Проблемно-реферативный прект "Углы в пространстве"
В работе рассмотрены 4 способа нахождения угла между скрещивающимися прямыми:
-С помощью параллельного переноса
- Метод координат
-Способ «в три косинуса»
-Правило тетраэдра
Решаются и исследуются задания С2 из вариантов ЕГЭ на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Проект содержит реферат по теме и презентацию.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 ugol_mezhdu_skreshchivayushchimisya_pryamymi.pptx | 2.74 МБ |
 ugol_mezhdu_skreshchivayushchimisya_pryamymi.docx | 2.25 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Угол между прямой и плоскость Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми
Введение Вопросы инновационных технологий в строительстве, космонавтике, технике невозможны без умения производить необходимые чертежи и вычисления, которые требуют знания важных и интереснейших свойств геометрических фигур.
Геометрия в природе В живой природе функция и форма тесно сближены и взаимно обусловлены.
Цели проекта: Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теме «Многогранники». Иметь представление о типах заданий С2 в вариантах ЕГЭ. Отработать приёмы и методы построения искомого на чертеже. Подготовиться к ЕГЭ.
Задачи проекта: Формирование прочных навыков решения задач по теме: «Углы между скрещивающимися прямыми». Приобрести умение пользоваться справочной и научной литературой. Научиться рассуждать научно и логически.
Содержание ВВЕДЕНИЕ ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Глава1.Справочный материал §1. Из истории геометрии §2.Полезно знать Глава 2.Способы нахождения углов между скрещивающимися прямыми §3. Параллельный перенос 3.1 Куб 3.2.Шестигранная призма §4. Метод координат 4.1. Координаты куба 4.2. Координаты трехгранной призмы 4.3. Координаты шестигранной призмы 4.4. Координаты четырехугольной пирамиды §5. Способ «в три косинуса» §6. Правило тетраэдра Глава 3. Практическое приложение: «Задания С2 ЕГЭ» §7. Три способа решения одной задачи С2 7.1. Решение 1 (по теореме о 3 перпендикулярах) 7.2. Решение 2 (параллельный перенос) 7.3. Решение 3(метод координат) §8. Решите сами ЗАКЛЮЧЕНИЕ ИСТОЧНИКИ МАТЕРИАЛОВ
Геометрия применялась при постройке величественных сооружений, которые стоят и по сей день. Пирамиды Хеопса Колизей Амфитеатр Пирамида Майя Геометрия в древности
Н. И. Лобачевский Леонард Эйлер Пьер Ферма Евклид Пифагор К.Ф. Гаусс Люди, принявшие участие в создании геометрии как науки
Углом между скрещивающимися прямыми
Полезно знать Прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и лежат в разных плоскостях. а в α β
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. a b b M m n
(теорема косинусов) При нахождении угла между пересекающимися прямыми используют формулу Полезно знать a b c
A B C a b c гипотенуза катет катет Прямоугольный треугольник Теорема Пифагора Площадь Если А=30 ˚ , то Если А=45 ˚, то sin A= cos A= tg A= ctgA = с² = а² + b ² S =0,5а ∙ b а =c : 2 а =b а :c b:c а :b b : a S =0,5 с ∙ h c
Правильный треугольник Стороны Углы Площадь Периметр О - точка пересечения 60 ˚ 60 ˚ 60 ˚ а а а О равны равны 60 ˚ S =а²√3:4 высот, медиан, биссектрис, центр вписанной и описанной окружности Р = 3а r R R =2 r =2/3 h= a : √3
Правильный четырёхугольник - квадрат Стороны Углы Площадь Периметр Диагонали О - точка пересечения диагоналей 90 ˚ 90 ˚ 90 ˚ 90 ˚ равны 90 ˚ равны S =а² Р = 4а равны, перпендикулярны, биссектрисы углов центр вписанной и описанной окружности О R r R = 1/ 2 d= a √2 :2; r = 1/2 a
Правильный шестиугольник Стороны Углы Периметр Площадь Диагонали О – точка пересечения диагоналей 60 ˚ 60 ˚ 60 ˚ 120 ˚ равны равны 120 ˚ Р = 6а S =3а²√3:2 равны, биссектрисы углов а центр вписанной и описанной окружности R r О R = а ; r = a √3:2 3 0 ˚
Призма ТРЕУГОЛЬНАЯ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ
Пирамида ТРЕУГОЛЬНАЯ (тетраэдр) ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ
Способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми С помощью параллельного переноса Метод координат Способ «в три косинуса» Правило тетраэдра α b a
Параллельный перенос № 1
Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. a b M m Полезно знать
D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 1 1 1 1 Прямая AD 1 параллельна прямой ВС 1 , АВ 1 = AD 1 = В 1 D 1 =√ 1²+1²=√2, Угол между п рямыми АВ 1 и ВС 1 равен ∠ В 1 AD 1 . Ответ: 60. Задача 1. В единичном кубе АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1 . Решение (параллельный перенос) ∆ В 1 AD 1 – равносторонний, В 1 AD 1 = 60 0.
