Творческая работа "Мое увлечение математикой. 7 тысяч лет шагает в ногу с человеком Прямоугольный треугольник"

«Математика, возможно, никогда не достигла бы такой высокой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения вопросов, которыми сегодня пренебрегают из-за их мнимой бесплодности»- в свое время заметил великий ученый математики Леонард Эйлер и в справедливости этих слов я убедилась, прочитав много дополнительной литературы по математике.

Геометрия зародилась в глубокой древности. А вместе с ней, и прямоугольный треугольник, т.е. его возраст – около пяти с лишним тысяч лет. Примерно в это время в долине Нила образовалось одно из первых развитых государств – Египет. Древние египтяне были замечательными инженерами и строителями.

Об этом  говорят египетские пирамиды, ведь словно из кубиков, они сложены из громадных – в десятки тонн весом – обтёсанных глыб. Самая большая пирамида – пирамида Хеопса (или Хуфу) достигает 164 метров.  

Все пирамиды имеют совершенно одинаковую форму.

И стоят, они не как попало: одна сторона пирамиды всегда обращена точно на восток, другие на север, юг и запад. Ясно, что строители пирамид должны были знать и уметь очень много.

Строители могли начинать работу, если готовы:

-чертёж постройки на папирусе;

-выбрано место для постройки;

-определено основание пирамиды, с учётом её расположения;

-готов угольник.

А угольник делали при помощи веревки.

Ι способ.

Брали веревку, отмеряли на ней сначала 5 локтей, потом 4, потом 3. На концах веревки завязывали узелки с колечками, а свободные концы веревки аккуратно связывали.

Затем вставили в колечки острые колышки и воткнули их в землю так, чтобы вся веревка натянулась. Теперь из планок можно было сделать себе угольник. Этот угольник – треугольник с прямым углом, который лежит как раз против большей стороны. Он и сейчас называется египетским треугольником.

ΙΙ способ.

Этот способ применяли все египетские строители. В землю втыкается отвесный шест. В полдень, когда тень от шеста будет короче всего, становится видным направление север – юг. На земле намечается линия север – юг. Затем, при помощи верёвки с двумя колышками проводятся дуги, как показано на рисунке. Через точки пересечения дуг натягивается верёвка. Это и будет направление с востока на запад. Уже тогда было известно, что линии север – юг и запад – восток пересекаются под прямым углом. Из планок делается угольник и произвольно прибивается третья планка. Такой треугольник не является египетским, а был просто прямоугольным.

Поэтому в Египте была востребована такая профессия, как гарпендонапт.

Для того, чтобы каменные «кубики», из  которых складывается пирамида, ставились правильно, и не вкривь и вкось, пользовались отвесом – верёвочкой с гирькой и угольником.

Египетские треугольники использовали  и землемеры, для разбивки полей на участки после очередного разлива Нила, чиновники фараонов, которые собирали с земледельцев налоги, научились вычислять площади прямоугольного треугольника: надо измерить те его стороны, которые образуют прямой угол, перемножить длины их и оттого, что получилось, взять половину.

Получается, что формуле, применяемой для вычисления площади прямоугольного треугольника 5 000 лет.

Египтяне просто пользовались правилами, которые находили «ощупью» на опыте и запоминали, но не объясняли их.

Прямоугольный треугольник мужал. Знаком он был и грекам. Но они шагнули дальше, им  помыли «рассуждение» и «доказательство».

Пифагор утверждал, что «Все есть число». Решим задачу: По рисунку найти диагональ квадрата. Согласно теореме Пифагора  BD = AB + AD; BD = 2; BD = √2. На взгляд современного ученика число, выражающее длину диагонали не вызывает подозрений:√2 – иррациональное. Но во времена Пифагора таких чисел не знали, поэтому, получалось – отрезок существует, а числа, выражающие длину нет. Это и стало тайной Пифагора и его учеников, сохраняемая под угрозой жизни.

Позже, для построения прямых углов на местности стали использовать специальные приборы. Самый простой их них – экер. В геодезии используют более совершенный прибор – теодолит.

Греки заметили, что стороны египетского треугольника обладают каким - то особым свойством.

Посмотрите на картинку. К каждой стороне треугольника там пририсовано по квадрату.

В маленьком 9 клеток, в среднем 16, а в большем, который лежит против прямого угла, - 25 клеток.

Выходит, что в двух меньших квадратах столько же клеток, сколько в большем. И  заслуга греков в том, что они не только заметили это свойство «египетского» треугольника, но и сделали интереснейшее открытие. Две с половиной тысячи лет назад греческий математик Пифагор доказал, что в любом прямоугольном треугольнике стороны обладают тем же свойством, что в «египетском».

