Исследовательский проект "Тайна пятого постулата"
«Дополнительные главы» к учебнику геометрии, посвященной пятому постулату Евклида, его эквивалентам, попыткам доказательства. Рассказ о людях, занимавшихся этой проблемой, об их жизни и научном пути.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 описание проекта | 1.82 МБ |
 электронный вариант книги | 2.2 МБ |
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
От автора. Для нас, школьников, в нескольких строках учебника описывается 2000 лет научных изысканий, побед и поражений человечества. Как будто жил был ученый Евклид, ни с того ни с сего написавший некую книгу. Потом было многовековое равнодушное молчаливое согласие – и вот на горизонте объявился «супермен» Лобачевский (русский ученый, к тому же), который переворачивает все «с ног на голову». Его, конечно, не понимают и не принимают. А он, как всякий русский, создавший себе трудности, мужественно преодолевает их. И потом (после смерти, естественно), к нему приходит слава и благодарные потомки осознают свои ошибки и глубоко раскаиваются… Мне кажется, все это напоминает аннотацию к какому-нибудь триллеру. А ведь это и была полная драматизма великая эпопея жарких научных споров и гениальных открытий. Всепоглощающая идея, в костре которой сгорали жизни выдающихся людей. История триумфов и разочарований, доказательств и опровержений. История, достойная пристального изучения. История с «человеческим лицом». История, которую интересно читать и перечитывать. 2
Оглавление. Глава 1. История проблемы пятого постулата Евклида. ( Понятие аксиоматической теории. Хронология развития аксиоматической теории. Евклид – первооткрыватель ли? Кто такой Евклид? О «Началах». О пятом постулате Евклида. Глава 2. О тех, кто пытался доказать пятый постулат. Постулат о параллельных линиях у греков. Прокл . Птолемей. Аганис . Постулат о параллельных линиях у арабов. Нассир-Эддин . Постулат о параллельных линиях в эпоху Возрождения в XVII веке. Джордано Витале . Джон Валлис. Общие черты и характерные ошибки. Предшественники неевклидовой геометрии. Джироламо Саккери . Иоганн Генрих Ламберт. Адриен Мари Лежандр. Глава 3. Попытки доказательства пятого постулата. Доказательства постулата о параллельных линиях у греков. Прокл . Птолемей. Аганис . Доказательства постулата о параллельных линиях у арабов. Нассир-Эддин . 3
Доказательства постулата о параллельных линиях в эпоху Возрождения в XVII век3.3.1. Джордано Витале Джон Валлис Попытки предшественников неевклидовой геометрии Джироламо Саккери Постулат Валлиса Постулат Бойяи Теорема 1 Саккери-Лежандра Глава 4. Эквиваленты пятого постулата Евклида. Понятие эквивалентности аксиом Предложение Прокла-Плейфера Постулат Валлиса Постулат Бойяи Глава 5. Крутой поворот в истории науки. Истоки неевклидовой геометрии. «Соратники и последователи» Н.И. Лобачевского. Н.И.Лобачевский. «Воображаемая геометрия» - «мертвый груз» или шаг в будущее? Глава 6. Как так получилось? Вместо послесловия. Использованная литература. 4
Глава 1. История проблемы пятого постулата Евклида. В этой главе читатель узнает об аксиоматическом строении науки, опредшественниках Евклида и его знаменитых «Началах». А еще о том, евклидову ли геометрию мы изучаем в школе… Понятие аксиоматической теории. Математика как наука строится на фундаментальной концепции аксиоматического метода и понятия аксиоматической теории. Суть их состоит в следующем. Выбирается ряд первоначальных понятий, которые не определяются и используются без объяснения их смысла. Вместе с тем, все другие понятия, которые будут использоваться, должны быть строго определены через первоначальные неопределённые понятия и через понятия, смысл которых был определён раньше. Высказывания, определяющее таким способом значение понятия, называется определением, а само понятие, смысл которого определён, носит название определяемого понятия. Евклид сделал попытку строго определить все первоначальные понятия геометрии: точки, прямой, плоскости и т.д. Но совершенно ясно, что эти понятия должны определяться через какие-то другие, те в свою очередь, должны опираться на следующие понятия, и так далее, так что процесс бесконечен. Таким образом, первоначальные понятия аксиоматической теории не определяются. Совершенно аналогична ситуация и с утверждениями о первоначальных и об определяемых понятиях. Невозможно доказать все истинные утверждения об этих понятиях, потому что при доказательстве нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, при их доказательстве, в свою очередь, - на следующие, и так без конца. Поэтому и здесь необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их истинными. Такие утверждения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами аксиоматической теории. Вопрос о том, какие утверждения о первоначальных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специального рассмотрения. Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее, на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых, т.е. такие утверждения, которые многократно подтверждались практическим опытом человечества. 5
Итак, после того, как система аксиом аксиоматической теории выбрана, приступают к развитию самой аксиоматической теории. Для этого, исходя из выбранной системы аксиом, пользуясь правилами логического умозаключения, выводятся новые утверждения о первоначальных понятиях, а также об определяемых понятиях. Получаемые утверждения называются теоремами данной аксиоматической теории. Изложенный метод построения математической теории носит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиом есть дело условия: одно и тоже утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлён по-иному. Итак, если в обыденной жизни за термином «аксиома» утвердился его изначальный смысл (в переводе с греческого «аксиома» означает «достойный признания), именно смысл самоочевидной, безусловной истины, то в математике, при построении аксиоматических теорий, аксиомы условны. Они «достойны признания» не сами по себе, не ввиду их самоочевидной истинности, а потому что на их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы становятся теоремами. Коротко говоря, аксиомы – это то, из чего выводятся теоремы, а теоремы – то, что выводится из аксиомы. Таким образом, суть аксиоматического построения математической теории состоит в том, что сначала выбирается ряд первоначальных понятий, который не определяются и используются без объяснения их смысла. Далее, формулируется ряд первоначальных утверждений, которые принимаются без доказательства и которые называются аксиомами. Наконец, исходя из выбранной системы аксиом, доказывают новые утверждения о первоначальных понятиях, а также о понятиях, которые определяются в процессе развития аксиоматической теории. Эти доказываемые утверждения называются теоремами, а совокупность всех теорем, выводимых (доказываемых) из данной системы аксиом, называется аксиоматической теорией, построенной на базе этой системы аксиом. 6
Хронология развития аксиоматической теории. Евклид – первооткрыватель ли? Формирование современного понимания существа аксиоматического метода происходило на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки. Истинное начало науки о геометрических фигурах и телах, конечно же, теряется в глубине тысячелетий. Начальное оформление первых геометрических представлений обычно связывают с древнейшими культурами Вавилона и Египта (3-2 тысячелетия до н.э.). С VII века до н.э. начинается пириод развития геометрии трудами греческих учёных. Пифагорейская школа в VI - V веках до н.э. продолжила геометрические исследования. Её основоположник Пифагор (560-470 или 580-500 г.г. до н.э.) в молодости около двадцати лет учился мудрости в Египте, ещё десяти – в Вавилоне. Несомненно, что в школе Пифагора геометрия сделала первые шаги от геометрии измерения участков земли к обобщениям, абстракциям и рассуждениям. Величайший философ античности Платон (428-348 г.г. до н.э.) создатель Академии, по-видимому, первым отчётливо поставил задачу построения всего научного знания вообще и геометрии в частности дедуктивным образом. Трактаты и учебники по геометрии появились ещё до Платона – известны руководства Гиппократа Хиосского , Демокрита , Февдия . но лишь Платон потребовал, чтобы во главу всякой отрасли знания были поставлены понятия и положения, из которых всё остальные, что к этой отрасли относятся должно вытекать как их следствия. Но эта постановка у Платона всё же весьма расплывчата и контуры её лишь угадываются из всего его учения, построенного на полумистической базе. 7 Пифагор Пифагор Платон Гиппократ Демокрит
Гениальный ученик Платона, великий Аристотель (384-322 г.г. до н.э.), перешагнул через мистические догмы Платона, выявил его рациональные требования научного обоснования всякого знания всякой научной деятельности. Он охватил почти все достигнутые для его времени отрасли знания, стал основоположником научного метода и многих наук. Наука, по Аристотелю, представляет собой последовательность предложений, относящихся к некоторой области. Среди этих предложений имеются основные, которые настолько очевидны, что не требуют доказательств. Это – аксиомы. Остальные предложения должны быть выведены из них. Это – теоремы. Эта научная доктрина Аристотеля была принята как руководство к действию, прежде всего, математики. И когда примерно полстолетия спустя появился гениальный труд Евклида «Начала», то в его структуре явно просматривалась печать схемы Аристотеля. Более 2000 лет «Начала» служили единственным руководством, по которому учились геометрии юноши и взрослые в странах запада и востока. Это была первая в истории человечества поистине научная книга: в ней геометрия была представлена как аксиоматическая теория, исходя из тех принципов, формулировки которых восходили к Аристотелю и Платону. Наибольший интерес исследователей евклидовой системы обоснования геометрии на протяжении многих веков вызывал V постулат: «И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороной с которой эта сумма меньше двух прямых». Пространственность его формулировки толкала исследователей на то, чтобы доказать его, вывести из остальных постулатов и аксиом и тем самым исключить его из числа постулатов. 8 Евклид Аристотель Папирус из Оксиринха Посидоний
Такие исследования велись в элленическую эпоху ( Посидоний , I в до н.э., Санкери , XVIII в., Ламберт XVIII в.), Это была эпоха Евклида в истории обоснования геометрии, эпоха его продолжателей и усовершенствователей , период наивно-аксиоматического построения геометрии. В начале XIX века вместе с безуспешными попытками доказательства V постулата она подходит к концу. Она рождала из себя выдающееся открытие – новое понимание оснований геометрии и новый шаг в понимании сути аксиоматического метода. 11 февраля 1826 г. в заседании Физико-математического факультета Казанского университета профессор Н.И. Лобачевский (1792-1856 г.г.) сообщил об открытии: V постулат Евклида лежит в основе теории параллельных прямых. Значения открытия Лобачевского неизмеримо велико для геометрии. Во-первых, он «закрыл» проблему V постулата, стоявшую перед геометрами 2000 лет, доказав, что V постулат логически не зависит от остальных аксиом геометрии, т.е. не является их необходимым следствием. Во-вторых, V постулат потому именно не вытекает из остальных постулатов, что наряду с геометрией Евклида, в которой этот постулат верен, возможна другая «воображаемая», геометрия, в которой V постулат не выполняется. В-третьих, открытие Лобачевского дало новый взгляд на суть аксиоматического метода, который получил своё дальнейшее развитие. Аксиомы – это вовсе не самоочевидные истины. Это – утверждения о каких-то первоначальных понятиях, принимаемые без доказательств и кладущиеся в основе теории, из которых все дальнейшие утверждения теории логически выводятся. Истинно то, что может быть логически доказано (выведено) из принятых аксиом. И, в-четвёртых, открытие новой, как её обычно называют, неевклидовой геометрии положило конец существовавшеё до Лобачевского точке зрения, согласно которой евклидова геометрия представлялась единственно мыслимым учением о пространстве. 9 Лобачевский
К концу 60-х годов XIX века, когда идеи Лобачевского были уяснены и признаны основной массой математиков и те приступили к их дальнейшему развитию, с новой силой встала проблема аксиоматического построения геометрии. К концу XIX и в начале XX века было опубликовано много работ на эту тему. Наибольшую популярность получило сочинение немецкого математика Д. Гильберта «Основания геометрии», вышедшие в 1899 году. В этой книге Гильберт привёл полную систему аксиом евклидовой геометрии, т.е. такой набор основных предложений, из которых все остальные утверждения геометрии могут быть доказаны логическим путём, доказал противоречивость этой системы и независимость некоторых аксиом от остальных аксиом системы. С выходом в свет этой книги вопрос о логическом обосновании геометрии фактически был закрыт. Более того, были окончательно осознаны те идеи и принципы, которые характеризуют суть аксиоматического подхода к обоснованию геометрии, а также суть аксиоматического метода вообще. Было принято, что значит построить аксиоматическую теорию и на какие вопросы при этом необходимо дать ответы. Это вопросы, связанные с непротиворечивостью, полнотой и категоричностью этой теории и независимостью её системы аксиом. Различные системы аксиом, исходящие из различных первоначальных понятий, строились как до выхода книги Гильберта (М. Пашем в 1882 году), так и после её выхода, вплоть до начала 20-х годов (Г. Вейлем в 1916 году). Этим был завершён второй этап развития аксиоматического обоснования геометрии абстрактно-аксиоматическое построение геометрии. Геометрические исследования, начатые Лобачевским, привели к тому, что в начале XX века было сформировано фундаментальнейшее понятие современной математики – понятие (математического или геометрического) пространства как некой совокупности однородных объектов произвольной природы (точек, векторов, фигур, функций и т.п.), взаимное отношения между которыми удовлетворяют той или иной системе аксиом. Такое понимание позволило геометрическим идеям, оплодотворённым аксиоматическим методом, проникнуть во многие области математики, физики и других наук. При этом и сама геометрия стала развиваться всё шире, математика становилась всё более единой наукой, а границы её многообразных областей, в том числе и геометрии, становились всё менее чёткими. 10 Д.Гильберт Г. Вейль
