Загадки треугольника

                                         Ноябрьская НПК

Исследовательская  работа

« Загадки треугольника»

Российская Федерация, пгт. Шерловая Гора.

Работу выполнила:

Гаврикова Валерия,

        ученица 9 «А» класса муниципального

        общеобразовательного учреждения:

        Шерловогорская средняя

общеобразовательная школа № 47.

        Руководитель:

        Подгорбунская Ирина Викторовна,

учитель математики

МОУ: Шерловогорская СОШ № 47

2015 г.

«Загадки треугольника»

Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 9 «А» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

Оглавление

1.Краткая аннотация (краткое описание)

2.Аннотация:

Цель работы.

Методы исследования.

Объекты исследования.

3. План исследования:

Проблема исследования работы.

Гипотеза.

4. Введение

5. Научная статья.

6. Исследование.

7. Заключение.

8. Литература.

9.Приложение.

«Загадки треугольника»

Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 9 «А» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

                                                 Краткая аннотация

      Актуальность темы данной работы: привлечь внимание школьников к глубокому изучению геометрии и к решению геометрических задач, в которых необходимо не только знание теоретического материала, но и умение исследовать  и рассуждать логически.

     Цель работы: изучить необходимый теоретический материал по теме: «Треугольники», научиться решать экзаменационные геометрические задачи по данной теме. Работа носит аналитический и поисковый характер.  

    Ценность работы заключается в исследовании, проведенном автором, которое может помочь учащимся успешно подготовиться к ОГЭ и ЕГЭ.

   Объектом исследования стали задачи модуля «Геометрия» ОГЭ в 9 классе и геометрические задачи, которые встречаются на ЕГЭ в 11 классе. Сразу возникает вопрос, для чего же их изучать? Во- первых, задания геометрического содержания на экзамене  проверяют умение решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин. Для успешного их решения, у учащихся должен быть отработан аппарат стандартных вычислений, определения тригонометрических функций угла, теорема Пифагора, основные свойства треугольника. Во-вторых, современная жизнь делает задачи по геометрии актуальными, так как сфера их практического приложения расширяется. Вопросы инновационных технологий в  строительстве, космонавтике, технике невозможны без умения производить необходимые чертежи и вычисления, которые требуют знания важных и интереснейших свойств треугольника.

«Загадки треугольника»

Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 9 «А» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

Аннотация.

Цель  исследования: изучить необходимый теоретический материал по теме: «Треугольники», научиться решать экзаменационные геометрические задачи по данной теме.

Задачи:

 -подобрать геометрические задачи, которые встречаются на ОГЭ и ЕГЭ по теме

  «Треугольники»;

  -научиться рассуждать научно и логически;

  -научиться решать экзаменационные задачи.

Методы исследования:

 - сравнительный анализ литературы;

  -метод анкетирования;

  -статистический;

  - работа с КИМ-ми последних лет по ОГЭ и ЕГЭ.

Объект исследования:

  -геометрические экзаменационные задачи по теме «Треугольники»

   Приступая к данной работе, я выдвинула гипотезу, что умение решать геометрические задачи нужно не только для успешной сдачи экзамена, но и для использования  на практике при проведении различных измерительных работ на местности: определение высоты предмета, нахождение расстояния до недоступной точки, определение ширины реки и т.д.

   Практическая значимость исследования: данная работа поможет учащимся подготовиться к ОГЭ и ЕГЭ. Она может  быть использована на уроках математики  и факультативных занятиях, как  при объяснении нового материала, так и  при повторении. Эта работа так же предназначена для самостоятельного решения геометрических задач и  контроля процесса подготовки учащихся к  ОГЭ и ЕГЭ.

«Загадки треугольника»

Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 9 «А» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

План исследований

Проблема исследовательской работы: современная жизнь делает задачи по геометрии актуальными, так как сфера их практического приложения расширяется. Решение геометрических задач у многих вызывает затруднения, т.к. требует не только знание теоретического материала, но и умение исследовать  и рассуждать логически.  