И это уже не правило, а закон, потому, что она верна не для одного или нескольких, а для всех прямоугольных прямоугольников. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство, носящей его имя, теорема, но от него не сохранилось никаких следов. Имя Пифагора, не только выдающегося математика и философа, но и мага и чародея, обросло многочисленными легендами, полными преувеличений. Поэтому его на 1/10 – гением, а на 9/10 – выдумкой. Но достоверный факт: в 420-430 годах до нашей эры (через почти 100 лет после смерти Пифагора) произошло невиданное событии: в Абдерах были выпущены монеты с изображением Пифагора.

До нынешних времен Пифагор – пока единственный математик в истории человечества, чей профиль удостоился столь высокой чести.

Известны около 200 различных доказательств теоремы Пифагора: алгебраических, геометрических, механических и других.

Современное звучание теоремы Пифагора: «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотезы равен сумме квадратов катетов».  

 Для ее доказательства используется чертёж, Пифагором она была сформулирована  несколько иначе: «квадрат, построенный  на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». Или по проще так: «площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площади квадратов, построенных на катетах этого треугольника».

Видимо, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных прямоугольников.

Для треугольника АВС квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника. А квадраты, построенные на катетах, - по 2 исходных  треугольника. Значит, площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах этого треугольника. Это чисто геометрическое доказательство теоремы.

Посмотрим на чертежик.

Ну, на что это похоже?

Называют их в науке

Просто – « Пифагора брюки»

А в приданьях старены «пифагоровы штаны»…

Факт отмечу интересный:

В сих «штанинах» нам известно,

Что имеют две « штанины»

Одинаковые длины.

В Индии и Китае математика зародилась примерно тогда же, когда и в Египте: около 5 тысяч лет назад, поэтому о прямоугольных треугольниках знали китайцы и индийцы задолго до Пифагора, они использовали его для построения алтарей, которые по священному писанию должны иметь геометрическую форму, относительно четырех горизонта. Кое в чем математика в Индии и Китае обогнала древних греков. В деревне индусских книгах в так называемых сутрах, содержатся подробные правила для замены одной фигуры равновеликой ей другой для разделения и складывания этих фигур. При этом индусы пользовались главным образом прямоугольными прямоугольниками, стороны которых выражаются целыми числами. Индийским математикам были известны прямоугольные треугольники следующих видов:

1)  со сторонами 3, 4, 5 и ему подобных, получаемые от умножения чисел           3, 4, 5 на одно и тоже число;

2) со сторонами 5, 12, 13 и ему подобные;

3)со сторонами 8, 15, 17 и 12, 35, 37.

Индийцы тоже заметили, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы и после доказательства и Пифагором, они доказывали ее так древнекитайское доказательство.

Если в квадрате со стороной с два треугольника АБС и СДЕ отрезать и преложить гипотенузами к двум другим гипотенузам, то легко обнаружить,  

что полученная фигура, которую иногда называют «крестом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и в, то есть С2 = а2+в2.

Теорема доказана.

А вот доказательство древних индусов. Самих доказательств древние индусы не записали, а сопровождали чертеж лишь одним словом СМОТРИ! После внимательного рассмотрения чертежей сразу также очевидно, что С2 = А2+в2. В этом и состоит самый лучший математический стиль: посредством геометрического построения сделать неочевидное очевидным. В этом и состоит самый лучший математический стиль: посредством геометрического построения сделать неочевидное очевидным.

Не обошел вниманием эту теорему и Евклид (2200 лет до нашей эры).

Рассмотрим рисунок, который положен Евклидом в основу доказательства теоремы Пифагора и  появился он в знаменитой первой книге его «трактата»

«Начала» ( 3 век до нашей эры), в которую и вошла вся геометрия того времени. На рисунке на каждой стороне прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты. Доказательство Евклида  теоремы Пифагора  основано, на утверждении о том, что если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной его основанию, то его площадь при этом не изменяется, то есть 2 треугольника с равными основаниями и равными соответствующими высотами, являются равновеликими. Во второй книге своих «начал» Евклид  рассмотрел более общую, чем в теоремах Пифагора, ситуацию.

В формулировке теоремы Пифагора не указано, что квадраты строятся « во внешнюю сторону» по отношению к треугольнику. В привычной формулировке теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов. Справедливо также обратная теорема: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Теорема Евклида.  Имеют место следующие два утверждения:

а) квадрат стороны, лежащий против острого угла треугольника, равен сумме квадратов дух других сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон на проекцию на нее другой стороны;

б) квадрат стороны, лежащий против тупого угла тупоугольного треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенной с удвоенным произведением одной из этих сторон на проецыю на нее другой стороны.