Поистине цементным раствором, соединившим прочнейшими связями основания всех областей математики, явилась в XX веке математическая логика. С её помощью был исследован сам процесс доказательства, процесс вывода теорем из аксиом. Тем самым аксиоматический метод получил дальнейшее своё развитие и достиг в определённом смысле вершины. Аксиоматические теории сами стали точными математическими объектами, названными формальными системами, и стали изучаться математическими методами, стала строиться теория также математических теорий (теория формальных систем), называемая метатеорией. Это направление было начато в работах Гильберта и получило название метода формализации и обоснования математики. В рамках метатеории геометрии были доказаны непротиворечивость, категоричность, полнота и разрешимость аксиоматической теории евклидовой геометрии, а также и геометрии Лобачевского. Можно сказать, что в XX веке состоялся третий этап развития аксиоматического метода. 11
Кто такой Евклид? Евкли́д или Эвкли́д ( др.-греч . Εὐκλείδης, от «добрая слава», время расцвета — ок . 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э. Евклид — первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» ( Στοιχεῖα , в латинизированной форме — «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию Древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений по математике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского , а также « Поризмы », представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид — автор работ по астрономии, оптике, музыке и др. К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера », «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии». 12
Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея . Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учёбы». Историчность рассказа сомнительна, поскольку аналогичный рассказывают и о Платоне. Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла — Евклид жил во времена Птолемея I Сотера — в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона . Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар . Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там «Начала» Аполлония . Анонимная арабская рукопись XII века сообщает: «Евклид, сын Наукрата , известный под именем «Геометра», учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира…» В целом количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространенная) что речь идет о коллективном псевдониме группы александрийских ученых. 13
О «Началах» «Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa ) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии. Считается вершиной античной геометрии и античной математики вообще, итогом её трёхсотлетнего развития и основой для последующих исследований. «Начала», наряду с двумя трудами Автолика из Питаны — древнейшее из дошедших до современности античных математических сочинений; все труды предшественников Евклида известны только по упоминаниям и цитатам позднейших комментаторов. Напомним нашим читателям, что подобные сочинения создавались и до Евклида: «Начала» были написаны Гиппократом Хиосским , а также платониками Леонтом и Февдием . Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности. В «Началах» излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, отношения по Евдоксу . В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского. Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно . Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, например, ссылка «I, Определения, 2» — второе определение первой книги. 14 Гипоксикл Александрийский
Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I, Определения, 1—7) гласят: Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν — букв. «Точка есть то, часть чего ничто») Линия — длина без ширины. Края же линии — точки. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται ) Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Края же поверхности — линии. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях. За определениями Евклид приводит постулаты (I, Постулаты, 1—5): От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг. Все прямые углы равны между собой. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых За постулатами следуют аксиомы (I, Аксиомы, 1—9), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам: Равные одному и тому же равны и между собой. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны. И удвоенные одного и того же равны между собой. И половины одного и того же равны между собой. И совмещающиеся друг с другом равны между собой. И целое больше части. И две прямые не содержат пространства. 15
Затем Евклид излагает теоремы геометрии и задачи на построение под общим названием предложения, располагая их в строгой последовательности так, что доказательство (решение) каждого последующего предложения опирается только на предыдущие теоремы, постулаты и аксиомы. Вот некоторые из этих предложений: ...Параллельные прямые образуют с любой секущей равные соответственные углы и сумма внутренних односторонних углов равна двум прямым. ( Предложение29 ) …Если в двух треугольниках две стороны одного равны двум сторонам другого, то и углы, содержащиеся между равными сторонами, равны, то и основание одного треугольника равно основанию другого, и один треугольник равен другому, и остальные углы одного треугольника равны остальным углам другого, именно равны углы, противолежащие равным сторонам. …Внешний угол треугольника больше любого противоположного внутреннего. Евклид первым поставил задачу обоснования геометрии, т.е. перечисления определений и аксиом, на основе которых можно развивать геометрию строго логическим путем. В этом его историческая заслуга перед наукой. Логическое построение геометрии было проведено Евклидом для его времени чрезвычайно точно. Но, с точки зрения современной математики, изложение «Начал» надо признать неудовлетворительным. Данные в первой книге определения геометрических объектов являются скорее описанием их, причем далеко не совершенным. Так, например, определение 3 прямой линии содержит упоминание о длине и ширине, которые сами нуждаются в определении. Целый ряд определений, в том числе окружности, треугольника, прямого, острого и тупого угла, либо безупречны, либо содержат легко устранимые недостатки. Если при этом учесть, что свойства геометрических объектов, содержащиеся в дефектных определениях, нигде в доказательствах не используются, то эти определения могут быть опущены без ущерба для изложения. 16
Что касается постулатов и аксиом, то их формулировки безупречны, содержащиеся в них утверждения существенны и составляют основу следующих за ними доказательств. Обратимся к доказательствам. По замыслу автора «Начал», доказательства всех предложений должны, в конечном счете, опираться на свойства геометрических объектов, определяемых постулатами и аксиомами. Но в этих доказательствах неоднократно используются такие свойства геометрических объектов и отношений между ними, которые не выясняются ни постулатами, ни аксиомами. Во времена Евклида некоторые понятия геометрии («лежать между», «движение», «непрерывность» и др.) еще не были разработаны. Итак, было найдено, что список предложений, принятых без доказательства (постулатов и аксиом), является недостаточным, чтобы на его основе можно было построить геометрию строго логическим путем. Таким образом, «Начала» Евклида не дают безупречного логического обоснования геометрии. Но логическое построение «Начал», аксиоматика Евклида воспринималась математиками как безупречное вплоть до 19 века, когда начался период критического отношения к достигнутому. Изложение геометрии в «Началах» считалось образцом, которому стремились следовать ученые за пределами математики. В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги, лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Апполония и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в 19 веке «неевклидовых геометрий». 17 Архимед
«Начала» Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяли от Евклида самые старые известные списки, семь столетий — сколько-нибудь подробные сведения о «Началах». В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги «Начал» пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли «улучшениями» позднейших комментаторов. Едва ли можно указать в истории какую-либо другую книгу, которая могла бы сравниться с «Началами» Евклида по длительности своего влияния на культуру и науку цивилизованных народов, по той роли учебника в течение тысячелетий, как это имело место с «Началами» Евклида. 18
О пятом постулате Евклида Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат — одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом. На современном языке текст Евклида можно переформулировать так: Если (на плоскости) при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 180°. Уточнение, с какой именно стороны пересекаются прямые, Евклид добавил, вероятно, для ясности — легко доказать, что оно вытекает из самого факта существования пересечения. Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, более простых и очевидных. Поэтому в течение двух тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида». Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. 19 Йохан Людвиг Гейберг
Глава 2. О тех, кто пытался доказать пятый постулат. Наиболее интересные попытки доказательства V постулата заслуживают хотя бы краткого знакомства с ними. Доказательства мы поместим в отдельную главу и посвятим ее наиболее заинтересованным и подготовленным читателям. А в этой главе нас более интересуют личности исследователей и то, насколько их формулировки близки к современным. Изложенные выше особенности V постулата Евклида, как уже говорилось, постоянно обращали на себя внимание математиков последующих веков. Если при этом учесть, что вплоть до конца XIX века царила та точка зрения, что безусловным и неотъемлемым признаком аксиом и постулатов является их непосредственная очевидность, то станут понятными упорно стремление и не прекращавшиеся в течение двух тысячелетий попытки доказательств V постулата, то есть сведение его в разряд теорем. Таким образом, наряду с тремя знаменитыми задачами древности (квадратуры круга, трисекции угла, удвоения куба) возникла не менее знаменитая проблема доказательства V постулата. 20
Постулат о параллельных линиях у греков Прокл Прежде всего, следует сказать об одном из древнегреческих геометров-комментаторов, «Начал» - Прокле . Время жизни Прокла восстанавливается по источникам как 410—485 гг. Биограф Прокла Марин приводит его гороскоп, по астрономическим данным которого дата рождения Прокла определяется как 8 февраля 412 г. Прокл родился в греческом городе-колонии Византий в семье богатого адвоката из Ксанфа . Намереваясь пойти по стопам отца, подростком уехал в Александрию, где учился сначала риторике, затем заинтересовался философией и стал учеником александрийского неоплатоника Олимпиодора Старшего. Именно у него Прокл начал изучать логические трактаты Аристотеля, в трактовке которых он, как сообщает Марин, достиг успеха уже в то время. В возрасте 20 лет Прокл переезжает в Афины, где Платоновскую Академию в то время возглавлял Плутарх Афинский. Плутарх, несмотря на свой преклонный возраст, стал заниматься с Проклом лично, изучая с ним трактат Аристотеля «О душе» и диалог Платона « Федон ». Через два года Плутарх скончался, передав руководство школой своему ученику Сириану , у которого Прокл продолжил своё обучение. Марин сообщает, что уже к 28-летнему возрасту Прокл написал одну из своих главнейших работ, комментарий на платоновского « Тимея ». Около 450 г., после смерти Сириана , Прокл становится схолархом Платоновской Академии. Время жизни Прокла — закат древнегреческой цивилизации. Языческие культы ещё отправлялись, но христиане все больше настаивали на их запрете. В это время из Парфенона была изъята знаменитая статуя Афины работы Фидия, что в окружении Прокла было воспринято как кощунство. В полемике с христианами Прокл не был пассивной стороной — как сообщает Суда, он написал «Возражения против христиан» в 18 книгах (работа не сохранилась). В какой-то момент конфликт христиан с академиками приобрел такое напряжение, что Прокл был вынужден на год уехать из Афин в Лидию. 21
Во время путешествия по Азии Прокл познакомился с некоторыми восточными учениями, которые синтезировал с собственной системой. Религиозная практика, молитвы солнцу, ритуалы при Прокле стали в Академии необходимой составляющей самого образовательного процесса. Марин сообщает, что Прокл «дни и ночи» проводил в молитве, в орфических и халдейских очищениях и в исполнении «всяких других религиозных обрядов». В личной жизни Прокл придерживался аскетических принципов: не был женат, воздерживался от мясной пищи и соблюдал посты согласно указаниям богов, являвшихся ему во сне. По словам Марина, именно чрезмерный аскетизм был причиной его сравнительно ранней смерти: "От грубой и несносной пищи, от слишком частых омовений и тому подобных надсад цветущее тело его изнурилось". Прокл не чуждался общественной деятельности; он принимал участие в городских собраниях. Умер в Афинах, в возрасте 73 лет, оставив преемником Марина. Похоронен в Афинах в одном склепе со своим учителем Сирианом . Прокл в своих комментариях на первую книгу «Начал» Евклида не только сам пытается доказать V постулат, но и сообщает ценные сведения о таких попытках, сделанных до него. Сам Прокл дает доказательство V постулата исходя из следующего, принимаемого им за очевидное: «Расстояние от точки, лежащей на одной стороне острого угла до другой его стороны при удалении этой точки от вершины угла может быть сделано как угодно большим». Это предложение может быть доказано и без помощи V постулата и принадлежит абсолютной геометрии. На основании этого предложения Прокл доказывает теорему: «Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую». В доказательстве Прокл пользуется предпосылкой, что расстояние между параллельными конечно. Использованное свойство параллельных прямых не содержится явно в остальных постулатах и аксиомах. Более того, оно из них не может быть выведено, так как является новым постулатом, равносильным пятому. 22