Гипотеза: умение решать геометрические задачи нужно не только для успешной сдачи экзамена, но и для использования  на практике при проведении различных измерительных работ на местности: определение высоты предмета, нахождение расстояния до недоступной точки, определение ширины реки и т.д.

Основные методы и приемы:  

• социологический опрос учащихся  средней общеобразовательной школы №47;
• анализ научных источников информации;
• обобщение полученных данных;
• исследование.

Объектом исследования я выбрала геометрические экзаменационные задачи по теме «Треугольники». Сразу возникает вопрос, для чего же их изучать? Во- первых, задания геометрического содержания на экзамене  проверяют умение решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин. Для успешного их решения, у учащихся должен быть отработан аппарат стандартных вычислений, определения тригонометрических функций угла, теорема Пифагора, основные свойства треугольника. Во-вторых, современная жизнь делает задачи по геометрии актуальными, так как сфера их практического приложения расширяется. Вопросы инновационных технологий в  строительстве, космонавтике, технике невозможны без умения производить необходимые чертежи и вычисления, которые требуют знания важных и интереснейших свойств треугольника. Проведя анкетирование учащихся 8,9,10,11 классов, я выяснила, что решение геометрических задач у многих вызывает затруднения и порождает страх перед сдачей экзаменов.

Подводя итоги своей работы, я могу сказать, что цель моей работы достигнута частично. Я буду продолжать дальше изучать материал по данной теме и учиться решать задачи повышенной трудности

«Загадки треугольника»

Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 9 «А» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

Введение

Тема моего исследования «Загадки треугольника», а точнее экзаменационные геометрические задачи по теме «Треугольники», для решения которых необходимо не только знание теоретического материала, но и умение исследовать  и рассуждать логически. Решение этих задач у многих вызывают затруднения.  

В современном обществе важным является тот метод изучения математики, который связан с формированием математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках.  Экзаменационные задания геометрического содержания  проверяют умение решать планиметрические задачи на нахождение геометрической величины. Чтобы успешно их решить, у учащихся должен быть отработан аппарат стандартных вычислений, определения тригонометрических функций угла, теорема Пифагора, основные свойства треугольника. В тоже время современная жизнь делает задачи по геометрии актуальными, так как сфера их практического приложения расширяется. Вопросы инновационных технологий в  строительстве, космонавтике, технике невозможны без умения производить необходимые чертежи и вычисления, которые требуют знания важных и интереснейших свойств треугольника.

Основная цель исследования: изучить необходимый теоретический материал по теме: «Треугольники», научиться решать геометрические задачи по данной теме, которые встречаются на ОГЭ и ЕГЭ.

«Загадки треугольника»

Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 9 «А» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

        1.         Научная статья

                                            1.1   Историческая справка

                                                                  Геометрия не дает истинного представления

       о физическом      пространстве, а только служит

для изучения возможных пространств.

Моррис Клайн.

          Геометрия зародилась в Древнем Египте 5-6 тысяч лет назад, как набор правил решения практических задач, возникших в строительстве при распределении земельных участков, измерении площадей и объемов и т.д. Например, египетские пирамиды насчитывают около 4800 лет, а их строительство требовало достаточно точных геометрических расчетов. Но особенно важной была задача распределения земельных  участков. Этим  занимались специальные землемеры, которые были, можно сказать, первыми геометрами.

В Египте  были накоплены обширные  сведения о свойствах  фигур. Эти сведения были заимствованы у египтян  греками. И  так как особенно важной задачей было  измерение земельных участков, то  греки и назвали науку  о фигурах  геометрией, что означает в переводе от греч. «Гео»- земля, «метрео»- измеряю.

Первоначальные сведения о свойствах геометрических фигур люди нашли, наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности. Со временем ученые заметили, что некоторые свойства геометрических фигур  можно вывести из других свойств путем рассуждения, так возникли теоремы и доказательства.