Задача 2. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C 1 ₁ D 1 ₁ все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и CB 1 ₁ A C B D A A 1 D 1 C 1 B 1 Ответ:90 1 1 1 Угол между прямыми АВ и C В₁ равен углу между СВ₁ и CD . Решение (параллельный перенос) D СВ₁ =90°.
Задача 3. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми C А и BD ₁ . A C B D A 1 D 1 C 1 B 1 C 2 B 2 D C 3 B 3 Ответ:90. 1 1 1 √5 √3 √2 √2 Угол между прямыми АС и BD ₁ равен углу D ₁ВС₂ . 1 Решение (параллельный перенос)
Задача4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и A ₁С ₁ A B C D E F A 1 F 1 E 1 D 1 C 1 B 1 Ответ:30 120 ° 1 1 1 Решение (параллельный перенос) Δ АВС – равнобедренный, АВС = 120 0 . САВ = 30 0
1 1 1 А В С D Е F А 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 F 1 О О 1 А В С D Е F А 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 F 1 Построим плоскость А 1 D 1 D параллельную плоскости ВВ 1 С 1 С. Прямая AO 1 ll BC 1 . Задача 5 . В правильной шестиугольной призме A … F ₁ , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 . Решение (параллельный перенос) √2 √2 1 AO 1 = √2, AB 1 = √2. B 1 O 1 = 0,5 B ₁E₁ = 1. Искомый угол между прямыми AB 1 и BC 1 равен B 1 AO 1 . Ответ: 0 ,75
Метод координат № 2
О А В С ( х ₁; у₁; z₁ ) ( х ₂; у₂ ; z₂ ) ( х ; у ;z ) Длина отрезка: АВ=√ ( х₁-х ₂)²+( у₁-у ₂)² +(z₁-z₂)² Координаты середины отрезка: х= ( х₁+х ₂):2 ; у= ( у₁+у ₂):2 ; z=(z₁+z₂):2 Полезно знать х у z
Координаты вектора АВ Длина вектора АВ Координаты суммы а + b Координаты разности а - b Координаты вектора умноженного на число: Полезно знать В( х ₁; у₁; z ₂ ) А( х ₂; у₂ ; z ₂ ) а( х ₁ ; у ₁; z₁ ) b ( х ₂ ; у ₂; z ₂ ) k а( k х ₁ ; k у ₁; k z ₁ ) k а х у ( х = х ₁ - х ₂ ; у = у ₁ - у ₂; z₁ - z ₂ ) = √х² + у²+ z ² ( х₁ + х₂ ; у₁ + у ₂; z₁ + z₂ ) ( х₁ - х₂ ; у₁ - у ₂; z₁ - z₂ ) ( k х ₁ ; k у ₁; k z ₁ ) z
Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами a (x 1 ; y 1 ; z 1 ) и b (x 2 ; y 2 ; z 2 ). Косинус угла между векторами: a b
Координаты куба Точка A B C D Координаты Точка A 1 B 1 C 1 D 1 Координаты 1 1 1 х у Z A B C D A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ (0; 0; 0) (1; 0; 0) (1; 1; 0) (0; 1; 0) (0; 0; 1) (1; 0; 1) (1; 1; 1) (0; 1; 1)
D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 1 1 1 1 Введем систему координат. н айдём cos = 1/2 Ответ: 60 З адача1. В единичном кубе АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1 . Решение (метод координат) х у z Координаты точек: А(0; 0; 0), В ₁ (1; 0; 1), П о формуле Координаты векторов: АВ ₁ (1 ; 0; 1 ), ВС ₁ (0; 0; 1). В(1 ; 0; 0 ), С ₁ (1; 1; 1). ( А В 1 ;ВС 1 )=60 0 .
Способ «в три косинуса» № 3
a b b 1 Cos ab =Cos ab 1 · Cos bb 1 Полезно знать
Решение (способ «в три косинуса ») D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 Cos ( AB₁ , BC₁ ) = Cos AB₁B · Cos B₁BC₁ Построим проекцию ребра АВ 1 на плоскость ( B 1 BC) . Применяя формулу: получаем : Cos ( AB 1 , BC 1 ) =0 , 5 . З адача1. В единичном кубе АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1 . ( AB ₁ , BC ₁ ) = 60 °. 1 √2 1 1 √2 Ответ: 60
№ 4 С помощью тетраэдра
D А В С 2 l ( AC ² + BD ² )-( CD ² + AB ² ) l Cos( AD , CB ) = AD · CB Полезно знать
D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 2 ( BB ₁² + AC ₁² )-( AB ² + B ₁ C ₁² ) Cos( AB ₁ , BC ₁ ) = AB 1 · BC 1 Построим тетраэдр с противоположными ребрами AB 1 и BC 1 . Применяя формулу, Получаем: Cos ( AB ₁ ,BC ₁ ) =0 , 5 . Решение (с помощью тетраэдра) З адача1. В единичном кубе АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1 . 1 1 1 √3 √2 √2 ( AB ₁ ,BC ₁ ) = 60 °. Ответ: 60
Практикум: « Решение задач С2 ЕГЭ» Нахождение угла между скрещивающимися прямыми
Найдите несколько способов решения задачи Задача6. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1 .