Птолемей Кла́вдий Птолеме́й ( ок . 100 — ок . 170) оставил после себя наследие в таких областях как астрономия, астрология, математика, механика, оптика, теоретика музыки и география. Он жил и работал в Александрии Египетской (достоверно в период 127-151 гг.), где проводил астрономические наблюдения. Клавдий Птолемей — одна из крупнейших фигур эллинизма. В астрономии Птолемею не было равных на протяжении целого тысячелетия — от Гиппарха (II в. до н. э.) до Бируни (X—XI вв. н. э.). История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у современных ему авторов. В исторических работах первых веков нашей эры Клавдий Птолемей иногда связывался с династией Птолемеев, но современные историки полагают это ошибкой, возникшей из-за совпадения имён (имя Птолемей было популярным на территории бывшего царства Лагидов ). Римский номен (родовое имя) Клавдий ( Claudius ) показывает, что Птолемей был римским гражданином, и предки его получили римское гражданство, скорее всего, от императора Клавдия. Главным источником сведений о жизни Птолемея являются его собственные работы, которые выстраиваются в хронологической последовательности по перекрестным ссылкам. Отрывочные биографические сведения позднеантичных и византийских авторов не являются надежными, хотя сообщение Феодора Мелитениота (XIV в.) о происхождении Птолемея из Птолемаиды Гермиевой в Верхнем Египте заслуживает внимания. Широкая эрудиция Птолемея и активное использование работ предшественников, вероятно, обусловлено активным использованием им ресурсов Александрийской библиотеки. Птолемей сформулировал и доказал теорему, из которой легко выводится пятый постулат Евклида: «Если даны две параллельные прямые и секущая, то сумма внутренних односторонних углов равна 2d» (см. книгу). Но Прокл опроверг доказательство Птолемея, доказав противоположную теорему: «Две прямые, пересеченные третьей, не встречаются и тогда, когда сумма внутренних односторонних углов меньше 2d». 23
Аганис Другое очень древнее доказательство V постулата принадлежит Аганису ( IX век н.э.). Это доказательство основывается на предположении, что существуют прямые, равноотстоящие друг от друга, то есть параллельные. Из этого предположения он выводит: 1) кратчайшее расстояние между двумя параллельными прямыми есть отрезок, перпендикулярный обеим прямым; 2) две прямые, перпендикулярные к одной и той же третьей, друг другу параллельны; 3) две параллельные прямые, пересеченные третьей, образуют внутренние односторонние углы, взаимно дополняющие друг друга до двух прямых углов и наоборот. Теперь рассмотрим, как Аганис строит точку пересечения двух прямых неравно отстоящих друг от друга. То есть с помощью построения он доказывает свое предложение: «Если можно построить точку пересечения прямых, то они не равноотстоят друг от друга». 24
Постулат о параллельных линиях у арабов Нассир-Эддин Насир-Эддин ( Абу-Джафар Мухаммед ибн-Гасан аль-Тузи ) — арабский математик и астроном, живший в 1201-1274гг, родом из Персии. После молодости, проведенной в путешествиях, он предложил свои услуги халифу Альмустазиму в Багдаде; получив презрительный отказ, удалился к врагу халифа, монгольскому великому хану Гулагу Ильхану , внуку Чингисхана. Здесь он был не только ласково принят, но скоро сделался любимцем хана. Одним из результатов влияния Насир-Эддин на хана было сооружение в 1259 г. астрономической обсерватории в Мераге , близ Тавриза . Мерагская обсерватория обладала прекрасным собранием астрономических инструментов и богатейшей для своего времени библиотекой, рукописи которой, по повелению хана, с большим старанием собирались в Хорасане, Сирии, Багдаде, Моссуле и в других местах. В эту же обсерваторию хан пригласил лучших астрономов и математиков своего государства, в помощники к Н. Частью при их содействии, главным же образом на основании собственных 12-летних наблюдений Насир-Эддин составил астрономические таблицы, очень скоро сделавшиеся знаменитыми во всей Азии. В честь великого хана он назвал их ильханскими таблицами. Перевод их на латинский язык издан в 1652 г. в Лондоне и затем перепечатан в III т. "Малых географов". Насир-Эддин также писал о теории небесных движений и об астролябии. Он оставил после себя более 20 оригинальных и переводных сочинений. В области математики Насир-Эддин принадлежат оригинальные сочинения, посвященные изложению арифметики, алгебры и геометрии, и многочисленные переводы произведений греческих математиков и астрономов: Евклида ("Элементы"), Архимеда, Автолика , Гипсикла , Менелая , Птолемея (4 книги " Алмагеста ") и Феодосия. Арабский текст его перевода "Элементов", вместе со сделанным с него латинским переводом, напечатан в Риме в 1594 г. и в Лондоне в 1657 г., под заглавием: " Euclid . Elementorum LL. XIII Studio Nass i reddini Tusini pr. arab . impressi ". 25
Написанный для этого перевода комментарий представлял замечательный для своего времени и до него едва ли не единственный пример критического отношения к Евклиду. Выдается еще комментарий Насир-Эддин на "Конические сечения" Аполлония , которым пользовался Галиллей при своем восстановлении утраченных 5—7 книг этого сочинения. Нассир-Эддин пользуется критерием Аганиса . Ставит свою аксиому: «Если из двух параллельных прямых r и s одна перпендикулярна, другая наклонна к отрезку AB, отрезки перпендикуляров, опущенных из s на r , будут меньше AB с той стороны, с какой AB образует с s острый угол, и больше AB с той стороны, с какой AB образует с s тупой угол». Отсюда следует теорема 1: «Если отрезки AB и A1B1, расположенные по одну сторону от BB1, равны между собой и перпендикулярны отрезку BB1, то прямая AA1 перпендикулярна AB , а отрезок AB равен BB1, значит, фигура AA1B1 B есть прямоугольник». Доказано существование прямоугольника, то есть четырехугольника с равными противоположными сторонами и четырьмя прямыми углами, значит можно доказать еще одну теорему 2: «Сумма углов треугольника равна 2d» . Теорема 3 (частный случай): «Если даны три прямые, две из которых являются перпендикуляром и наклонны к третьей, то перпендикуляр пересекается с наклонной». Теорема 4 (общий случай): «Любые две прямые из данных непараллельных прямых пересекаются». Итак, Нассир-Эддин доказал V постулат Евклида, пользуясь предположением, которое равносильно V постулату и может быть доказано, если V постулат принять в качестве исходного предположения. Эти доказательства длинные и сложные, но они содержат идеи, отчетливо выдвигающие вопрос о связи суммы углов треугольника с V постулатом Евклида, который лег в основу позднейших выдающихся исследований Саккери и Лежандра. 26
Постулат о параллельных линиях в эпоху Возрождения в XVII веке Джордано Витале . Джордано Витале (15 октября 1633 - 3 ноября 1711) был итальянским математиком. Джордано родился в Битонто на юго-востоке Италии. Вероятно в подростковом возрасте он покинул (или был вынужден покинуть) родной город. Он стал солдатом в армии Папского. Во время своих приключений он читал свою первую книгу математики, PRACTICA Aritmetica по Клавиусу . В двадцать восемь, живя в Риме, он решил посвятить себя математике. Наиболее важной литературой для него были «Начала» Евклида в итальянском переводе Commandino . В Риме он познакомился с известными математиками Джованни Борелли и Микеланджело Риччи , которые стали его друзьями. Он был нанят в течение года, как математик экс-королевы Швеции Кристины во время ее последнего пребывания в Риме. В 1667 году при Людовике XIV он стал преподавателем математики во Французской академии, а в 1685 году он получил кафедру математики в престижном университете Sapienza в Риме. Джордано Витале , определяет параллельные линии, как линии равноотстоящие, и старается доказать теорему: «Геометрическое место точек, равноотстоящих от некоторой прямой, есть прямая». Доказательство Витале не представляет интереса, но в нем содержится теорема, которую мы будем рассматривать и дальше. Теорема 2: «Если в четырехугольнике с двумя прямыми углами и равными боковыми сторонами, перпендикуляр к основаниям разбивает исходный четырехугольник на два, то новые четырехугольники подобны». При помощи этой теоремы Джордано сводит вопрос о равноотстоящих прямых на доказательство существования на DC точки H , расстояние которой от AB было бы равно отрезку AD или CB . Это самый интересный результат из всех, что были достигнуты в теории параллельных линий к тому времени. 27
Джон Валлис Джон Валлис — английский математик. Сын священника из Эшфорда , графство Кент. Уже в молодости вызывал восхищение как феноменальный счётчик: как-то в уме извлёк квадратный корень из 53-значного числа. Однако никакого математического образования он не получил, занимаясь самостоятельно. По окончании Кембриджского университета (Эммануэль-колледж, 1632—1640) стал священником англиканской церкви и получил степень магистра. После женитьбы (1645) вынужден был покинуть университет, так как от профессоров в те годы требовался обет безбрачия. Блестяще знал языки: латинский, греческий, иврит, в 1647-1648 годах самостоятельно совершенствовался в математике, изучая труды Декарта и Отреда . Вскоре начал собственные математические исследования. В период революции прославился расшифровкой перехваченных писем сторонников короля. Однако он выступил против казни короля Карла I. Репутация выдающегося математика, заслуженная Валлисом к тому времени, привела к тому, что в 1649 году его пригласили в Оксфорд занять освободившуюся там (после изгнания нескольких роялистов) кафедру геометрии, которую Валлис занимал до кончины в 1703 году. Исполнял также почётные обязанности хранителя Оксфордского университетского архива. Джон Валлис отбросил понятие о равенстве расстояний, к которому безуспешно прибегали предшествующие геометры, и дал новое доказательство V постулата, которое основывается на следующей теореме: «Для любой фигуры имеется подобная фигура произвольной величины». 28
Общие черты и характерные ошибки Попытки доказательств V постулата наталкивались на огромные трудности, причем эти трудности были специфическими, так как были связаны с нашими основными понятиями и пространственными представлениями, с основами самой геометрической науки, они требовали особой проницательности и силы отвлеченной логической мысли, особенно глубокого проникновения в структуру геометрии. За разрешение этой проблемы брались математики самых различных рангов, но все попытки оказались тщетными. Типичной ошибкой большинства доказательств V постулата являлось сознательное или бессознательное использование какого-либо утверждения, не содержащегося явно в остальных постулатах и аксиомах и не вытекающего из них. Обычно автор доказательства незаметно для себя опирался на некоторое допущение, которое оказывалось еще одним эквивалентом V постулата. Допуская, что V постулат не верен, геометры пытались прийти к логическому противоречию, которое и доказывало бы истинность V постулата. 29
Предшественники неевклидовой геометрии Джироламо Саккери Джироламо Саккери ( 1667—1733) — итальянский математик, иезуит, создатель первого наброска неевклидовой геометрии. В Турине и Павии преподавал богословие, логику, метафизику, арифметику, алгебру, геометрию и другие математические науки. Под влиянием математика Джованни Чева были написаны Саккери два математические сочинения: « Quaesita Geometrica etc .» и « Neostatica » .В печати появились ещё его « Logica demonstrativa » и сочинения по богословию. Вполне оригинальным мыслителем явился Саккери в своём главном труде, озаглавленном «Евклид, очищенный от всех пятен» (« Euclides ab omni naevo vindicatus »), изданном в Милане в 1733 г. В нём автор, опередив на столетие творцов неевклидовой геометрии, Лобачевского и Бойяи , заменяет пятый постулат Евклида на альтернативный постулат гиперболической геометрии (Лобачевского) и доказывает целый ряд теорем этой геометрии. Он рассматривает четырёхугольник, аналогичный четырёхугольнику Ламберта и правильно отвергает одну из трех альтернатив относительно четвёртого угла: гипотезу тупого угла. Однако дальше, в результате вычислительной ошибки он делает неверный вывод, что эта геометрия содержит в себе противоречие и отвергает и гипотезу острого угла, которая, на самом деле, не может быть опровергнута в рамках абсолютной геометрии. Саккери рассуждает: «…если предположить ложность V постулата Евклида, то путем получения противоречия можно доказать его истинность». Саккери пользуется 16 предложением Евклида: «…внешний угол треугольника больше каждого противоположного внутреннего». При доказательстве его Евклид в скрытом виде допускает, что прямая бесконечна (он признает, что существует отрезок, в два раза больше данного). 30
Также Саккери пользуется аксиомой Архимеда и предположением о непрерывности прямой для того, чтобы распространить на все фигуры данного типа все свойства, известные для одной. Теорема 1 (частный случай): «Если в четырехугольнике равны боковые стороны и углы при основании равны каждый d , то углы при другом основании также равны между собой». Теорема 2 (общий случай): «Если в четырехугольнике одна боковая сторона меньше другой и углы при одном основании равны каждый d , то при другом основании тот угол больше, который прилежит к меньшей стороне». Все это приводит к справедливости леммы, которая относится к абсолютной геометрии. Лемма 1: «Если в четырехугольнике с прямыми углами А и В стороны AD и BC равны, то угол C равен D. Если же стороны AD и BC не равны, то из двух углов C и D тот больше, который прилежит к меньшей стороне». Далее Саккери , говоря о величине углов C и D , принимает три гипотезы: 1) Угол C = углу D = d – гипотеза прямого угла. 2) Угол C = углу D < d – гипотеза острого угла. 3)Угол C = углу D > d – гипотеза тупого угла. Что касается гипотезы прямого угла, то она, как доказал Саккери , равносильна V постулату Евклида (ее можно также приравнять к доказательству Нассир-Эддина ). Следовательно, если удастся доказать, что гипотезы острого и тупого угла приводят к противоречию с другими аксиомами и постулатами Евклида или ранее доказанными теоремами, то тем самым будет доказана справедливость гипотезы прямого угла, а вместе с тем и V постулата. Эту задачу и поставил себе Саккери . И если бы ему это удалось, то получилось бы безупречное доказательство от противного V постулата Евклида. Рассмотрим несколько простейших теорем, доказанных Саккери , в предположении той или иной гипотезы. 31
