ПАРАМЕТРЫ

Слайд 1

Презентацию подготовила ученица 11 класса МБОУ КСОШ имени дважды Героя Советского Союза А. В. Алелюхина Федотова Кристина Уравнения, неравенства и системы с параметром

Слайд 2

Математика полезна тем, что она трудна А. Д. Александров

Слайд 3

Актуальность Уравнения, неравенства и системы с параметром – это одна из важных и трудных тем школьного курса математики. Такие задачи требуют гибкости мышления, умения хорошо и полно анализировать ситуацию. Вот они включаются в олимпиады, во вступительные экзамены многих вузов. Такие задания встречаются и в вариантах ГИА и ЕГЭ соответственно во второй части

Слайд 4

Проблема Уравнения, неравенства и системы с параметром изначально по своей постановке являлись алгебраическим заданием, однако в процессе их решения требуются функциональные и наглядно – геометрические представления. Соответственно необходимо иметь множество теоретических сведений о параметре. Однако действующие учебники математики не дают нужного количества информации. Поэтому вполне закономерно, что процент учеников, приступающих к выполнению 18 задания ЕГЭ, не высок, еще ниже процент набирающих за него от 1 до 4 баллов.

Слайд 5

Цели работы: 1)Узнать, что такое параметры и для чего они предназначены; 2)Систематизировать полученные знания; 3)Научиться логически мыслить при исследовании математических моделей;

Слайд 6

Задачи исследования: 1)Изучить теоретический материал по теме «Параметры»; 2)Просмотреть способы решения уравнений, неравенств и систем с параметрами; 3)Создать проект на основе результатов исследования и защитить его. Объект исследования: задачи с параметрами.

Слайд 7

Параметр – это величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой y = ax + b f (x ) = ax² + bx + c , a≠0

Слайд 8

П араметр является переменной величиной и имеет при этом двойственную природу: параметр – число параметр – неизвестное число

Слайд 9

Параметр своим присутствием в уравнениях и неравенствах оказывает влияние на ряд характеристик: Степень уравнения (Например, уравнение ax² + 8x – 2 =0 при a =0 является линейным, при a ≠0 – квадратным) Характер монотонности функции (Например, функция y = a ˣ при a >1 является возрастающей, а при 0< a <1 – убывающей) ОДЗ переменной ( Например, в неравенстве ОДЗ зависит от a : при a =0 ОДЗ: x ϵ R ; при a >0 ОДЗ: x ≥0; при a <0 ОДЗ: x ≤0 )

Слайд 10

Самые важные правила для решения задач с параметром Применяя формулы, теоремы и свойства, необходимо записать границы их применения; Помнить теоремы Виета; Выделять полный квадрат из квадратного трехчлена; Не делить на ноль; Не извлекать корень чётной степени из отрицательного числа; Не вычислять логарифм неположительного числа; Иметь в виду, что log ₐ x² = 2 log ₐ |x| ; Исследовать отдельно пограничные и предельные значения параметра – это позволит проконтролировать работу; Для ответа на задание «решите уравнение с параметром» записать программу для параметра: разные виды ответа для всех значений параметра от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности».

Слайд 11

П ервоочередная задача, которая встает перед человеком, стремящимся справиться с уравнением или неравенством, содержащим параметр, это выбор наиболее оптимального способа решения данного задания

Слайд 12

Существует два подхода к решению задач с параметром: аналитический графический

Слайд 13

Аналитический способ решения задач с параметрами Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Следовательно, решать задачи с параметром данным способом мы умели сразу после изучения темы «Линейные уравнения» седьмого класса.

Слайд 14

Обычно такие уравнения решаются методом ветвления. Например, дано простейшее линейное уравнение a ∙ x = b , где a и b – параметры . a ∙ x = b a = 0 a ≠ 0 b = 0 0 ∙ x = 0 бесконечно много корней b ≠ 0 0 ∙ x = b корней нет один корень

Слайд 15

Линейные неравенства, содержащие параметр, решаются по схожим правилам . Однако отдельно нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент при x равен нулю, положительный и отрицательный. Это связано с тем, что деление обеих частей неравенства на положительное число не меняет знак неравенства, в то время как деление обеих частей неравенства на отрицательное число приводит к изменению знака неравенства на противоположный ему знак. 1) Если a = 2 , то неравенство примет вид 0 x ≥ 0. Решением данного неравенства является любое действительное число. 2) Если a = 3 , то неравенство примет вид 0 x ≥ 3. Решений нет . 3) П ри a ≠ 2 и a ≠ 3 . Отметим контрольные значения параметра на луче + - + Если a ϵ (2; 3) , то x ≤ a : (a – 3) ; Если a ϵ (-∞; 2) ᴗ (3; +∞) , то x ≥ a : (a – 3). ( a – 2)( a – 3) x ≥ a ( a – 2) 2 3