На четыре точки  треугольника было обращено  особое внимание, начиная  с XVIII в., они были названы « замечательными » или  «особенными »  точками треугольника. Это точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров. Исследования свойств  треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом создания новой  элементарной математики- «геометрии треугольника», одним из родоначальников которой был  Леонард Эллер. Большой  вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики XIX-XX вв. Лемуан,  Брокар,  Тебо и др.

Прокл в своем комментарии к  « Началам» Евклида пишет относительно предложения о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следующее: « Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия он принес в жертву быка». На основе этих и других преданий долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и назвали ее поэтому « теоремой Пифагора».

В Китае предложение о квадрате гипотенузы было известно, по крайней мере, за 500 лет до Пифагора. Эта теорема была известна и в Древней Индии, об этом свидетельствуют предложения, содержащиеся  в «Сутрах».

К 3 веку до н.э. геометрия становится дедуктивной наукой, т. е. наукой, в которой, подавляющее большинство фактов устанавливается путем вывода, доказательства. К этому времени относится книга «Начала», написанная древнегреческим учёным Евклидом. В своей книге Евклид систематизировал известные к тому времени геометрические сведения, выделил аксиомы.

После Евкида многие поколения математиков стремились улучшить данную им систему аксиом. Большую роль сыграли работы современника Евклида – древнегреческого учёного Архимеда, который сформулировал аксиомы, относящиеся к измерению геометрических величин. Из математиков более позднего времени большой вклад в усовершенствование аксиоматики геометрии внесли замечательный русский математик Н.И.Лобачевский, немецкий математик Д.Гильберт, венгерский математик Я.Больяй, «король математики» К.Ф.Гаусс и другие учёные.

1.2  Старинные задачи

    О том, что в давние времена были накоплены и широко использовались свойства и аксиомы  треугольника,  говорят старинные задачи.

Задача1 (из древнего индийского трактата).

Над озером тихим,

С   полфута  размером, высился лотоса цвет          

Он рос  одиноко. И ветер порывом  

Отнес его в сторону.

Нет боле цветка над водой

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос,

И так, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Решение

Треугольник АВС – прямоугольный, АВ=АС+. Тогда по теореме Пифагора АВ2=АС2+СВ2, (АС +)2=АС2 + 22, АС=3фута. Ответ:3фута.

Задача2 (индийского математика  XIIв. Бхаскары).

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки,

Осталось три фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Ответ:8 футов.

Задача 3 (из древнего китайского трактата).

Имеется квадратный водоем со стороной в один чжан. В центре его растет камыш, который выступает над водой на один чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается, какова глубина водоема и какова длина камыша.(чжан ичи – меры длины,1 чжан=10 чи).

3. Справочный материал по теме «Треугольники»

Во время исследовательской работы мною было установлено, что для успешного выполнения экзаменационных заданий ОГЭ и ЕГЭ нужна определённая система знаний по теме «Треугольники».

• Треугольник – фигура, которая состоит  из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно  соединяющих эти точки.      
•  

Точки А, В, С называются вершинами  треугольника. Отрезки АВ, ВС, АС называются   сторонами треугольника. Углы АВС, ВСА и  ВАС – углы треугольника.        

• Сумма углов треугольника равна 180º.∟А+∟В+∟С=180º
• В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.                             АВ
• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла – большая сторона. Если АВ>АС,  то ∟С>∟В.

• Классификация треугольников  по углам

• Треугольник называется остроугольным, если все три его угла острые.

• Тупоугольным называется треугольник, если один из углов  тупой.

• Треугольник называется прямоугольным, если один из углов прямой.                                                                                                                                                

     Гипотенуза - сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу.                                          

    Катеты – стороны прямоугольного треугольника, между которыми лежит прямой угол.

Теорема Пифагора:   В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.   ВС2= АВ2  + АС2

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла  прямоугольного  треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.     Высота СН=   .

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.    Медиана СД=    . 

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. Катеты АС=  ; СВ=.

• Классификация треугольников по    сторонам.