Теорема 4: «…В случае справедливости гипотезы прямого угла в четырехугольнике ABCD имеем: AB = CD ; в случае справедливости гипотезы острого угла имеем: AB < CD , в случае справедливости гипотезы тупого угла, имеем: AB > CD , и обратно». Дальше Саккери доказывает теорему 3: «..если одна из гипотез верна для какого-нибудь одного четырехугольника Саккери , то она будет справедлива и для всех четырехугольников того же типа» . Теорема 3 (2 случай): «Если гипотеза острого угла верна в одном случае, то она верна и в любом другом случае» . Эту теорему Саккери доказывает сразу методом от противного. Теорема 3 (3 случай) Саккери : «Если гипотеза тупого угла верна в одном случае, то она верна и в любом другом случае» . Итак, теоремы-гипотезы доказаны. Из них Саккери получает ажный вывод относительно треугольников. Теорема 5 Саккери : «В соответствии с тем, выполняется ли гипотеза прямого или острого, или тупого угла, сумма углов треугольника = 2d, < 2d или >2d» . Саккери легко доказывает эту теорему, затем ей обратную путем приведения к абсурду; и, как следствие этих выводов, он получает следующую теорему: «Если в одном треугольнике сумма углов равна двум прямым углам, больше или меньше двух прямых углов, то и во всех других треугольниках сумма улов будет та же (и для всех прямоугольных треугольников, как частного случая, и для всех остальных - общего случая, ибо произвольный треугольник можно разложить на два прямоугольных, проведя высоту)». Таким образом, Саккери доказал эквивалентность предложения о сумме внутренних углов треугольника, соответствующей гипотезе об углах четырехугольника Саккери . Лемма 2 Саккери : «В прямоугольном треугольнике ABC c прямым углом C, точкой H – серединой стороны AB, точкой K – основанием перпендикуляра, опущенного из H на AC, выполняются соотношения:1) AK = KC – при гипотезе прямого угла; 2) AK > KC – при гипотезе острого угла; 3) AK < KC – при гипотезе тупого угла». 32
Далее Саккери расширяет лемму следующим образом. Лемма 2 1 Саккери : «Если на одной стороне угла, начиная начиная с вершины А, отложить ряд равных последовательных отрезков АА 1 , А 1 А 2 , А 2 А 3 ,… и если построить соответственные проекции АВ 1 , В 1 В 2 , В 2 В 3 на другой стороне угла, то будут иметь место такие соотношения: 1) АВ 1 = В 1 В 2 = В 2 В 3 и т.д. – при гипотезе прямого угла; 2) АВ 1 < В 1 В 2 < В 2 В 3 и т.д. – при гипотезе тупого угла; 3) АВ 1 > В 1 В 2 > В 2 В 3 и т.д. – при гипотезе острого угла». Затем Саккери доказывает теорему 3 Нассир-Эддина (частный случай) для гипотез Теорема 6: «При гипотезе прямого угла и при гипотезе тупого угла перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой пересекаются». Теорема 7: «При гипотезе прямого угла и при гипотезе тупого угла справедлив V постулат Евклида». Этот результат позволяет Саккери заключить, что гипотеза тупого угла не верна. В самом деле: при этой гипотезе имеет место V постулат Евклида, значит, справедливы и обычные теоремы, выводимые из этого постулата. Но в таком случае, сумма углов в основном четырехугольнике равна 4 d , значит, справедлива гипотеза прямого угла. Саккери , чтобы доказать, что V постулат справедлив, безусловно, старается разрушить также гипотезу острого угла. На этом пути он открывает много интересных теорем, связанных с допущением гипотезы острого угла и парадоксальных с точки зрения обычной геометрии. Теорема 8 Саккери : «В случае гипотезы острого угла существуют такие перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой, которые не пересекаются». Развивая дальнейшие следствия из гипотезы острого угла, Саккери , в частности приходит к построению, которое положил в основу своей геометрической системы Лобачевский. Саккери показал, что в случае гипотезы острого угла в множестве прямых, проходящих через точку А , лежащую вне прямой a , имеются две прямые p , q , асимптотические к а , обе они разделяют пучок А на две части, из которых одна состоит из прямых, пересекающих а , а другая – из прямых, имеющих с а общий перпендикуляр. 33
Саккери показал также, что в случае гипотезы острого угла перпендикуляр к стороне острого угла сначала пересекает вторую сторону, а потом по мере удаления от вершины, перестает ее пересекать, при этом существует предельный первый не пересекающий перпендикуляр. Саккери открыл тот факт, что в случае гипотезы острого угла геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть кривая. Будучи, однако, убежденным, что никакой другой геометрии, кроме Евклида, существовать не может, Саккери после весьма длинного исследования различных следствий гипотезы острого угла, в конце концов, приходит к ложному заключению, что гипотеза острого угла приведена к противоречию, и что она «противоречит природе прямой линии». Значение Саккери в истории развития геометрии в том, что он первый проложил новый плодотворный путь в исследовании проблемы V постулата. Он, например, установил, что площадь треугольника пропорциональна разности между 2 d и суммой углов треугольника (так называемый дефект треугольника), а так же открыл существование некоторой абсолютной единицы длины. 34
Иоганн Генрих Ламберт Иоганн Генрих Лaмберт ( Johann Heinrich Lambert ) - немецкий астроном, математик, физик, философ, родился в Мюльхаузене (Эльзас) 26 августа 1728 года в семье портного. В возрасте 12 лет вынужден был оставить школу, чтобы помогать отцу, однако продолжал учиться самостоятельно. В 15 лет стал переписчиком, в 17 лет секретарем издателя в Базеле. Занимался математикой и астрономией. С 1748 по 1758 был домашним учителем. В этот период началась научная деятельность Ламберта. Первая его научная работа посвящена тепловым измерениям. После прекращения преподавательской деятельности Ламберт некоторое время проводил астрономические наблюдения в Швейцарии, затем переехал в Мюнхен, где участвовал в организации Баварской академии наук. Из астрономических работ ученого наиболее известны исследования кометных орбит (1761) и особенностей движения Юпитера и Сатурна. Ламберт ввел понятие двойных звезд, выдвинул идею иерархического строения Вселенной. Многие его гипотезы были впоследствии подтверждены наблюдениями У.Гершеля. В 1760 вышел его фундаментальный труд по фотометрии, в котором были введены основные понятия силы света, яркости, освещенности и получен ряд фотометрических закономерностей (закон поглощения света средой, который первоначально, в 1729, был установлен П.Бугером , ныне известный как закон Бугера – Ламберта). Ламберт впервые доказал иррациональность чисел П(1761) и e (1766); усилить данное утверждение и доказать трансцендентность этих чисел удалось только спустя сто лет. Ламберт стал одним из основателей неевклидовой геометрии. В посмертно изданной книге «Теория параллельных» (1786) он высказал ряд глубоких мыслей о роли «пятого постулата» в геометрии и привёл ряд теорем геометрии Лобачевского, которую считал непротиворечивой. Ламберт никогда не считал, что доказал V постулат. Он первый заметил, что если на поверхности шара приписать большим кругам роль прямых линий, то гипотеза тупого угла будет полностью реализована на сфере. Ламберт делает правильное замечание, что сферическая геометрия не зависит от V постулата Евклида. В конце XVIII века в Европе наблюдается оживленный интерес к исследованиям по основаниям геометрии. Этот интерес, прежде всего, был обусловлен Великой французской революцией 1789 года (деятельностью французских просветителей XVIII века). 35
Адриен Мари Лежандр Адриен Мари Лежа́ндр (18 сентября 1752 — 10 января 1833) — французский математик. Лежандр закончил Коллеж Мазарини , с 1775 года — преподаватель Военной школы в Париже. Член Парижской Академии наук (с 1783 года). В годы Французской революции Лежандр, вместе с Лагранжем и Лапласом, активно участвовал в Комиссии по введению метрической системы, в частности, в измерении длины одного градуса между Дюнкерком и Барселоной для установления эталона метра. В 1795г. был назначен профессором Нормальной школы, а в1799г. заменил на посту экзаменатора Политехнической школы Лапласа, с которым он вместе преподавал ранее в Военной школе. В1816г стал профессором Политехнической школы. К несчастью, из-за какой-то бюрократической ошибки пенсия Лежандра была отменена в 1824 году, и остаток своих дней он прожил в нужде. Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни. В честь Лежандра также названы множество математических теорем и понятий, в частности: Гипотеза Лежандра; Многочлены Лежандра; Преобразование Лежандра; Символ Лежандра; Теорема Лежандра; Хи-функция Лежандра. Также его имя носит один из кратеров лунной поверхности. Он создал превосходный учебник «Начала геометрии» (1794), выдержавший несколько изданий при его жизни, множество переводов и, сверх того, посмертные переработки другими авторами. "Начала геометрии" послужили образцом для всех дореволюционных учебников по элементарной математике в России. Достоинства этого учебника не испортили даже безуспешные попытки автора доказать в этой книге пятый постулат Евклида. В разных изданиях книги Лежандр дал целых три доказательства V постулата, все ошибочные. 36
В отличие от Саккери , в качестве исходной основной фигуры, Лежандр берет треугольник и рассматривает проблему параллельности с точки зрения вопроса о сумме углов треугольника. Поставив целью доказать V постулат без введения заменяющих его новых постулатов, Лежандр, прежде всего, непосредственно показывает, что если принять без доказательства, что сумма углов треугольника равна 2 d , то V постулат может быть доказан как теорема. Тем самым, Лежандр непосредственно устанавливает эквивалентность этих двух предложений. Теорема 1: «Если сумма углов треугольника равна 2 d , то имеет место V постулат Евклида». Эквивалентность V постулату предложения о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 2 d , была доказана. Поэтому Лежандр задается вопросом, что можно сказать о сумме углов треугольника, не зависимо от V постулата, и допускает три гипотезы. Для доказательства V постулата необходимо привести к противоречию вторую и третью гипотезы и этим их устранить. В этом направлении и ведет исследование Лежандр Теорема 2: « C умма углов треугольника 2 d ». Итак, вторая гипотеза устранена, остается привести к противоречию третью гипотезу. Теорема 3: «Если в одном треугольнике сумма углов треугольника = 2 d , то это имеет место и в другом треугольнике». Теорема 4 Лежандра: «Если в одном треугольнике сумма углов треугольника < 2 d , то это имеет место и в другом треугольнике». Теоремы 3 и 4 приводят к заключению, что если удастся доказать, хотя бы для одного треугольника, что сумма углов = 2 d , то V постулат Евклида будет доказан. Все такие доказательства Лежандра оказались ошибочными, но, тем не менее, они интересны своим остроумием и изяществом и поучительны в том отношении, что вскрыли ряд эквивалентов V постулата. 37
На основании всего изложенного можно дать следующую оценку исследованиям Лежандра теории параллельных. Лежандр по существу проблемы V постулата никаких новых результатов, по сравнению с Саккери , не дал. Все его результаты содержатся у последнего геометра, более того, Саккери ушел гораздо дальше Лежандра в полученных следствиях из гипотезы острого угла. Тем не менее, заслуга Лежандра заключается в том, что, взяв за исходную фигуру треугольник, он с особенной отчетливостью установил непосредственную связь вопроса о сумме углов треугольника с V постулатом Евклида. При этом большое значение имеет талантливая и доступная форма изложения, в которую облек свое сочинение Лежандр. Нужно признать, что трудности в разрешении проблемы параллельных были колоссальны. Они таились в непререкаемости авторитета Евклида, в укоренившихся привычках пространственного представления, подтверждаемых повседневным опытом. К этому следует добавить значительное тормозящее влияние на умы кантовской философии, рассматривавшей пространство не как нечто объективно существующее, а как априорную форму сознания и считавшей аксиомы геометрии безусловными истинами, данными нам вне или до опыта. . 38
Глава 3. Попытки доказательства пятого постулата. Тем, кто не силен в доказательствах, эту главу можно не читать. Она для тех, в чьих сердцах найдут отклик следующие строки: Когда полюбишь формул сочетанье – Сухие цифры сразу оживут. В них творчество, романтика, дерзанье, Народов опыт и тяжелый труд. И откровеньем станет теорема, Светло и ярко открывая даль. И каждая задача – как поэма, Которой сердце отдавать не жаль… В этой главе приведены авторские доказательства теорем, сформулированных ранее . 39
Постулат о параллельных линиях у греков Прокл Теорема: «Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую». Доказательство: Пусть a 1 , a 2 , b , c – прямые, причем a 1 параллельна b,a 2 , b , c пересекаются в точке А. Возьмем на a 2 точку В и опустим перпендикуляр из нее на b . Докажем, что a 1 пересекается с a 2 в точке С. Так как при удалении точки B от точки A, ее расстояние от b неограниченно растет, а расстояние между параллельными прямыми a 1 и b конечно, то на a 2 найдется точка С – точка пересечения прямых a 1 и a 2 – искомая. 40
Птолемей Теорема: «Если даны две параллельные прямые и секущая, то сумма внутренних односторонних углов равна 2d». Доказательство: Пусть AB, CD – параллельные прямые, а FG – секущая, тогда и – внутренние левосторонние углы, 1 и 1 – внутренние правосторонний углы.. Докажем, что сумма + = 2d (или 1 + 1 = 2d). Допустим, что сумма + будет либо > 2d, либо < 2d, либо = 2d. Допустим, что если для одной пары параллельных прямых имеет место первый случай ( + > 2d), то он верен и для всякой другой пары. Но, так как FB параллельна GD (в силу параллельности FA и GC), то из того, что + > 2d следует, что 1 + 1 >2d . Отсюда: + + 1 + 1 > 4d, но это, очевидно, противоречит действительности. Поэтому не может быть, чтобы + было бы > 2d. Таким же образом доказывается невозможность того, что + < 2d. Следовательно: + = 2d ( 1 + 1 = 2d). Из этого результата легко вывести V постулат Евклида. 41
