Математические софизмы

I городской научно-практический марафон «Шажок в науку»

I этап

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

Математические софизмы.

Выполнена ученицей 5 класса

Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения

 «Средняя общеобразовательная школа №225»

г.Заречного

Ивановой Дарьей

Научный руководитель –

учитель математики

 Жилякова Т.Н.

2016 год

Оглавление:

Введение.

Закройте дверь перед всеми ошибками, и истина не сможет войти.

Рабиндронат Тагор.

Вы не топчитесь на месте, а идете вперед, если делаете одни только новые ошибки.

NN

Как часто в жизни мы употребляем понятие «наступить на те же грабли» в случае, когда понимаем, что повторяем свои ошибки. А если понять суть произошедшего, то можно в дальнейшем избежать такого повторения.

В математике существуют задачи, в которых ошибки делают намеренно с той целью, чтобы учащиеся их нашли и определили причину их возникновения. Такие задачи или высказывания называют софизмами.

История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Объект исследования – различные виды софизмов.

Цель  - изучить различные виды  и способы выявления ошибок.

Задачи:

• рассмотреть три вида софизмов
• научиться  их опровергать

Методы исследования:

• работа с литературой
• работа в сети Internet

1. Что такое софизмы?

1.1. Понятие софизма.

Софи́зм (от греч., «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

В данной работе представлены три группы софизмов:

• арифметические
• алгебраические
• геометрические

Мы рассмотрим примеры на каждый вид.

1.2. Арифметические софизмы.

В математике принято арифметическим софизмом называть числовое выражение, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Пятью пять  - сорок восемь

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство:

25:25= 48:48.

После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 25∙(1:1)=48∙(1:1) или (5∙5)(1:1)=48(1:1).

Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения 25(1:1)=48(1:1).

Устанавливаем: 5∙5=48.Где ошибка?

Ошибка в том, что применен распределительный закон умножения только не относительно сложения или вычитания, для которых является верным, а для деления.

Опровергнуть можно следующим образом:

25:25=25∙(1:1)

Упростим обе части отдельно: 1=25. Что не является верным равенством.

Чётное и нечётное

5 есть 2 + 3 („два и три“). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, так же, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!

Ошибка в том, что по определению четным называется число, которое без остатка делится на 2. Предположение о том, что обязательно и сумма, его составляющая должна делиться на 2 неверно. Так же является ошибочным высказывание о нечетности суммы (3+4 и 3+5).

1.3. Алгебраические софизмы.

Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Дважды два равно пяти

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d.

Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b.

Перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a·a=2db-b·b.

Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d·d.

Будем иметь: a ²-2da+d²=b² -2bd+d², или (a-d)²=(b-d)², откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2·2=5.
Где ошибка?

Ошибка в предположении, что числа будут равны, если будут равны их квадраты.

2²=4

(-2)²=4

2≠-2

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

Все числа равны

Возьмём два разных числа, такие что: a < b

Тогда существует такое c > 0, что:  a + c = b

Умножим обе части на (a − b), имеем:  (a + c)(a − b) = b(a − b)

Раскрываем скобки, имеем: a² + ca − ab − cb = ba − b²

cb переносим вправо, имеем: a² + ca − ab = ba − b² + cb

a(a + c − b) = b(a − b + c)

a = b

Ошибка в том, что по условию a + c = b, а значит  a + c − b = 0. А на ноль делить нельзя.

1.4. Геометрические софизмы.

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Спичка вдвое длиннее телеграфного столба

Пусть, а дм- длина спички и b дм - длина столба.

Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c, b = a + c.

Перемножаем эти два равенства по частям : b² - ab = ca + c².

Вычтем из обеих частей bc : b²- ab - bc = ca + c² - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c),

 откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.
В выражении b (b-a-c )= -c (b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

Заключение.

В итоге хотелось бы выделить основные ошибки, которые превращают доказательство абсурдного высказывания (софизма) в верное.

Среди основных можно назвать:

• деление на 0
• неверное использование математических понятий и определений
• неправильное использование законов арифметических действий.

Все это возможно было выделить лишь при тщательном анализе представленных доказательств, пришлось вспомнить большое количество программного материала.

Можно утверждать смело, что проделанная работа помогла понять, что нужно внимательнее относится к собственной работе, а совершенную ошибку тщательнее анализировать.

Литература:

1. Математический праздник. –М.:Бюро Квантум, 2004.(Библиотечка «Квант», вып.88)

2. Популярная комбинаторика /Н.Я.Виленкин – М.:Издательство «Наука», 1975.

3. Материалы сайта http: ermine.narod.ru.; http://ru.wikipedia.org/wiki/Софизм  и http://slovari.yandex.ru/

4. А. Г. Мадера «Математические софизмы»- М.: «Просвещение», 2003

5. Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин «Математическая шкатулка»