• Треугольник называется равносторонним (правильным), если все его стороны равны.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        В равностороннем треугольнике все углы равны.

• Треугольник  называется равнобедренным,   если две его стороны равны.                                                                                    

          В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.        

          В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

• Треугольник называется  разносторонним, если все стороны разной длины.                                                                                     

 Треугольники называются равновеликими, если они имеют одну и ту же площадь.

Два треугольника  называются равными, если их можно наложить один на другой так, чтобы они совпали всеми своими точками.                                                          

• Средняя линия  треугольника– отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине.

PQ ║ AB и  PQ=1/2 AB

• Внешний угол   треугольника – это угол смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов .           ∟ВАМ=∟В+∟С

• Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту     S=аh
• Площадь прямоугольного треугольника с катетами а и в равна половине произведения катетов треугольника   S=ав

 «Загадки треугольника»

Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 9 «А» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

2. Исследование

Исследуя, решая и анализируя геометрические задачи ОГЭ и ЕГЭ, мною было выделено несколько групп планиметрических задач по теме «Треугольники».      

• Задачи, на нахождение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника

1.В треугольнике ABC  угол C равен 90о, AB = 10, AC = 8. Найдите cosB.

                                       Решение:

В прямоугольном ΔABC по теореме Пифагора BC = =6.

Следовательно, cosB= =0,6 .

Ответ: 0,6.

2. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, высота CH= 6, AC = 10. Найдите tgA.                                               Решение:

В прямоугольном  ΔACH  по теореме Пифагора  AH = =8.                        

Следовательно, tgA =   =0,75.

Ответ. 0,75.

• Задачи, на нахождение сторон прямоугольного треугольника

1.В ΔABC  угол C = 90о, tgA = 0,75, AC = 8. Найдите AB.

                             Решение:

Так как tgA =  ,то  0,75 =  . Имеем  ВС=8∙ 0,75=6.                                                             По теореме Пифагора находим AB == 10.

Ответ: 10

2. Диаметр основания конуса равен 18, а длина образующей равна 41.

     Найдите высоту конуса.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник,  в нем радиус основания=18:2=9 является катетом, образующая конуса- гипотенуза. По теореме Пифагора: =40

Ответ: 40

3.  В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO =12, AC =18. Найдите боковое ребро SB .

                                                            Решение:   

Т.к. боковые ребра пирамиды равны, можно рассмотреть треугольник SОС- прямоугольный. ОС=18:2=9. По теореме Пифагора найдем SС==15

Ответ: 15

• Задачи, на нахождение высоты  прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла

1. В ΔABC  угол C равен 90о, CH – высота, BC = 6, cosA = 0,8. Найдите CH.                  Решение:

Так как ВС=6, и cos А =     =  , следовательно АС=8, АВ=10. По свойству АС=, тогда 8=  ,  значит АН=6,4. По теореме Пифагора СН= =4,8.

Ответ: 4,8.

• Задачи, на нахождение элементов равнобедренного треугольника

1. В ΔABC   AC = BC = 10,  sin В = 0,8. Найдите AB.

                          Решение:           

Проведем высоту CH. Так  как sinВ =     .  Имеем CH = ВC ∙ sinВ = 10∙0,8=8. По теореме Пифагора находим ВH = =6.  Так как Δ АВС равнобедренный, то АН=НВ и, следовательно, AB = 12

Ответ: 12.

2. В ΔABC AC = BC, AB = 10, cosA = 0,6. Найдите высоту AH .

                   Решение:

В равнобедренном ΔABC  угол A равен углу B, следовательно cosA=cosВ=0,6, тогда BH = AB ∙ cosB =10∙0,6=6. По теореме Пифагора находим AH==8.

Ответ: 8.

3. В ΔABC  AB = BC, высота CH равна 5,tg C =    . Найдите AC .

                                  Решение:   

В равнобедренном  ΔABC угол A равен  углу C,значит tgС=tg А=  = ,  тогда АН= =  = 5 .          