Теорема: «Две прямые, пересеченные третьей, не встречаются и тогда, когда сумма внутренних односторонних углов меньше 2d» Доказательство: Пусть AB, CD – прямые, AC - секущая. Обозначим середину AC точкой E. Докажем, что AB не пересекается с CD. Отложим по ту сторону, где сумма внутренних односторонних углов < 2d, на AB и CD отрезки AF = AE, CG = AE. Две прямые AB и CD не могут пересечься между точками A, F и C, G, потому что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Соединим точки F и G, обозначим середину отрезка FG точкой H. Аналогично отложим на AB и CD отрезки FK = FH и GL = FH. Две прямые AB и CD не могут пересечься между точками F, K и G, L . Т.к. этот процесс может повторяться бесконечно, то можно заключить, что прямые AB и CD никогда не встретятся. 42
Аганис Теорема: «Если можно построить точку пересечения прямых, то они не равноотстоят друг от друга». Доказательство: Пусть AB, CD - прямые; EZ- трасверсаль . Раз прямые пересекаются, то сумма углов AEZ + EZD < 2d. Пусть угол AEZ будет прямой. Построим точку C – точку пересечения прямых AB и ZD. Возьмем на ZD произвольную точку T и проведем перпендикуляр TL к ZE . Точка P делит отрезок EZ пополам, а точка M делит отрезок PZ пополам. То есть имеем: EP = PZ и PM = MZ . То есть, продолжая процесс, нашли точку, которая попала на отрезок LZ. Пусть это точка M. Проведем перпендикуляр MN к EZ так, что MN пересечется с ZD в точке N. Отложим на ZD отрезок ZC так, чтобы он относился к ZN так, как ZE относится к ZМ. В нашем случае: ZC = 4ZN. Полученная таким путем точка C будет точкой пересечения прямых AB и ZD . Чтобы это показать, надо доказать, что проекции последовательно равных отрезков ZN, NS, … прямой ZD на прямую ZE равны. Построение Аганиса основывалось на аксиоме Архимеда (стр. 12), так как MZ = n EZ ( MZ < LZ ). 43
Постулат о параллельных линиях у арабов Нассир-Эддин Теорема: «Если отрезки AB и A1B1, расположенные по одну сторону от BB1, равны между собой и перпендикулярны отрезку BB1, то прямая AA1 перпендикулярна AB , а отрезок AB равен BB1, значит, фигура AA1B1 B есть прямоугольник». Доказательство: Пусть дан отрезок BB 1 и ему перпендикулярные равные между собой отрезки AB и A 1 B 1 . Докажем, что отрезок AA 1 перпендикулярен AB и A 1 B 1 и равен BB 1 . Допустим, что угол A не прямой. если угол A - острый, то на основании вышеуказанной предпосылки имеем: A 1 B 1 < AB ; если же угол A - тупой, то имеем: A 1 B 1 > AB . И то, и другое противоречит условию, значит, A 1 B 1 = AB , следовательно, угол A - прямой. Аналогично доказываем, что угол A 1 тоже прямой. Проведем диагональAB 1 . Получим равные треугольники ABB 1 и AA 1 B 1 , как имеющие совпадающие гипотенузы и равные катеты: AB = A 1 B 1 , значит и AA 1 = BB 1 . 44
Теорема*: «Сумма углов треугольника равна 2d» . Доказательство: Действительно, сумма углов прямоугольника равна 4d. Следовательно, сумма углов прямоугольного треугольника равна 2d. Значит, сумма углов любого треугольника равна 2d, так как его можно разделить на два прямоугольных треугольника, проведя одну из высот. Теорема* (частный случай): «Если даны три прямые, две из которых являются перпендикуляром и наклонны к третьей, то перпендикуляр пересекается с наклонной». Доказательство: Пусть AB,CD, AC - прямые, из которых: CD перпендикулярна AC, AB наклонная к AC, а AC – секущая прямых AB и CD. Нужно доказать, что CD пересекается с AB. Отложим на AB отрезок AH, проведем отрезок HH1 перпендикулярно AC. Если точка H 1 совпадет с точкой C, или упадет по другую сторону точки C, то AB и CD пересекутся. 45
Это утверждение у Нассир-Эдина основано на наглядности, но оно может быть обосновано аксиомой Паша: если прямая пересекает сторону треугольника, не проходя ни через одну из его вершин, то она пересекает одну из двух других сторон треугольника. Если же точка H1 лежит между A и C, то проведем отрезок AL перпендикулярно к AC, причем AL = HH 1 . Соединим точки H и L прямой, получим (на основании теоремы 2 Нассир-Эддина ) прямоугольник HLAH 1 , у которого HL = АH 1 . Отложим, далее, отрезок HK = AH и проведем перпендикуляр КK 1 к AC. Легко показать, что KK 1 > HH 1 . Отложим отрезок K 1 L 1 = HH 1 и соединим точки H и L 1 . Cнова получим прямоугольник K 1 L 1 HH 1 . Tочки L 1 , H, L расположены на одной прямой, следовательно, треугольники AHL и HL1K равны (по гипотенузе и острому углу: угол L 1 HK = углу AHL , как вертикальные), значит, L 1 H = HL , отсюда: K 1 H 1 = H 1 A . Далее, откладываем отрезок KM = HK, аналогично доказываем, что M1K1 = K 1 H 1 = H 1 A Продолжая этот процесс (на основе аксиомы Архимеда), получим, наконец, столь большой отрезок AO1, кратный AH1, что точка O1 окажется вне отрезка AC по другую сторону точки C. Следовательно, прямая CD не может встретиться с прямой O 1 O , так как CD перпендикулярна AC и O 1 O перпендикулярна AC, то есть CD встретит гипотенузу OA прямоугольного треугольника AOO1. 46
Теорема* (общий случай): Любые две прямые из данных непараллельных прямых пересекаются. Доказательство: Пусть AB, CD, EF – данные три прямые, не параллельные друг другу, причем EF - секущая прямых AB и CD. Надо доказать, что прямые AB и CD пересекаются. Пусть угол EFB – острый. Проведем EG перпендикулярно AB, получим треугольник EFG. Так как сумма углов треугольника = 2d, то угол FEG + угол GFE = d , следовательно, и угол DEG – острый. Значит, прямые AB и CD пересекаются, так как AB перпендикулярна EG, а CD наклонна к EG (по теореме 3 Нассир-Эддина ). 47
Постулат о параллельных линиях в эпоху Возрождения в XVII веке. Джордано Витале Теорема: «Геометрическое место точек, равноотстоящих от некоторой прямой, есть прямая». Доказательство: Доказательство этой теоремы основано на лемме: «Если через две точки какой-нибудь кривой, обращенной своей вогнутостью к X, проведена прямая AC и если из бесконечно большого числа точек дуги AC опустить перпендикуляры на прямую, то невозможно, чтобы эти перпендикуляры были друг другу равны». Прямая, о которой говорится в лемме, не произвольна, она строится следующим образом: из точки В дуги АС проводим BD перпендикулярно хорде AC; в т. А восставляем перпендикуляр AG к AC; отложим на перпендикулярах равные отрезки AG и DF, соединим их концы G и F; GF – искомая прямая. 48
Теорема: «Если в четырехугольнике с двумя прямыми углами и равными боковыми сторонами, перпендикуляр к основаниям разбивает исходный четырехугольник на два, то новые четырехугольники подобны». Доказательство: Пусть ABCD – данный четырехугольник, в которoм стороны AD и BC равны и углы A и B равны d . Построим перпендикуляр HK к основаниям четырехугольника, получим два новых четырехугольника ADHK и KHCB. Они подобны, то есть, что углы D и C равны d , а также, что CD равноотстоит от AB, так как HK = AD и углы D и C равны d (и равны между собой). 49
Джон Валлис Теорема: «Для любой фигуры имеется подобная фигура произвольной величины». Доказательство: Пусть a , b , c - прямые, c - секущая a и b: в точке A c пересекается c a ; в точке B c пересекается с b.Углы и – внутренние односторонние. Тогда докажем, что прямые a , b , c , пересекаясь, образуют вершины подобных треугольников. Проведем через точку A прямую b 1 так, чтобы b и b 1 образовали с c равные соответственные углы, значит прямая b 1 пройдет внутри угла, смежного с . Заставим прямую b непрерывно перемещаться так, чтобы точка B пробегала отрезок AB и чтобы угол, образованный c c , все время оставался равным . Следовательно, прямая b , прежде чем достичь конечного положения b 1 , непременно пересечет a . Таким образом, определяется треугольник AB 1 C 1 , у которого угол A = , угол B = . По предположению Валлиса о существовании подобных фигур на стороне АВ (аналогично AB 1 ) можно построить треугольник ABC , подобный AB 1 C 1 , то есть прямые a и b пересекутся в точке C и так далее. 50
Предшественники неевклидовой геометрии Джироламо Саккери Теорема 1(частный случай): «Если в четырехугольнике равны боковые стороны и углы при основании равны каждый d , то углы при другом основании также равны между собой». Доказательство: Пусть ABCD - данный четырехугольник, у которого сторона AB = CD, угол A = B = d . Докажем, что угол C = D. Восстановим в середине O отрезка AB перпендикуляр OO 1 к AB. Прямая OO 1 пересекает сторону AC треугольника ACD и не проходит ни через одну из его вершин. Следовательно, по аксиоме Паша (стр. 21), OO 1 пересечет либо сторону BC, либо сторону AC. Пусть OO 1 пресекает AC в некоторой точке E. Опять видим, что прямая OO 1 пересекает сторону AC треугольника ACD и не проходит ни через одну из его вершин. Следовательно, OO 1 пересечет DC в некоторой точке O 1 , так как AD, перпендикулярную AB, она пересечь не может. Соединим точку O 1 с A и B, получим треугольник AOO 1 = BOO 1 (по двум катетам), значит, AO 1 = BO 1 и угол OAO 1 = углу OBO 1 , а значит, угол DAO 1 = углу CBO 1 , как углы, дополняющие первые до d . Рассмотрим теперь треугольники ADO 1 и BCO 1 , видим, что они равны (по двум сторонам и углу, заключенному между ними), откуда имеем: угол C = углу D и, сверх того, DO 1 = O 1 C ,то есть точка O 1 – середина стороны DC. 51
Теорема 2 (общий случай): «Если в четырехугольнике одна боковая сторона меньше другой и углы при одном основании равны каждый d , то при другом основании тот угол больше, который прилежит к меньшей стороне». Доказательство: Пусть ABCD – четырехугольник, у которого сторона AD < BC, углы при основании AB: угол A = B = d . Докажем, что угол D > угла C. Отложим отрезок BE = AD. На основании теоремы 1 Саккери , угол ADE = углу BED, но угол BED, внешний к треугольнику DEC, следовательно, угол BED > угла C, значит, и угол D > угла C (легко доказать от противного и обратные предложения). Лемма 1: «Если в четырехугольнике с прямыми углами А и В стороны AD и BC равны, то угол C равен D. Если же стороны AD и BC не равны, то из двух углов C и D тот больше, который прилежит к меньшей стороне» . 52
Теорема 4: «…В случае справедливости гипотезы прямого угла в четырехугольнике ABCD имеем: AB = CD ; в случае справедливости гипотезы острого угла имеем: AB < CD , в случае справедливости гипотезы тупого угла, имеем: AB > CD , и обратно». Доказательство: 1 случай. Действительно, в случае гипотезы прямого угла угол C = D = d.Применяя лемму Саккери к основанию AD, предположим, что AB CD , угол C B, но = d , но это противоречит условию. 2 случай. В случае гипотезы острого угла имеем: угол С = D, но < d . Пусть ABCD – четырехугольник, у которого угол A = B = d . Докажем, что AB < CD . Проведем перпендикуляр OO 1 к AB , где точка O – середина AB . Мы видим, что O 1 – середина DC . Из равенства треугольников OAD и OBC (по двум катетам) следует равенство OD и OC , то есть треугольник ODO 1 = OCO 1 (по трем сторонам) и угол OO 1 D = углу OO 1 C , то есть OO 1 перпендикулярна DC .Так как угол D < A , но = d , по лемме Саккери , применяемой к основанию OO 1 , имеем: AO < DO 1 , а, значит, AB < CD . 3 случай. Аналогично, при условии, что угол C = D , но > d верно, что AB > CD . 53
Теорема 3: «..если одна из гипотез верна для какого-нибудь одного четырехугольника Саккери , то она будет справедлива и для всех четырехугольников того же типа». Пусть справедлива гипотеза прямого угла в одном четырехугольнике, то она справедлива и в другом таком же четырехугольнике. Доказательство: Пусть ABCD – исходный четырехугольник, у которого угол A = B = d , угол C = D = d . Докажем, что для любого четырехугольника, подобного ABCD, верна гипотеза прямого угла. Возьмем на AD и BC точки H и K так, что AH = BK . Получим четырехугольник AHKB. Если KH перпендикулярна AH и KH перпендикулярна BK, то в новом четырехугольнике AHKB вновь верна гипотеза прямого угла. В противном случае: пусть угол AHK – острый, значит, смежный с ним угол DHK – тупой, то есть в четырехугольнике ABKH, по гипотезе острого угла, AB < HK , в то же время в четырехугольнике HKCD, по гипотезе тупого угла, HK < DC . Из того, что AB < HK и HK < DC , получим: AB < CD , но это противоречит условию, так как AB = CD . Значит, угол AHK не может быть острым, то есть и тупым он тоже быть не может (аналогично), значит, верна гипотеза прямого угла. Она будет верна также и для четырехугольника ABNM, где точки M и N лежат на продолжении AD и BC и AM = BN . 54
Теорема 3 (2 случай): «Если гипотеза острого угла верна в одном случае, то она верна и в любом другом случае». Эту теорему Саккери доказывает сразу методом от противного. Теорема 3 (3 случай): «Если гипотеза тупого угла верна в одном случае, то она верна и в любом другом случае». Доказательство: Пусть ABCD - исходный четырехугольник, у которого угол A = B = d , угол C = D > d , AD = BC . Докажем, что эти условия сохраняются в любом таком же четырехугольнике. Возьмем на AD и BC точки H и K так, что АН = BK , в силу теоремы 3 (1 случай): HK не перпендикулярна AD , и HK не перпендикулярна BC . Предположим поэтому, что угол KHA < d . Тогда по гипотезе острого угла, HK > AB и в то же время, в силу гипотезы тупого угла, для четырехугольника ABCD : AB > CD . Отсюда получаем: HK > CD . Таким образом, если передвигать прямую HK непрерывно так, чтобы она оставалась перпендикулярной к OO 1 основного четырехугольника,то отрезок HK , заключенный между противоположными сторонами AD и BC , > AB в начальном положении, должен стать < AB в конечном положении CD . В силу постулата непрерывности должно существовать некоторое промежуточное положение H 1 K 1 , для которого H 1 K 1 = AB , следовательно, в четырехугольнике ABK 1 H 1 должна быть верна гипотеза прямого угла, которая по теореме 3 (1 случай) делает невозможным применение к ABCD гипотезы тупого угла. Рассуждение это верно, и когда отрезки AH > AD , BK > BC , значит, невозможно, чтобы угол AHK был острым. Итак, в ABKH , как и в ABCD имеет место гипотеза тупого угла 55
Теорема 5: «В соответствии с тем, выполняется ли гипотеза прямого или острого, или тупого угла, сумма углов треугольника = 2d, < 2d или >2d» . Доказательство: Пусть ABC – треугольник, в котором угол B = d . Докажем, что для различных гипотез верны соответственно соотношения: сумма углов A + B + C = 2 d ; сумма углов A + B + C < 2 d ; сумма углов A + B + C > 2 d . Дополним треугольник ABC до четырехугольника, проведя отрезок AD = BC и перпендикулярный AB , соединим точки D и C : по гипотезе прямого угла: AB = DC ; угол D = d и треугольник ABC = треугольнику ACD , значит, угол BAC = углу DCA и в треугольнике ABC : сумма углов A + B + C = 2 d . по гипотезе острого угла: AB < DC ; угол ACB < угла DAC , то есть в треугольнике ABC : сумма углов A + B + C < 2 d . по гипотезе тупого угла: AB > DC ; угол ACB > угла DAC , поэтому в треугольнике ABC : сумма углов A + B + C > 2 d Саккери легко доказывает эту теорему, затем ей обратную путем приведения к абсурду; и, как следствие этих выводов, он получает следующую теорему: «Если в одном треугольнике сумма углов равна двум прямым углам, больше или меньше двух прямых углов, то и во всех других треугольниках сумма улов будет та же (и для всех прямоугольных треугольников, как частного случая, и для всех остальных - общего случая, ибо произвольный треугольник можно разложить на два прямоугольных, проведя высоту)» . 56
