РАБОТА НА КОНКУРС "ВИРТУАЛЬНАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ"
Презентация отражает учебное исследование по теме "Магический квадрат"
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
«Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь» (Д. Пойя).
В начальной школе мы изучали формулы нахождения площадей прямоугольника S = a ∙ b , квадрата S = a ∙ a , в 5 классе прямоугольного треугольника S = ( a ∙ b ) : 2 . При изучении математики в 5 и 6 кл . мы использовали эти формулы для вычисления площадей фигур. А также изучили основные свойства площадей: равные фигуры имеют равные площади; площадь фигуры равна сумме площадей её частей. В нашем учебнике «Наглядная Геометрия», встречаются задачи на клетчатой бумаге на нахождение площадей фигур. Мне стало очень интересно, какие способы решения таких задач существуют. При изучении литературы выяснилось, что их несколько. Я решила изучить их и проверить какой из них самый результативный, т.е. малозатратный по времени и дает точный результат.
Проблема: Существует ли самый результативный способ нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге? Цель работы: Изучение способов решения задач на клетчатой бумаге и выбор самого удобного. Задачи : Изучить литературу по теме исследования. Выбрать и изучить способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Подобрать задачи. Провести эксперимент. Сделать выводы.
Объект исследования: фигуры на клетчатой бумаге. Предмет исследования: площадь фигур. Методы исследования: 1) теоретический: изучение литературы; 2) эмпирический: эксперимент, анализ, сравнение; 3) математический: построение таблиц, вычисления. Актуальность выбранной темы. Показать разнообразие способов решения одной задачи. При решении олимпиадных задач многие часто оказывались в затруднении при встрече с задачами на клетчатой бумаге. Поэтому я решила обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге и помочь своим сверстникам освоить их, чтобы как можно меньше времени тратить на выполнение таких заданий.
. Рассмотрим основные способы решения таких задач. Площадь фигуры как сумма площадей её частей Задача 1. Найдём площадь фигуры АВС D (см.рис.). Если клетки размером 1х1см. Решение Разобьем фигуру АВС D на части (1 и 2). По свойству площадей: S = S 1 + S 2 = (2∙3):2 + 3∙2 = = 3 + 6 = 9 см² Ответ: 9 см²
Площадь фигуры как часть площади прямоугольника Задача 4. Найдём площадь фигуры АВС D (см.рис. Если клетки размером 1х1см. Решение Опишем около фигуры АВС D прямоугольник. Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2, 3 и 4): S = S пр – S1 – S2 – S3 – S4 = = 4∙4 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 = 16 – 1,5 – 1,5 – 1,5 – 1,5 = 10 см ² Ответ: 10 см²
Площадь фигуры как часть площади прямоугольника Задача 5. Найдём площадь фигуры АВС D (см.рис.). Если клетки размером 1х1см. Решение Опишем около фигуры АВС D прямоугольник. Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2 и 3): S = S пр – S1 – S2 – S3 = = 4∙4 – (4∙4):2 – (2∙1):2 – (2∙1):2 = 16 – 8 – 1 – 1 = = 6 см ² Ответ : 6 см
Формула Пика Площадь искомой фигуры можно найти по формуле: М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах) N – количество узлов внутри треугольника *Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий. Найдём площадь треугольника: Автор этой формулы австрийский математик Пик Георг Александров (1859 – 1943 г.г.) в 1899 году. Кроме этой формулы Георг Пик открыл теоремы Пика, Пика – Жюлиа, Пика – Невалины , доказал неравенство Шварца – Пика. Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика. Рассмотрим применение формулы Пика на примерах:
Эксперимент и исследование Мы решили провести эксперимент для того, чтобы выяснить какой из рассмотренных способов является самым эффективным, т.е. результативным (решение без ошибок) и малозатратным по времени. Рассматривая эти способы на примерах, мы выдвинули гипотезу : самым эффективным будет решение задач по формуле Пика. Обучающимся 6-9 классов (40ч) мы напомнили и объяснили способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Ученики решали задачи с помощью способов описанных выше]; Каждому нужно было решить 3 задачи и засечь время их выполнения. Затем им рассказывали о формуле Пика, показали на примерах её применение и предложили решить эти же задачи, но по формуле Пика (засекли время). Результаты эксперимента представлены в таблице. Общие результаты эксперимента:
Заключение Проведенный эксперимент показал, что: - никто из учеников не знал формулу Пика; - 35/40 учащихся допустили ошибки при решении задач известными способами; - 23/40 учащихся допустили ошибки при решении задач, используя формулу Пика; - количество ошибок, допущенных при решении задач по формуле Пика, - -- сократилось примерно в 2,5 раза - количество безошибочных работ увеличилось в 3 раза; - время, затраченное на решение по формуле Пика, сократилось в 1,5 раза. Вывод : Существует достаточное количество способов нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге. Мы рассмотрели основные из них. Задачи, поставленные в самом начале нашей работой, выполнили. Все способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге хороши, но самым результативным оказался способ решения по формуле Пика! Наша гипотеза подтвердилась. А тем выпускникам, которые недостаточно знают формулы площадей фигур или имеют проблемы с