По теореме Пифагора находим AC= = 10.

Ответ: 10.

4. В треугольнике ABC известно, что AB=BC=15, AC=24. Найдите длину медианы BM.

                             Решение:   

Т.к. треугольник АВС равнобедренный ВМ является высотой. Рассмотрим треугольник АВМ- прямоугольный: АМ=24:2=12(ВМ-медиана), ВМ=  =9

Ответ: 9            

• Задачи на внешний угол треугольника

1.В ΔABC  угол C равен 90о, AB = 10, BC = 6. Найдите синус внешнего угла при вершине A Д              Решение:   

Так как ∟ДАВ= 180 º - ∟ВАС,  то sin ∟ДАВ=  sin (180 º - ∟ВАС)=sin ∟ВАС=0,6.

Ответ: 0,6.

• Задачи, на нахождение угла между медианой и высотой, биссектрисой и высотой, медианой и биссектрисой, проведённых из вершины прямого угла

1. Острые углы прямоугольного треугольника равны 51ºи 39º.Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах                Решение:   

По свойству ∟А=51°, а СН – высота, то ∟АСН=90°-51°=39°.Так как СД -биссектриса, то ∟АСД=∟ДСВ=∟АСВ:2=90°:2=45°. Следовательно ∟НСД=∟АСД-∟АСН=45°-39°=6°.

Ответ:6.

2.Острые углы прямоугольного треугольника равны 53 и 37°.Найдите угол между медианой и высотой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.                          

Так как СН высота, то ∟АСН=90°-∟А=90°-53°=37°. Поскольку ∟АСВ=90°, то∟НСВ=90°-∟АСН=53°. По свойству медианы прямоугольного треугольника СД=ДВ, следовательно, ∟ДСВ=∟ДВС=37°,отсюда ∟НСД=53°-37°=16°    

Ответ:16.

• Задачи на нахождение площади треугольника

1.Найдите площадь треугольника, если его основание равно 6, а высота треугольника 4.

Решение: S=(6х4):2=12

Ответ: 12

2.Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 13, а один из катетов 12

Решение: По теореме Пифагора найдем второй катет: =5. S=(12х5):2=30

Ответ: 30

3. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

                Решение:

Считаем полные клетки: основание- 9, высота- 5. S=(9х5):2=22,5

Ответ: 22,5

• Практическое приложение

    Геометрия давно стала языком науки и техники. В настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь, все более внедряется в традиционно далекие от нее области.  Она помогает людям в решении многих практических задач, позволяет рассуждать о формах окружающего мира, помогает познать его красоту и многообразие.

Задача 1. Для определения расстояния от пункта В до недоступной точки С отметили на местности  точку А, находящуюся от пункта В на расстоянии 50 метров. Измерили  угол А и угол В,  оказалось, что ∟А=90о , ∟В=60 о .  Найти расстояние от пункта А до недоступной точки С.  

                         Решение:

cosВ =    , тогда  cos60º =   , следовательно ВС=   =100. Или угол С=900-600=300. Против угла в 300 лежит катет равный половине гипотенузы: ВС=50х2=100

Ответ: 100

Задача 2. Для определения высоты дерева АС  измерили расстояние  ВС  равно

6 метров и  угол В равен 60º. Найти высоту дерева.

                     Решение:

 Так как tg В =  , то tg60 º = , следовательно АС=6∙

Ответ: АС=6∙

Задача 3. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

                        Решение:

S1=15х2=30, S2=20х2=40. По теореме Пифагора АВ=50

Ответ: 50 км

Задача 4. Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 17 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 8 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

                                                           Решение:

Рассмотрим подобные треугольники и составим отношение сходственных сторон х:1,6=25:8. Решив пропорцию, найдем высоту фонаря: (25х1,6):8=5

Ответ: 5 м

Задача 5. Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах.