Лемма 2 Саккери : «В прямоугольном треугольнике ABC c прямым углом C, точкой H – серединой стороны AB, точкой K – основанием перпендикуляра, опущенного из H на AC, выполняются соотношения:1) AK = KC – при гипотезе прямого угла; 2) AK > KC – при гипотезе острого угла; 3) AK < KC – при гипотезе тупого угла» . Доказательство: Пусть A В C – треугольник, у которого угол C = d , точка H – середин стороны AB , отрезок KH перпендикулярен стороне AC . Докажем верность данных соотношений: 1) доказательство, относящееся к гипотезе прямого угла, очевидно; 2) гипотеза острого угла доказывается аналогично 3); 3) примем гипотезу тупого угла. Сумма углов четырехугольника H К CL будет при этом > 4 d . Имеем так же: угол AHK < HBC . Опустим перпендикуляр HL на BC , тогда треугольники А HK и HBL (имеющие равные гипотенузы) на основании данных соотношений, дадут место неравенству: AK < HL . В четырехугольнике с тремя прямыми углами Н KCL : четвертый угол H > d (по гипотезе тупого угла), значит, HL < KC отсюда: AK < KC . 57
Далее Саккери расширяет лемму следующим образом: Лемма 2 1 : «Если на одной стороне угла, начиная начиная с вершины А, отложить ряд равных последовательных отрезков АА 1 , А 1 А 2 , А 2 А 3 ,… и если построить соответственные проекции АВ 1 , В 1 В 2 , В 2 В 3 на другой стороне угла, то будут иметь место такие соотношения: 1) АВ 1 = В 1 В 2 = В 2 В 3 и т.д. – при гипотезе прямого угла; 2) АВ 1 < В 1 В 2 < В 2 В 3 и т.д. – при гипотезе тупого угла; 3) АВ 1 > В 1 В 2 > В 2 В 3 и т.д. – при гипотезе острого угла». Затем Саккери доказывает теорему 3 Нассир-Эддина (частный случай) для гипотез Теорема 6: «При гипотезе прямого угла и при гипотезе тупого угла перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой пересекаются». Теорема 7: «При гипотезе прямого угла и при гипотезе тупого угла справедлив V постулат Евклида» . Доказательство: Пусть AB , CD , AC - прямые, причем AC – секущая. Нужно доказать справедливость V постулата относительно двух принятых гипотез: прямого угла и тупого угла. Предположим, что сумма углов BAC + АС D < 2 d (в силу V постулата). Тогда один из углов BAC , ACD будет острым: пусть это будет угол BAC . O пустим перпендикуляр CH на AB , тогда в треугольнике ACH , в силу принятых гипотез, сумма углов A + C + H = или > 2 d , но, согласно другому предположению, сумма углов BAC + ACD < 2 d . Сопоставляя эти соотношения, имеем: угол H > угла HCD . Но так как угол H = d , угол HCD должен быть < d , поэтому, в силу теоремы 6 Саккери , прямые CD и AB пересекутся. 58
Теорема 8: «В случае гипотезы острого угла существуют такие перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой, которые не пересекаются». Доказательство: Пусть ABC – треугольник, в котором угол C = d , BD - прямая и угол ABD = углу BAC . Докажем, что прямые AC и BD не пересекаются. Так как мы допустили справедливость гипотезы острого угла, то сумма углов в треугольнике ABC будет < 2 d . Поэтому, в силу того, что угол C = d , сумма углов CAB + CBA < d , вместе с чем, сумма углов DBA + ABC = углу DBC < d . Таким образом, прямая AC перпендикулярна BC , BD - наклонная к BC . И все же они не пересекаются, так как, допустив противное, мы получим треугольник, для которого угол CAB – внешний. И в то же время он равнялся бы внутреннему углу DBA , что невозможно. 59
Адриен Мари Лежандр Теорема 1: «Если сумма углов треугольника равна 2 d , то имеет место V постулат Евклида». Доказательство: Пусть а, b , АВ - прямые, причем, a перпендикулярна АВ, b – наклонная к АВ и угол А = < d . Докажем, что b пересечет а. Отложим на прямой а n отрезков: ВВ 1 = АВ, В 1 В 2 = АВ 1 , В 2 В 3 = АВ 2 …В n -1 В n = АВ n -1 . Соединим точки В 1, В 2, В 3, … В n с точкой А. Рассмотрим треугольники АВВ 1 , АВ 1 В 2 , АВ 2 В 3 ,…АВ n -1 B n . По условию сумма углов каждого треугольника = 2 d . Треугольник АВВ 1 равнобедренный, прямоугольный и, так как по условию сумма его углов равна 2 d , то каждый из его острых углов = d /2 = /4. Но угол АВ 1 В 2 – внешний для треугольника АВ 1 В, значит, он равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных ( по условию теоремы ). В силу равнобедренности треугольника АВ 1 В 2 получим, что угол АВ 2 В = /8 = /2 3 . Рассуждая таким образом, мы получим, что угол АВ n В = /2 n +1 . Но так как сумма углов треугольника равна 2 d , то угол ВАВ n = /2 - /2 n +1 . Так как угол < d , то можно положить = /2 - , где 0 < < /2. Мы всегда можем добиться при достаточно большом n чтобы было /2 n +1 < , следовательно, при достаточно большом n : = /2 - < /2 - /2 n +1 = углу ВАВ n . То есть прямая в будет проходить внутри угла ВАВ n , значит, пересечет противоположную сторону ВВ n треугольника ВАВ n (это может быть строго доказано при помощи аксиомы Паша Теперь нетрудно доказать V постулат в его общей формулировке (см. у Нассир-Эддина ). 60
Теорема 2 : « C умма углов треугольника 2 d ». Доказательство: Пусть А 1 В 1 А 2 – треугольник с углами , , . Докажем, что сумма его углов + + 2 d (методом от противного). Предположим, что + + > 2 d . Продолжим сторону А 1 А 2 , на ее продолжении отложим n отрезков = А 1 А 2 так, что А 1 А 2 = А 2 А 3 = … = А n А n +1 . На этих отрезках построим n треугольников, равных А 1 В 1 А 2. Соединим их вершины В 1 ,В 2 ,…,В n отрезками прямых, получим n – 1 треугольников, которые равны между собой по двум сторонам и углу между ними 1 . Следовательно, В 1 В 2 = В 2 В 3 = … = В n -1 В n . Так как сумма углов + + > 2 d , и в то же время + 1 + = 2 d , то угол > 1 , а поскольку в треугольниках А 1 В 1 А 2 и В 1 А 2 В 2 две стороны соответственно равны, но углы между ними не равны, то А 1 А 2 > В 1 В 2 . Далее замечаем, что ломанная А 1 В 1 В 2 …В n А n +1 > А 1 А n +1 = n А 1 А 2 , то есть А 1 В 1 + ( n -1) В 1 В 2 + В n А n +1 > n А 1 А 2 , отсюда в силу равенства В n А n +1 = В 1 А 2 имеем: n (А 1 А 2 – В 1 В 2 ) < А 1 В 1 – В 1 В 2 + В 1 А 2 . Так как по доказанному: А 1 А 2 > В 1 В 2 или А 1 А 2 – В 1 В 2 > 0, то полученное неравенство противоречит аксиоме Архимеда, ибо n может быть взято сколь угодно большим, а потому это неравенство не возможно, значит, сумма углов + + 2 d .. Теорема 3: «Если в одном треугольнике сумма углов треугольника = 2 d , то это имеет место и в другом треугольнике». Теорема 4 : «Если в одном треугольнике сумма углов треугольника < 2 d , то это имеет место и в другом треугольнике». 61
Предложение Прокла-Плейфера Предложение : «Через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, определяемой этими точкой и прямой, может проходить не более одной прямой, параллельной данной (это предложение часто называют аксиомой параллельности Евклида)». Теорема II: «Предложение Прокла-Плейфера эквивалентно V постулату Евклида». Теорема II 1 : «Из предложения Прокла-Плейфера вытекает V постулат Евклида». Доказательство: Пусть прямые a и b при пересечении прямой c образуют с правой стороны от c внутренние односторонние углы и , причем сумма + < 2 d . Проведем через точку M пересечения прямых b и c еще одну прямую e так, чтобы для прямых a и e сумма внутренних односторонних углов и 1 = 2 d . Тогда угол 1 > и, следовательно, прямые b и e различны. На основании прямой теоремы о параллельности прямых (стр. 15): a e . Но так как имеет место аксиома параллельности Плейфера , то, кроме прямой e , через точку M не проходит другой прямой, параллельной a , значит, прямая a пересекается с прямой b . 62
Теорема II 1 : «Из V постулата следует аксиома параллельности Прокла-Плейфера ». Доказательство: Пусть дана прямая а и не лежащая на ней точка М. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую а и проведем через точку М прямую b , перпендикулярную МР. Тогда b параллельна а. Проведем через точку М произвольную прямую c , отличную от b . Тогда с не перпендикулярна МР, а потому с какой-нибудь стороны от МР образует с ней острый угол . Таким образом, прямые а и с при пересечении прямой МР образуют с одной ее стороны внутренние односторонние углы, сумма которых < 2 d . Так как имеет место V постулат Евклида , то прямые а и с пересекаются, то есть прямая с не параллельна прямой а, значит, прямая b – единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а. 63
Постулат Валлиса Постулат Валлиса: «Существуют два подобных и неравных треугольника». Теорема III: «Постулат Валлиса и V постулат Евклида - эквивалентные предложения». Теорема III 1 : «Пусть имеет место постулат Валлиса, тогда справедлив и V постулат Евклида». Доказательство: Пусть существуют два треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 , подобные, но не равные так, что угол А равен углу А 1 и угол В равен углу В 1 , и угол С равен углу С 1 , но АВ А 1 В 1 , ВС В 1 С 1 , АС А 1 С 1 . Выведем V постулат Евклида. Допустим, что АВ > А 1 В 1 . Отложим на стороне АВ отрезок ВК = В 1 А 1 . Точка К упадет между А и В. Проведем прямую К L так, чтобы угол ВК L был равен углу А и углу А 1 .На основании прямой теоремы о параллельных, К L АС в силу равенства соответственных углов А и ВК L . Следовательно, К L не может пересечь АС, а потому пересечет сторону ВС в некоторой точке L , лежащей между В и С (на основании аксиомы). Полученный треугольник ВК L равен треугольнику А 1 В 1 С 1 в силу равенства сторон КВ и А 1 В 1 и двух прилежащих к ним углов. Следовательно, угол В L К равен углу С 1 и равен углу С. В выпуклом четырехугольнике сумма углов = 4 d . Разобьем его диагональю КС на два треугольника ∆АКС и ∆КС L . Будем иметь: сумма углов треугольника АКС + сумма углов треугольника ∆КС L равна 4 d . Можно сделать предположения: либо сумма углов ∆АКС = 2 d , тогда сумма углов ∆КС L = 2 d ; либо сумма углов ∆АКС > 2 d , тогда сумма углов КС L < 2 d ; либо сумма углов ∆АКС < 2 d , тогда сумма углов ∆К CL > 2 d . Но так как мы видели (теорема 2 Лежандра), сумма углов треугольника не может быть больше 2 d , значит предположения 2) и 3) отпадают.Остается то, что сумма углов АКС = 2 d , сумма углов КС L = 2 d . Отсюда по теореме 1 Лежандра вытекает справедливость V постулата Евклида. 64
Теорема III 2 : «Пусть имеет место V постулат Евклида, тогда справедлив и постулат Валлиса». Доказательство: Пусть дан треугольник АВС и отрезок А 1 В 1 , не равный АВ. Проведем прямые А 1 К и В 1 L так, что угол КА 1 В 1 равен углу А и угол L В 1 А 1 равен углу В. Так как имеет место V постулат Евклида, то сумма углов треугольника АВС = 2 d , а потому сумма углов А + В < 2 d . Следовательно, сумма углов А 1 + В 1 < 2 d ,то есть мы имеем две прямые А 1 К и В 1 L , пересеченные прямой А 1 В 1 , причем сумма внутренних односторонних углов А 1 + В 1 < 2 d . На основании V постулата Евклида прямые А 1 К и В 1 L пересекаются в некоторой точке С 1 . Полученный треугольник А 1 В 1 С 1 подобен данному треугольнику АВС, ибо угол А 1 = углу А, угол В 1 = углу В, угол С 1 = сумме углов треугольника А 1 В 1 С 1 – угол А 1 – угол В 1 = 2 d – А – В = С. 65
Постулат Бойяи Постулат Бойяи : «Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, проходит окружность». Теорема IV : «Постулат Ф. Бойяи и V постулат Евклида - эквивалентные предложения». Теорема IV 1 : «Пусть справедлив постулат Ф. Бойяи . Выведем V постулат Евклида». Доказательство: Пусть имеет место постулат Ф. Бойяи . Проведем к отрезку АВ перпендикуляр ВВ’ и наклонную АА’, причем угол А – острый. Возьмем на прямой АВ внутри или вне отрезка АВ произвольную точку М, а затем построим симметричную ей точку М’ относительно АА’ и симметричную точку М’’ относительно ВВ’. Так как ММ’ перпендикулярна АА’, то ММ’ не совпадает с АВ, следовательно, точка М’ не лежит на АВ. А так как точки М и М’’ лежат на АВ, то три точки М, М’, М’’ не лежат на одной прямой, а потому в силу постулата Ф. Бойяи через них проходит окружность, хордами которой являются ММ’ и ММ’’. Прямые ВВ’ и АА’ являются перпендикулярами к хордам ММ’’ и ММ’, проходящими через их середины, а потому они пересекутся в центре окружности точке О. Итак, перпендикуляр и наклонная пересекутся, а отсюда вытекает V постулат Евклида. 66
Теорема IV 2 : «Пусть справедлив V постулат Евклида. Выведем постулат Ф. Бойяи ». Доказательство: Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой.Соединим их отрезками, получим треугольник АВС.Для доказательства постулата Ф. Бойяи нужно показать, что существует точка, равноудаленная от вершин этого треугольника А, В, С. Пусть АВ – наибольшая сторона треугольника, тогда угол В необходимо острый. Через середину Е стороны АВ проведем ЕЕ 1 перпендикулярно АВ. Так как имеет место V постулат Евклида, то перпендикуляр ЕЕ 1 , наклонная ВС обязательно пересекутся в некоторой точке Е 1 , причем угол ВЕЕ 1 – острый, ибо треугольник ВЕЕ 1 прямоугольный с углом Е = d . Проведем теперь через середину F стороны ВС перпендикуляр FF 1 . В силу V постулата Евклида перпендикуляр FF 1 и наклонная ЕЕ 1 пересекутся в некоторой точке D . Так как точка D лежит одновременно на перпендикулярах ЕЕ 1 и FF 1 , проведенных через середины Е и F сторон АВ и ВС треугольника АВС, то она одинаково удалена от точек А, В, С и является центром окружности, проходящей через эти три точки. 67
Теорема 1 Саккери-Лежандра Теорема 1 Саккери-Лежандра : «Если сумма углов треугольника = 2d, то имеет место V постулат Евклида». Теорема V : «Теорема 1 Саккери-Лежандра и V постулат Евклида - эквивалентные предложения». Теорема V 1 : «Если имеет место теорема 1 Саккери - Лежандра, то справедлив V постулат». Доказательством является непосредственно рассуждение по теореме 1 Лежандра Теорема V 2 : «Если справедлив V постулат то имеет место теорема 1 Саккери - Лежандра.» Доказательство: Пусть АВС – треугольник, образованный тремя прямыми a , b , c . Отметим середину О стороны АС. Отложим на продолжении отрезка ОВ отрезок О D = ОВ. Треугольники АО D и СОВ равны, так как у них углы при вершине О равны как вертикальные,а ОА = ОС и ОВ = О D по построению. Из равенства треугольников следует равенство углов D АО и ВСО. Поэтому сумма углов треугольника АВС при вершинах А и С равна углу ВА D . Для прямых ВС и А D и секущей АС углы ВСА и СА D внутренние накрест лежащие. Так как по доказанному они равны, то по прямой теореме Евклида ВС А D , следовательно, так как верен V постулат Евклида, сумма внутренних односторонних углов СВА + D АВ = 2 d . Таким образом, сумма всех углов треугольника АВС = СВА + D АВ = 2 d . 68
