Парабола является кривой, представляющей собой геометрическое место точек, равноудалённых от фокуса параболы и другой заданной прямой. Эта кривая, а также соответствующий ей в трёхмерном мире эллиптический параболоид, играют важную роль во многих физических процессах, в связи с чем нашли широкое применение и распространение во многих инженерных, технических и др. устройствах, в архитектуре. Первыми описали параболу античные греческие учёные, в рамках труда о конических сечениях. Наиболее значимым является «оптическое свойство» параболы - пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Из- за этого парабола нашла самые различные применения в различных оптических устройствах.
Практическое применение параболы находят не только в математике и геометрии. Например, приборы, использующие параболу в оптической системе - это нагреватели, параболические солнечные батареи. Парабола является траекторией многих космических объектов, и используется как идейная составляющая во многих космических проектах. Парабола применяется в медицине, как нагреватель. Широкое применение парабола нашла в радиоэлектронике – в виде спутниковых антенн. В массовой культуре парабола показывается в некоторых научно-фантастических фильмах, как составная часть устройства. Параболические зеркала применяются для зажигания Олимпийского огня, в коническом источнике света в компьютерной графике, где «прожекторный» (англ. spotlight) источник света использует квадратичное затухание света. Кроме того, сам контур такого типа источника света ограничен двумя конусами, в связи с чем граница сечения пространства, освещаемые источником света, представляют собой конические сечения, в том числе и параболу.
Вложение | Размер |
---|---|
Кривые второго порядка. Парабола | 91.21 КБ |
Краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«АЧИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ ОТРАСЛЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И БИЗНЕСА»
Исследовательская работа
По дисциплине: математика
Тема: Кривые второго порядка. Парабола.
Выполнил: студент группы 203-П
Каратаев Никита.
Преподаватель: Янченко Н.А.
Ачинск, 2015г
Содержание
Введение……………………………………………………………………………….………2
Кривые второго порядка. Парабола.........................................................................................3
Каноническое уравнение параболы и ее свойства………………………………….…….4
Вывод канонического уравнения параболы……………………………………..………….5
Заключение……………………………………………………………………………………6
Литература ………………………………………………………………………………...…..7
Введение
Парабола является кривой, представляющей собой геометрическое место точек, равноудалённых от фокуса параболы и другой заданной прямой. Эта кривая, а также соответствующий ей в трёхмерном мире эллиптический параболоид, играют важную роль во многих физических процессах, в связи с чем нашли широкое применение и распространение во многих инженерных, технических и др. устройствах, в архитектуре. Первыми описали параболу античные греческие учёные, в рамках труда о конических сечениях. Наиболее значимым является «оптическое свойство» параболы - пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Из- за этого парабола нашла самые различные применения в различных оптических устройствах.
Практическое применение параболы находят не только в математике и геометрии. Например, приборы, использующие параболу в оптической системе - это нагреватели, параболические солнечные батареи. Парабола является траекторией многих космических объектов, и используется как идейная составляющая во многих космических проектах. Парабола применяется в медицине, как нагреватель. Широкое применение парабола нашла в радиоэлектронике – в виде спутниковых антенн. В массовой культуре парабола показывается в некоторых научно-фантастических фильмах, как составная часть устройства. Параболические зеркала применяются для зажигания Олимпийского огня, в коническом источнике света в компьютерной графике, где «прожекторный» (англ. spotlight) источник света использует квадратичное затухание света. Кроме того, сам контур такого типа источника света ограничен двумя конусами, в связи с чем граница сечения пространства, освещаемые источником света, представляют собой конические сечения, в том числе и параболу.
Методы исследования: анализ учебной литературы;
Кривые второго порядка. Парабола
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.
Если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.
Надо иметь в виду, что все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.
Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.
Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до директрисы—буквой р. Величину p называют параметром параболы.
В соответствии с изложенным в п° 100 говорят, что парабола имеет . эксцентриситет =1.
Пусть дана какая-нибудь парабола (вместе с тем мы считаем заданным параметр р). Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, оси которой расположим специальным образом по отношению к данной параболе. Именно, ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно к директрисе и будем считать ее направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (рис. 61). Выведем уравнение данной параболы в этой системе координат.
Каноническое уравнение параболы и ее свойства
y
Для вывода уравнения параболы выберем декартову
систему координат так, чтобы ее началом была середина
d M(x,y) перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-
су, а координатные оси располагались параллельно и
r перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD
x равна р. Тогда из равенства r = d следует, что
D O F поскольку
Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y² = 2px , (*)
называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.
1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.
2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.
Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:
Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).
Вывод канонического уравнения параболы
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса (r=FM), через r - расстояние от точки М до директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда
. (1)
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве (1) заменить переменные r и d их выражениями через текущие координаты х, у. Заметим, что фокус F имеет координаты ; приняв это во внимание и применяя формулу (2) п° 18. находим:
(2)
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты ; отсюда ииз формулы (2) п° 18 получаем:
(3),
(при извлечении корня мы взяли со своим знаком, так как - число положительное; это следует из того, что точка М(х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть х > , откуда Заменяя в равенстве (1) г и d их выражениями (2) и (3), найдем:
(4)
Это и есть уравнение рассматриваемой параболы в назначенной системе координат, так как ему удовлетворяют координаты точки М(х; у) в том и только в том случае, когда точка М лежит на данной параболе.
Желая получить уравнение параболы в более простом виде, возведем обе части равенства (4) в квадрат; получим:
(5)или (6) Уравнение (6) выведено нами как следствие уравнения (4). Легко показать ,что уравнение (4) в свою очередь может быть выведено, как следствие уравнения (6).В самом деле ,из уравнения (6) очевидным образом (обратным ходом) выводится уравнение (5); далее, из уравнения (5) имеем:
Остается показать, что , если x,y удовлетворяют уравнению (6), то здесь можно набрать только знак плюс. Но это ясно так как из уравнения (6) следовательно, поэтому есть число положительное. Мы приходим к уравнению (4). Поскольку каждое из уравнений (4) и (6) есть следствие другого, они эквивалентны. Отсюда заключаем что уранение (6) является уравнением параболы. Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.
Уравнение .,определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат , есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой. В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид ,X=или =0
Пусть — произвольная точка параболы. Соединим точку Μ с F. Проведем отрезок ΜΝ перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = ΜΝ. По формуле расстояния между двумя точками находим:
Следовательно,
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
т. е.
Парабола является эффективным инструментом в руках инженера, с помощью неё возможно решение широкого спектра технических задач в различных устройствах и приборах. Парабола является лишь геометрической кривой, но имеет массу приложений из-за её необычных свойств.
Вывод канонического уравнения параболы
Круговорот воды в пакете
Голубая лягушка
Новый снимок Юпитера
Сочные помидорки
Заколдованная буква