Список использованной литературы и интернет источников 1. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп: пер. с польского. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981 (Серия: Библиотечка «Квант»). 2. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике, http://mathege.ru/or/ege/Main . 3. http://ru.wikipedia.org/ 4. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика //Математика, 2009, № 17. – [Электронный ресурс] – URL : http://mat.1september.ru/2009/23/gazeta_23_09.pdf (дата обращения 12.01.2015г.) 5. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ 2015 по математике. – [Электронный ресурс] – URL : http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege (дата обращения 22.01.2015г.) 6. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009. 7. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Тема исследования: свойства магических квадратов. Объект исследования: магический квадрат. Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро. Цель исследования: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления Задачи исследования: 1. Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов 2. Изучить известные способы заполнения магических квадратов 3. Исследовать количество решений для магических квадратов 3 и 5 порядка. Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.
Однажды я увидел в книге гравюру немецкого художника Альбрехта Дюрера созданную в 1514 году. Если вглядеться в её правый верхний угол, увидишь квадрат размером 4 на 4. Мне стало интересно: что это за квадрат ?
Так я познакомился с историей магических квадратов. В давние времена, научившись считать и выполнять арифметические действия, люди с удивление обнаружили, что числа имеют самостоятельную жизнь, удивительную и таинственную. Складывая различные числа, располагая их друг за другом или одно под другим, они иногда получали одинаковую сумму. Наконец, разделив числа линиями так, чтобы каждое оказалось в отдельной клетке, увидели квадрат, любое из чисел которого принимало участие в двух суммах, а те, что расположены вдоль диагоналей – даже в трех, и все суммы равны между собой! Недаром древние китайцы, индусы, а вслед за ними и арабы приписывали таким конструкциям таинственные и магические свойства.
Одной из первых известных человечеству магических фигур является магический квадрат 5 4 2 8 6 7 9 15 15 15 15 15 15 15 15 3 1
Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6),дерево (3 и 8), металл (4 и 9). первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200г. до н.э. .
Маги́ческий , или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица , заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34
Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим . Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным , если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n 2 +1. Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2 на 2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3 на 3 ,так как остальные магические квадраты 3 на 3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.
Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3 на 3 можно 8 различными способами, например: 6 7 2 1 5 9 8 3 4
Возможные варианты: 8+4+3 7+6+2 7+5+3 6+5+4 8+5+2 8+6+1 9+4+2 9+5+1
Маги́ческий квадрат Дюрера . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 Четыре средних числа тоже дают в сумме 34, как и короткие диагонали 5,3, 12,14 и 2,8,9,15.
С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Существует 880 магических квадратов порядка 4 и более 13 миллионов магических квадратов порядка 5. Причем, квадраты 5 на 5 были известны еще в средние века.
Применение магических квадратов. Когда я рассмотрел способы составления магических квадратов, меня заинтересовала область их применения. Она показалась мне довольно таки интересной. Сегодня очень актуальным становится вопрос о защите информации. Например, на уроке информатики мы изучали тему кодирование. С помощью магических квадратов так же можно закодировать информацию. Например, зашифровать текст. Расположив буквы согласно числам магического квадрата, получаем фразу «БУДУ В СЕМЬ» или «КЛЮЧИ ПОД КОВРИКОМ». Так же очень популярна японская головоломка судоку , прародителем которой можно считать Магический квадрат. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Не меньшую популярность завоевали судоку и в сети Интернет. Англичане используют площадку для игры в шаффлборд , размеченную в виде магического квадрата .
Литература 1 Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1989г. 2. М.Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г. 3.Н.Лэнгдон, Ч.Снейп С математикой в путь. «Педагогика»,1987 Ссылки на интернет-ресурсы https://ru.wikipedia.org/ http://ppt4web.ru/geometrija/magicheskie-kvadraty1.html http://www.uchportal.ru/load/25-1-0-6351
Три орешка для Золушки
"Портрет". Н.В. Гоголь
Л. Нечаев. Про желтые груши и красные уши
Рисуем ветку берёзы сухой пастелью
Рождественские подарки от Метелицы