Глава 4. Эквиваленты пятого постулата Евклида. В этой главе наш читатель узнает об эквивалентных аксиомах и о том, почему попытки доказательства пятого постулата не увенчались успехом. А еще в этой главе мы наконец-то встретимся с привычными нам формулировками. Понятие эквивалентности аксиом Итак, многие доказательства V постулата Евклида страдают общим пороком, состоящим в том, что в рассуждении большей частью молчаливо и незаметно вводим допущение, эквивалентное этому постулату. Поясним понятие эквивалентности. Пусть некоторая дедуктивная теория основана на системе аксиом {А 1 ,А 2 ,..А n } и пусть М и N – две новые аксиомы, связанные между собой так, что если мы к данной основной системе аксиом добавим одну из аксиом М или N , то из системы аксиом {А 1 ,А 2 ,..А n , N } можно вывести М как теорему; тогда говорят, что предложения М и N эквивалентны друг другу относительно основной системы аксиом {А 1 ,А 2 ,..А n }. Рассмотрим теперь этот вопрос применительно к проблеме V постулата. Откладывая пока точное определение полноты системы аксиом геометрии, скажем лишь, что полнота системы аксиом обеспечивает возможность доказать все теоремы геометрии без обращения к опыту и очевидности, исключительно логическим путем. В качестве полной системы аксиом геометрии Евклида можно принять систему аксиом Гильберта, выбросив из нее только аксиому параллельности, то есть, оставив лишь аксиомы абсолютной геометрии. Тогда относительно этой системы будут равносильны друг другу и V постулату Евклида, например, следующие предложения: 1. Через каждую точку, лежащую вне прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (аксиома Прокла-Плейфера ). Именно это предложение сформулировано в нашем учебнике как аксиома параллельности. 2. Две параллельные при пересечении их третьей прямой, образуют равные соответственные углы. Это второе свойство параллельных прямых в нашем учебнике. 69
3. Сумма внутренних односторонних углов, образованных двумя параллельными при пересечении их третьей прямой, равна 2 d (Птолемей). А это третье свойство параллельных прямых в нашем учебнике. Если какая-нибудь прямая пересекает одну из двух параллельных, то она пересекает и другую ( Прокл ). Имено так звучит одно из следствий из аксиомы параллельности в нашем учебнике. Расстояние между двумя параллельными конечно ( Прокл ) Геометрическое место точек, расположенных по одну сторону прямой на одном и том же расстоянии от нее, есть прямая ( Посидоний ). Сумма внутренних углов треугольника = 2 d ( Нассир-Эддин , Саккери , Лежандр). Это современная теорема о сумме углов треугольника. Существуют подобные треугольники (Валлис). Через всякую точку, лежащую внутри угла, можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла (Лежандр). Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность (Ф. Бойяи ). Если из двух прямых r и s одна перпендикулярна, другая наклонна к секущей АВ, то отрезки перпендикуляров, опущенных из точек s на r , меньше АВ с той стороны, с которой АВ образует с секущей s острый угол ( Нассир-Эддин ). Существует треугольник с произвольно большой площадью. Высоты треугольника всегда пересекаются. (Одна из замечательных точек треугольника) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). Сторона вписанного в круг правильного шестиугольника равна радиусу этого круга. (Известное нам свойство правильного шестиугольника). Любое из этих предложений можно положить в основу теории параллельных вместо V постулата, тогда последний может быть доказан, как теорема, а вместе с ним могут быть выведены все зависящие от него теоремы Евклида. 70
Предложение Прокла-Плейфера Комментируя 31-ое предложение I книги «Начал» Евклида, Прокл устанавливает предложение, эквивалентное V постулату Евклида. В предложении 31 дано решение задачи «через данную точку вне прямой провести прямую, параллельную данной прямой». Задача решается средствами абсолютной геометрии. В ее формулировке не содержится утверждения о единственности решения, но Прокл в своих комментариях указывает, что из 29 - ого предложения Евклида вытекает единственность решения задачи 31. Но если принять утверждение о единственности решения задачи, сформулированной в 31-ом предложении Евклида, то, пользуясь только предложениями абсолютной геометрии, можно доказать V постулат. Таким образом, V постулат эквивалентен утверждению о единственности решения задачи 31. В таком виде постулат о параллельности впервые точно сформулирован в школьном издании «Начал», выпущенном англичанином Плейфером , в этом же виде изучается и сейчас в школьном курсе геометрии (основное свойство параллельных прямых). Предложение Прокла-Плейфера : «Через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, определяемой этими точкой и прямой, может проходить не более одной прямой, параллельной данной (это предложение часто называют аксиомой параллельности Евклида)». Теорема II: «Предложение Прокла-Плейфера эквивалентно V постулату Евклида». Теорема II 1 : «Из предложения Прокла-Плейфера вытекает V постулат Евклида». Теорема II 1 : «Из V постулата следует аксиома параллельности Прокла-Плейфера ». 71
Постулат Валлиса Также в эту главу следует отнести отдельный постулат и теоремы Джона Валлиса, обладающие необходимой нам эквивалентностью. Постулат Валлиса: «Существуют два подобных и неравных треугольника». Теорема III: «Постулат Валлиса и V постулат Евклида - эквивалентные предложения». Теорема III 1 : «Пусть имеет место постулат Валлиса, тогда справедлив и V постулат Евклида». Теорема III 2 : «Пусть имеет место V постулат Евклида, тогда справедлив и постулат Валлиса». 72
Постулат Бойяи Янош Бойяи (1802-1860) родился в трансильванском городе Коложвар ; в наши дни это Клуж-Напока , Румыния, а тогда город принадлежал Австрийской империи. Отец его, известный математик Фаркаш Бойяи , ещё в раннем возрасте преподал сыну основы математических знаний. В 1822 году Янош заканчивает Военно-инженерный колледж в Вене, сдав семилетний курс за 4 года. Уже в колледже он настолько увлёкся исследованием пятого постулата Евклида, что отец с тревогой советовал Яношу бросить это дело. Янош не внял совету отца. Вскоре он приходит к выводу, что пятый постулат недоказуем и независим от остальных. Это означало, что, заменив его на альтернативный, можно построить новую геометрию, отличную от евклидовой. Он шутит в письме отцу: «Я создал странный новый мир из ничего!» Примерно в 1820—1823 годах Бойяи заканчивает трактат с описанием новой геометрии. В 1823году Бойяи направлен на армейскую службу, младшим лейтенантом в военно-инженерные войска. Он отдал армии 11 лет, считался отличным офицером и замечательным танцором. Владел 9 языками, включая китайский и тибетский. Никогда не пил и не курил. В 1832 году отец публикует своё сочинение, а в приложении к нему — работу сына, вошедшую в историю математики под именем Appendix (приложение). Полное название труда Яноша Бойяи : «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)». «Аппендикс», как и работы Лобачевского, остался непонятым и незамеченным. Годом ранее (1831) Фаркаш Бойяи послал «Аппендикс» своему давнему другу, тогдашнему «королю математиков» Гауссу. Прочитав сочинение, Гаусс написал одному из своих друзей: «Этот юный геометр Бойяи — гений высшего класса». 73 Карл Гаусс
Печальная новость, что его опередили, ошеломила молодого Бойяи . Его здоровье ухудшается, характер портится, и вскоре он уходит в отставку (1833). Пенсии он не выслужил, живёт на средства отца. В1834году вступает в гражданский брак с Розалией Кибеди Орбан . У них было двое детей. Бойяи пытается продолжить математические работы, начинает и вскоре забрасывает несколько сочинений, очень интересных по своим идеям. 1848: Янош Бойяи знакомится с трудом Лобачевского, который ещё в 1829 году, на 3 года раньше Бойяи , опубликовал сходную по идеям работу. Бойяи подозревает, что у него украли лучшие идеи, что никакого Лобачевского никогда не существовало, и всё это проделки хитроумного Гаусса. В то же время он восхищается мастерством и остроумием доказательства некоторых теорем. Последние годы Бойяи омрачены тяжёлым душевным разладом. В 1852году Бойяи расходится с Розалией. Начинает несколько новых исследований, но ни одно не доводит до завершения. После его смерти были обнаружены более 20000 листов незаконченных математических рукописей. Однако «Аппендикс» так и остался единственной его работой, напечатанной при жизни автора. Постулат Бойяи : «Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, проходит окружность». Теорема IV : «Постулат Ф. Бойяи и V постулат Евклида - эквивалентные предложения» . Теорема IV 1 : «Пусть справедлив постулат Ф. Бойяи . Выведем V постулат Евклида». Теорема IV 2 : «Пусть справедлив V постулат Евклида. Выведем постулат Ф. Бойяи ». 74
Теорема 1 Саккери-Лежандра Нельзя не упомянуть и о теоремах представленных ниже т.к. они являются истинными. Теорема 1 Саккери-Лежандра : «Если сумма углов треугольника = 2d, то имеет место V постулат Евклида». Теорема V : «Теорема 1 Саккери-Лежандра и V постулат Евклида - эквивалентные предложения». Теорема V 1 : «Если имеет место теорема 1 Саккери - Лежандра, то справедлив V постулат». (Доказательством является непосредственно рассуждение по теореме 1 Лежандра) Теорема V 2 : «Если справедлив V постулат то имеет место теорема 1 Саккери - Лежандра. 75
Глава 4. Крутой поворот в истории науки. В этой главе читатель познакомится с Николаем Ивановичем Лобачевским и истокам его геометрии. Мы кратко коснемся только некоторых фактов геометрии Лобачевского, сознательно не упоминая много других очень интересных и содержательных теорем. Возможно, это побудит нашего читателя подробней заняться этой темой. Надеемся, что эта глава будет поводом поразмыслить: «Воображаемая геометрия» - «мертвый груз» или шаг в будущее? 76
Истоки неевклидовой геометрии Многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением. И одной из предпосылок геометрических открытий Н. И. Лобачевского (1792-1856) был как раз его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский был твердо уверен в объективном и независящем от человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его познания. В своем сочинении “О началах геометрии”, являющемся первой публикацией открытой им геометрии, Лобачевский писал: “первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным – не должно верить”. Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрических понятий, поддерживавшуюся И. Кантом. Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского университета доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», в котором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии». Доклад 1826г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии – статьи “О началах геометрии”, напечатанной в журнале Казанского университета “Казанский вестник” в 1829-1820гг. Дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены мемуары “Воображаемая геометрия”, “Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам” и “Новые начала геометрии с полной теорией параллельных”, опубликованные в “Ученых записках” соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Высоко оценил “Геометрические исследования” Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати в оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил. 77
«Соратники и последователи» Н.И. Лобачевского Вообще, в течение первых же десятилетий XIX века проблема V постулата была решена несколькими лицами почти одновременно и независимо друг от друга, но совершенно не так, как предлагали это прежние ученые: была создана новая геометрия, не зависимая от V постулата, основанная на замене его утверждением, эквивалентным гипотезе острого угла Саккери . Итак, благодаря проблеме пятого постулата, человечество подошло к новому крутому повороту в своей истории, который дал толчок к зарождению и развитию новых, неевклидовых геометрий, а вместе с тем новый виток развития получил и весь научный мир. К открытию новой, к так называемой «неевклидовой» геометрии пришли три человека: 1) Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) – великий немецкий математик; 2) Янош Бойяи (1802 – 1860) – венгерский офицер, сын Фаркаша Бойяи , автора рассмотренного нами постулата. 3) Николай Иванович Лобачевский (1792 – 1856) - профессор Казанского университета. Однако вклад в создание новой геометрии, внесенный этими учеными, весьма неравноценен. Что касается Гаусса, то он совершенно не оставил никаких следов систематического изложения своих открытий в области неевклидовой геометрии и при жизни не опубликовал ни строчки по этому вопросу. То, что Гаусс владел идеями неевклидовой геометрии, было обнаружено лишь после смерти ученого, когда стали изучать его архивы. Гениальный Гаусс, к мнению которого все прислушивались, не рискнул опубликовать свои результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть непонятым и втянутым в полемику. Янош Бойяи пришел к открытию неевклидовой геометрии в 1823 году, будучи в возрасте 21 года, но опубликовал свои результаты в 1832 году, позже Лобачевского. Все, сделанное в области геометрии Гауссом и Я. Бойяи ,представляет собой лишь первые шаги по сравнению с глубокими и далеко идущими исследованиями Лобачевского, который всю жизнь упорно и настойчиво разрабатывал с разных точек зрения свое учение, довел его до высокой степени совершенства и опубликовал целый ряд крупных сочинений по новой геометрии. 78