Слайд 16

Немного сложнее решаются квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры . Ведь требуется больший объем теоретических знаний : теоремы Виета , формулы для разложения на множители квадратного трехчлена , выделение полного квадрата

Слайд 17

Главное, от чего зависит количество корней квадратного уравнения, это значение дискриминанта: если D > 0 , то уравнение имеет два различных действительных корня; если D = 0 , то уравнение имеет два равных корня; если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Слайд 18

П ри каких значениях параметра a оба корня трехчлена x² + 2(a + 1)x + a² + 2 отрицательны? Чтобы успешно его решить, в первую очередь нужно внимательно прочитать условие и выделить ключевые моменты. Так известно, что трехчлен имеет два корня. Значит, D > 0. Поэтому сначала решаем неравенство . Находим, что (2( a + 1))² - 4(a² + 2) > 0 . Далее, используя теорему Виета и учитывая, что свободный член c = a² + 2 > 0, делаем вывод, что корни имеют одинаковые знаки и = -2( a +1) < 0, откуда a > -1.

Слайд 19

Графический способ решения задач с параметрами Графический способ решения задач с параметрами часто называют функционально – графическим. Он может быть применен в заданиях, где неизвестные или параметры стоят под знаком модуля или радикала . Для успешного решения задач с параметром графическим способом требуются знания графиков функций и основных свойств функций.

Слайд 20

Для того, чтобы решать графическим способом уравнения и неравенства с параметром следует также изучить уравнения окружности, ромба, расстояния между центрами двух окружностей, полуокружности. Многие учащиеся не знают общего вида этих уравнений, не говоря уже об их графической иллюстрации.

Слайд 21

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений x² + 20x + y² - 20y + 75 = |x² + y² - 25| x – y = a имеет более одного решения

Слайд 22

Алгоритм решения задач с параметром графическим методом: 1)Преобразуем исходное условие задачи к системе неравенств или уравнений; 2)Если мы неизвестное выражали через параметр или параметр через неизвестное, то вводим систему координат ( a ; x ) или ( x ; a ) ; 3)Изображаем в выбранной координатной плоскости фигуру, которая задается множеством решений системы неравенств; 4)«Сканируем » эту фигуру, двигаясь вдоль оси параметра и определяем, при каких значениях параметра выполняются заданные в задаче условия; 5)Записываем ответ.

Слайд 23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В ходе исследования я открыла для себя абсолютно новый, не знакомый мне ранее, вид задач – задачи, содержащие параметр. Я выяснила, каков смысл параметра в уравнениях, неравенствах и системах и каким образом его значения влияют на их решение. Такие задачи не зря используются в олимпиадах, в экзаменах, потому что они способны вернее всего определить способности ученика к математике. Как показывает статистика, ученик, умеющий решать 18 задание ЕГЭ, может успешно справиться и со всеми остальными заданиями экзамена . При изучении задач с параметрами я повторила ранее изученные формулы, виды уравнений и неравенств, функции и их графики, а также узнала новые. Я пришла к выводу, что главной помехой для решения задач, содержащих параметры, является недостаток теоретических знаний. Ведь подобные уравнения, неравенства и могут решаться и аналитическим, и графическим способом. Следовательно, во-первых, необходимо изучение всего курса алгебры, а также геометрии. Во-вторых, для успешного решения таких заданий требуются дополнительные знания (например, уравнения и графика полуокружности, который в школе не изучается ). При создании проекта я изучила достаточное количество пособий по решению задач с параметром. Некоторые примеры, которые присутствуют в тексте, вполне могут встретиться на ЕГЭ. Поэтому я считаю, что проект можно использовать в качестве материала для проведения уроков и дополнительных занятий по теме «Параметры».

Слайд 24

СПИСОК И ИСТОЧНИКИ ЛИТЕРАТУРЫ: 1. Методическое пособие для учителей математики / Авт. –сост. Долгинцева Л. В. – Тверь: ТОИУУ , 2005. – 104 с. 2. ЕГЭ. Математика. Задания типа C / И.Н. Сергеев. – 2-е изд., перераб . и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 318, [2] с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов») 3. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. «Функция и параметр» - 2012 4. С. К. Кожухов «Уравнения и неравенства с параметром» - Орел, 2013 5. Борткевич Л.К. «Исследование линейных уравнений, содержащих параметр»- Кострома 6. Сурина З.П. «Способы и методы решения задач с параметром» - Москва 7. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М. : Издательство « Национальное образование», 2016. – 256 с. – (ЕГЭ. ФИПИ – школе).