (приложение 1). Практическая значимость работы будет актуальна в рамках использования материала педагогами при проведении внеклассной работы по предмету, с целью формирования  у детей познавательного интереса к математике, в частности к геометрии. 

О теореме Пифагора:

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

 И ныне теорема Пифагора 

Верна, как и его далёкий век. …

 (Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

(слайды 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.  Ван-Зер-Варден Б.Л., Пробуждающая наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции, М., 1959 г.

2. Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра, Либроком, 2010 г.

3. Глейзер Г.И., История математики в школе, М., 1982 г.

4. Еленьский Щ., По следам Пифагора, М., 1961 г.

5. Литцман В., Теорема Пифагора, М., 1960.г.

6. Скопец З.А., Геометрические миниатюры, М., 1990 г.

7. http://www.clascalc.ru/pithagorean-theorem.htm

8. http://th-pif.narod.ru/index.htm

9. http://no-user.livejournal.com/5347.html

10. http://ru.wikipedia.org        

11. http://ria.ru

12. Статья из журнала "Квант" В. Я.Березин http://www.problems.ru/articles/291.php

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2