Потому первое место среди лиц, разделяющих славу создания неевклидовой геометрии, следует безраздельно отвести Лобачевскому, имя которого и носит созданная им геометрия. В ней сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования V постулата (или аксиомы параллельности – одного из эквивалентов V постулата, - включенной в наши дни в школьные учебники). Теорема о сумме углов треугольника – первая теорема школьного курса, при доказательстве которой используется аксиома параллельности. Здесь нас ожидает первый «сюрприз»: в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 2 d . Теоремы о признаках подобия треугольников говорят нам об их существовании в евклидовой геометрии. В неевклидовой геометрии, то есть в геометрии Лобачевского, подобных треугольников не существует. Здесь мы получаем второй «сюрприз». Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то в евклидовой геометрии равны и третьи углы (тогда треугольники подобны), но в геометрии Лобачевского это не всегда верно. Более того, имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны! Таким образом, мы получаем «чудовищные» противоречия с нашими геометрическими взглядами, но не видим никаких логических противоречий. 79
Н.И.Лобачевский Лобачевский Николай Иванович (1792—1856) родился в Нижнем Новгороде. Отец умер, когда мальчику исполнилось семь лет, и мать вместе с тремя сыновьями переехала в Казань. Лобачевский окончил Казанский университет. В 1814 г. он приступил к чтению лекций по теории чисел, а в 1827 г., уже будучи профессором, был избран в ректоры и занимал эту должность в течение 19 лет. Громкая слава Лобачевского основана на его геометрических изысканиях. К 1826 г. он определил разработанную им систему как «воображаемую геометрию» в отличие от «употребительной», евклидовой. Открытие Лобачевского было впервые сжато изложено в феврале 1826 г. на заседании отделения физико-математических наук и затем представлено в статье «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» («Учёные записки Казанского университета», 1835 г.). Европейские учёные узнали о работах Лобачевского лишь в 1840 г., и уже в 1842 г. он был избран членом-корреспондентом Гёттингенского научного общества. Лобачевскому принадлежит также ряд работ по математическому анализу. Он дал общее определение функциональной зависимости. В алгебре известен его метод приближённого решения уравнений любой степени; учёный первым в России опубликовал курс высшей алгебры. В Казанском университете Лобачевский читал лекции по астрономии и проводил астрономические наблюдения. Благодаря его энтузиазму при университете была построена новая обсерватория, одна из лучших по тому времени. Она начала работать в 1838 г., на год раньше Пулковской (ныне Главная астрономическая обсерватория РАН, близ Петербурга). Скончался 24 февраля 1856 г. в Казани. В 1883—1886 гг. Казанский университет издал «Полное собрание сочинений по геометрии Лобачевского». В 1893 г. в честь столетия со дня рождения Лобачевского ему воздвигли памятник в Казани на собранные по международной подписке средства. В 1895 г. Казанское физико-математическое общество учредило премию имени Лобачевского за выдающиеся работы в области геометрии. Эту награду поныне присуждает Российская академия наук. 80
« Воображаемая геометрия» - «мертвый груз» или шаг в будущее? Современная наука приходит к пониманию, что Евклидова геометрия - лишь частный случай геометрии Лобачевского, и что реальный мир точнее описывается именно формулами русского ученого. Сильнейшим толчком к дальнейшему развитию геометрии Лобачевского стала теория относительности Альберта Эйнштейна, которая показала, что само пространство нашей Вселенной не является линейным, а представляет собой гиперболическую сферу. Геометрическая сторона построенной Эйнштейном теории относительности заключается в том, что мироздание, не в его статическом состоянии в определенный момент, а во всей его извечной динамике, Эйнштейн и Минковский рассматривают как многообразие, элемент которого определяется четырьмя координатами. Руководясь тем, что гравитационные силы в мире действуют всегда, тогда как другие силы (электрические, магнитные) в каждом месте то появляются, то исчезают, Эйнштейн поставил себе целью построить риманову геометрию этого четырехмерного многообразия так, чтобы охватить одной общей схемой как пространственные, так и гравитационные соотношения, царящие в мироздании. Задача заключалась, следовательно, в таком выборе основной дифференциальной формы, при которой система правильно отображает эти соотношения в бесконечно малом элементе мира и в порядке интегрирования дает возможность выразить процессы конечные во времени и пространстве. Роль геометрии в естествознании достигла в этом замысле своего кульминационного пункта. Был поставлен вопрос о геометризации физики. Самая, возможность такой постановки вопроса достаточно показательна. Более того, возможность и тех достижений, которые Эйнштейну удалось получить, основана, если можно так выразиться, на геометризации самой римановой геометрии. 81
Глава 6. Как так получилось? Софизмы, апории и паралогизмы…. А не из-за этих ли явлений, не из-за факта ли их существования, возникли столкновения консервативных, но справедливых умов Х I Х века с геометрией Лобачевского? Нескольким примерам и разборам мы посвятим следующую главу. 82
В свое время современникам Лобачевского пятый постулат неевклидовой геометрии казался глупостью, ошибкой и даже выдумкой. В силу недостаточной зрелости ученых умов того времени или скорее из-за корыстных мотивов современников Лобачевского пятый постулат новой геометрии не был сразу принят общественностью. Существуют такие интересные явления как софизмы, апории и паралогизмы и др. В сущности, именно из-за этих явлений, а именно из-за факта их существования, возникли столкновения консервативных, но справедливых умов Х I Х века с геометрией Лобачевского. Софизм – что это такое? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть пример древнего нарушения логики: «Имеешь то, что не терял. Терял рога? Значит, у тебя есть рога». Здесь есть упущение. Если первую фразу видоизменить: «Имеешь все, что не терял», тогда вывод становится верным, но довольно неинтересным. Одним из правил первых софистов было утверждение о том, что необходимо наихудший аргумент представить как лучший, а целью спора являлась только победа в нем, а не поиск истины. Софи́зм (от греч. σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») — (1) сложное рассуждение, иногда намеренно запутанное в целях демонстрации интеллектуального превосходства или введения в заблуждение; (2) нестандартная задача, как правило, имеющая несколько решений; (3) прием обучения и метод исследования, введенный древнегреческими софистами; широко практиковался в средневековых университетах ( sophismata ), послужил прообразом современных сборников задач и упражнений; (4) ошибочное рассуждение, некорректный аргумент. Софизм в смысле (1) может быть основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Это отличает его от паралогизма и апории, которые могут содержать непреднамеренную ошибку либо вообще не иметь логических ошибок, но приводить к явно неверному выводу. 83
Примеры: 1). Полное и пустое – если две половины равны, то и две целые части тоже являются одинаковыми. В соответствии с этим – если полупустое и полуполное одинаково, значит, пустое равно полному. 2). «Знаешь, о чем хочу у тебя спросить?» - «Нет». – «А о том, что добродетель - это хорошее качество человека?» - «Знаю». – «Получается, что ты не знаешь то, что знаешь». 3). Лекарство, помогающее больному, это добро, а чем больше добра, тем лучше. То есть лекарств можно принимать как можно больше. 4). «У этой собаки есть дети, значит, она является отцом. Но так как она твоя собака, то значит, она твой отец. Кроме этого, если ты бьешь собаку, то ты бьешь отца. А еще являешься братом щенят». Софизмы и парадоксы – два разных понятия. Парадоксом называется суждение, которое может доказать, что суждение одновременно является как ложным, так и истинным. Это явление разделяется на 2 вида: апория и антиномия. Апори́я (греч. ἀπορία — безысходность, безвыходное положение) — это вымышленная, логически верная ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая не может существовать в реальности. Апоретическое ( апорийное ) суждение фиксирует несоответствие эмпирического факта и описывающей его теории. Пример: 1). В своей апории «Стрела» Зенон утверждает, что любая выпущенная из лука стрела неподвижна, то есть находится в состоянии покоя. Чем аргументирует философ это свое нелепое, казалось бы, утверждение? Зенон говорит, что летящая стрела неподвижна, ибо в каждый отдельно взятый момент времени она занимает в пространстве место, равное себе же. Так как это обстоятельство справедливо для абсолютно любого момента времени, то значит, что это обстоятельство справедливо и в целом. Таким образом, утверждает Зенон, любая летящая стрела находится в состоянии покоя. 84
Более известной является апория «Ахиллес и черепаха», в которой древнегреческий философ Зенон решительно утверждает, что быстрый герой никогда не сможет догнать черепаху. Всё дело в том, что пока Ахиллес будет пробегать участок, отделяющий его от черепахи, та, в свою очередь, тоже проползет некоторое расстояние от него. Далее пока Ахиллес будет преодолевать это новое расстояние, черепаха сможет отползти еще на небольшое расстояние дальше. И так будет происходить до бесконечности. - Антиномия – это парадокс, предполагающий наличие двух взаимоисключающих суждений, которые одновременно истинны. Фраза «я лгу», может являться как истиной, так и ложью, но если это правда, то человек, произносящий ее, говорит истину и не считается лжецом, хотя фраза подразумевает обратное. Пример: 1). Примером такой стратегии является логика Роговского , которая формализует изъяснения о механическом действии тела так, что ещё с античных времён нам известная формула «тело, которое двигается, одновременно располагается и не располагается в каком-то месте». Она входит в число таких формул, которые доказуемы со сбережением согласованности какой-то данной логической системы. Паралоги́зм ( др.-греч . παραλογισμός — ложное умозаключение) — случайная, неосознанная или непреднамеренная логическая ошибка в мышлении (в доказательстве, в споре, диалоге), возникающая при нарушении законов или правил логики и приводящая к ошибочному выводу (заключению). Примеры: 1). (Простейшее) зачем смотреть в зеркала заднего вида, если я еду вперед. 2). «Ты не дал мне денег на новую кофточку, ты меня не любишь!« 85
Примеры алгебраических софизмов: 1). 2). Всякое число равно своему удвоенному значению. Запишем очевидное для любого числа a тождество a 2 - a 2 = a 2 - a 2 , вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a ( a – a ) = ( a + a )( a - a ).Разделив обе части на ( a – a ), получим a = a + a , или a=2a. Итак, всякое число равно своему удвоенному значению. Разбор софизма: Здесь ошибочен переход к равенству a=2a. В самом деле, число a-a , на которое делится равенство a ( a – a ) = ( a + a )( a - a ) равно нулю. А мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя. 3). Один рубль не равен ста копейкам. Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно , не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d , то ac = bd . Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам, 10 рублей = 1000 копеек. Перемножая эти равенства почленно , получим: 10 рублей = 100 000 копеек и, наконец, разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек. Таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Разбор софизма. Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями. 4). 4 больше 12. Запишем очевидное неравенство 7>5 и равенство -8=-8, которые при сложении почленно , дают 7-8>5-8, или -1>-3, что верно. Умножая обе части неравенства -1>-3 на -4, получим (-1)(-4)>(-3)(-4), откуда следует, что 4>12. Разбор софизма. При умножении на -4 знак неравенства должен поменяться. 86
4). 4 больше 12. Запишем очевидное неравенство 7>5 и равенство -8=-8, которые при сложении почленно , дают 7-8>5-8, или -1>-3, что верно. Умножая обе части неравенства -1>-3 на -4, получим (-1)(-4)>(-3)(-4), откуда следует, что 4>12. Разбор софизма. При умножении на -4 знак неравенства должен поменяться. Пример геометрического софизма: 1). 2).Спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пусть, а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c , b = a + c . Перемножаем два эти равенства по частям, нахо-дим : b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc . Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc , или b ( b - a - c ) = - c ( b - a - c ), откуда b = - c , но c = b - a , поэтому b = a - b , или a = 2b. Разбор софизма. В выражении b ( b-a-c )=(- c )*( b-a-c ) производится деление на ( b-a-c ), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба. 87
Пример логического софизма: Софизм учебы. (Не философия, а мечта лентяев!) Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами: The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study ? Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться? 88
Вместо послесловия. Хочется верить, что наша книга интересна разным категориям читателей, ведь в ней содержатся не только научные аспекты, но и биографические сведения об ярких ученых, которые исследовали проблему пятого постулата. Доказательства теорем, представленные в книге, в некоторой степени сложны для понимания неподготовленных читателей, но они помогают разъяснить суть пятого постулата Евклида. Читатель может наглядно увидеть, какие думы занимали величайшие умы человечества на протяжении двух тысяч лет. Надеемся, что наш читатель смог понять, что ученые - тоже люди, которым свойственно ошибаться. И это совершенно неудивительно, ведь их миссия - работа над проблемами колоссальной сложности. Спасибо за внимание. 89
Использованная литература : Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пединститутов. - М., «Просвещение» 1975. Игошин В.И. Основания геометрии – Саратов, «Научная книга», 2004. Игошин В.И. Векторная алгебра – Саратов, «Научная книга», 2005. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории – М., «Просвещение», 1968. Метод аксиоматический – В кн. «Философская энциклопедия», т. 3 – М Сов. Энциклопедия, 1964. http://www.people.su/20124 http://www.liveinternet.ru/users/4373400/post233326198/ http://to-name.ru/biography/nikolaj-lobachevskij.htm http://www.friendship.com.ru/scientist/36.shtml http://biografix.ru/ http://www.vm.ru/news/2014/02/24/parallelnie-pryamie-peresekayutsya-5-interesnih-faktov-iz-biografii-nikolaya-lobachevskogo-236866.html http://mthm.ru/ http://multiurok.ru/ 90
Привередница
Рисуем домики зимой
Стрижонок Скрип. В.П. Астафьев
Для чего нужна астрономия?
В.А. Сухомлинский. Самое красивое и самое уродливое