Ответ: 90 Так как А₁ E 1 А₁В₁ , то А₁ E 1 перпендикуляр к плоскости АА₁В₁, следовательно A 1 B проекция наклонной BE 1 . АВ₁ А ₁B (диагонали квадрата) . Следовательно BE 1 АВ₁ (по теореме о трёх перпендикулярах). Решение 1 ( по теореме о трёх перпендикулярах). Τ Τ Τ Значит ∠ ( АВ₁ ;ВЕ₁ )= 90°.
Решение 2 (параллельный перенос) . Ответ: 90 G 1 2 1 √5 1 1 √3 √7 √2 √2 Построим В G 1 ||АВ₁ . Тогда В G 1 = АВ₁ = √2. ∆ВЕЕ₁ прямоугольный и ВЕ=2, ЕЕ₁=1 , то ВЕ₁=√5 (по теореме Пифагора). Е₁А₁ А₁В₁ , Е₁А₁=√3 , А₁ G 1 =2, то Е₁ G 1 =√7 (по теореме Пифагора). Для ∆ВЕ₁ G 1 проверим теорему Пифагора: √7² =√5²+√2². Значит ∠ Е₁В G 1 =90°. 1 1 Τ
Решение 3 (метод координат). Х Z У Ответ: 90 (1, 0, 0) (0 , √3 , 1) ( 0 , 0, 0) Введем систему координат . Вектор АВ₁(1, 0, 1). Вектор ВЕ₁ (-1, √3, 1). Найдём cos ∠ ( АВ₁ ;ВЕ₁ )=0. Найдём координаты точек: А, В, В₁, Е₁. (1, 0, 1) Значит ∠ ( АВ ₁ ; ВЕ ₁ )= 90°.
Задания С2 ЕГЭ (решите сами) 1.В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отмечены точки E и F — середины ребер A 1 B 1 и B 1 C 1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF. 2. Ребро куба равно 4. Найдите косинус угла между прямыми PQ и EF , P – середина АА1, Q – середина С1 D 1 , Е – середина ВВ1, F – середина DC . 3. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1 . 4. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямыми ВМ и DE, где М — середина ребра SC. 5. В правильной треугольной призме ABCA₁В₁С₁, все рёбра которой равны 1,найдите расстояние между прямыми AA₁ и BC₁. . Ответ: arccos 0,8. Ответ: 1/3. Ответ: 0,25 √2 . Ответ:1 . Ответ: 0,5 √3 .
Заключение Исследование и решение мною заданий С2 ЕГЭ показало, что есть множество способов нахождения углов между скрещивающимися прямыми. Заметил, что для каждой задачи, можно найти рациональный метод решения. Мою работу можно использовать при подготовке к ЕГЭ , при отработке навыков решения заданий C2 .
http://img-fotki.yandex.ru/get/3108/lelbka-saf.1/0_5577_d07190c7_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/27/sm-lydmila.17/0_17993_f3a34074_-1-L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/3314/promza-03.3/0_26186_f5ddd573_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/3211/zvyg-ov.0/0_4606_1f62c48f_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/3303/sharlen59.11/0_1c33b_185e1b1e_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/37/hvosttruboi.0/0_1be5b_9345420c_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/3311/mik3966.2/0_20b58_2f399108_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/2709/tlitvintseva.0/0_1e455_859da4e0_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/52/yealaguna.4/0_f425_b6e64384_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/19/galamish.6/0_dbab_144f93ff_L.jpeg http://alexlarin.net/ege11.html И.Р. Высоцкий « Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ» Москва « Астрель », 2010г. Г.И. Глейзер,« История математики в школе», Москва , « Просвещение» ,1982г. Л.И.Звавич , А.Р.Рязановский «Геометрия в таблицах 7-11 классы» Москва. Издательский дом «Дрофа» ,2005г. А.Л. Семенова и И.В. Ященко «ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся», Ярославль « Интеллект-центр», 2011г. В.А.Смирнов «Готовимся к ЕГЭ. Геометрия. Стереометрия»– М.:МЦНМЩ,2011 Источники материалов
Спасибо за внимание! «Жизнь не спросит, что ты учил. Жизнь спросит, что ты знаешь»
Предварительный просмотр:
Хитрый коврик
Снежный всадник
Как нарисовать небо акварелью
Хитрость Дидоны
Рукавичка