                               Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, найдем высоту по теореме Пифагора: = 8

Ответ: 8м

«Загадки треугольника»

Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 9 «А» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

школа № 47

Заключение

Исследование и решение мною геометрических задач показало, что свойства треугольников, тригонометрические формулы  широко используются при решении планиметрических задач, а так же используются  на практике при проведении различных измерительных работ на местности: определение высоты предмета, нахождение расстояния до недоступной точки, определение ширины реки и т.д.

Подводя итоги своей работы, я могу сказать, что цель моей работы достигнута частично. Я буду продолжать дальше изучать материал по данной теме и учиться решать задачи повышенной трудности.

Данная исследовательская работа поможет учащимся подготовиться к ОГЭ и ЕГЭ. Она может  быть использована на уроках математики  и факультативных занятиях, как  при объяснении нового материала, так и  при повторении. Эта работа так же предназначена для самостоятельного решения геометрических задач и  контроля процесса подготовки учащихся к  ОГЭ и ЕГЭ.

«Загадки треугольника»

Гаврикова Валерия

Российская Федерация, Забайкальский край, пгт. Шерловая Гора, 9 «А» класс, муниципальное общеобразовательное учреждение: Шерловогорская средняя общеобразовательная

 школа № 47

Литература

1. Материалы сайтов по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ (открытый банк заданий ФИПИ)
2. А.Л. Семенова и И.В. Ященко «ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся», Ярославль « Интеллект-центр», 2015
3. И.В. Ященко, С.А.Шестаков, А.С.Трепалин «ОГЭ 9. Типовые тестовые задания», Москва «Экзамен», 2015
4. Геометрия.7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций/ Л.С.Атанасян- М: Просвещение, 2014

Приложение

Приложение № 1

Анкета

1. Испытываете ли вы страх перед предстоящими экзаменами по математике?
2. Испытываете ли вы трудности при решении геометрических задач?
3. Хорошо ли вы знаете теорию по теме «Треугольники»?
4. Можете ли вы помочь своим одноклассникам в решении экзаменационных геометрических задач?

      Было опрошено 75 учащихся МОУ СОШ № 47 – 8, 9,10 и 11 классы

Приложение № 2

Задачи для самостоятельного решения.

1. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=182, АС=70.Найдите tg А.
2. В треугольнике АВС угол С равен 90°,cosB=0,6, АВ=5. Найдите АС.
3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна 10, а высота, проведённая к основанию, равна 8. Найдите косинус угла А.
4. В треугольнике АВС угол С равен 90°,АВ=5,АС=3. Найдите sinА.
5. В треугольнике АВС угол С равен 90°,СН-высота,АВ=39,tgA=. Найдите АН.
6. В треугольнике АВС АС=ВС, высота СН равна 2,5, sinA=. Найдите АВ.
7. В треугольнике АВС угол С равен 90°,tgA=0,4. Найдите tgВ.
8. В треугольнике АВС угол С равен 90°,sinA=0,48. Найдите cosВ.
9. В треугольнике АВС угол С равен 90°,cosA=, ВС=2. Найдите АВ.

10.Острые углы прямоугольного треугольника равны 52и 38°. Найдите угол между медианой и высотой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

11. Острые углы прямоугольного треугольника равны 52ºи 38º.Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

13. Острые углы прямоугольного треугольника равны 52ºи 38º.Найдите угол между медианой  и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

13.В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол В равен 30°, ВС= 3. Найдите АС.

14.В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол А равен 60°, ВС= . Найдите АС.

15.В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол А равен 30°. Найдите синус угла ВАД.( угол ВАД – внешний угол треугольника).

16.В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол В равен :60°. Найдите синус угла ВАД.( угол ВАД – внешний угол треугольника).

17.Один острый угол прямоугольного треугольника на 30°больше другого. Найдите больший острый угол.

18.В треугольнике АВС АС=ВС, угол С равен 120°, АВ=. Найдите АС.

19. Длины двух катетов прямоугольного треугольника 3 и 4. Найдите значение длины третьей стороны.

20. Длины гипотенузы и катета треугольника 10 и 6. Найдите длину другого катета.

ОТВЕТЫ