Доклад "Математическая природа музыки"

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Кустаревская средняя общеобразовательная школа»

Доклад по музыке на тему

«Математическая

природа музыки»

Выполнила: Синякина Татьяна,

ученица 8 класса

                                                        Учитель: Гималова Т.М.

Январь 2014 года

Музыка есть таинственная арифметика души;

она вычисляет, сама того не сознавая. 

 Готфрид Лейбниц

Вступление.  «Музыка математична, а математика музыкальна»

Музыка, одно из семи видов искусств, входила в квадривиум наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством. В свое время английский математик Д. Сильвестр называл музыку математикой чувств, а математику — музыкой разума. Он же выражал надежду, что каждая из них должна получить завершение со стороны другой, и предвидел в будущем появление личности, в которой соединятся гении Бетховена и Гаусса.  Какая связь может быть между математикой, мудрой царицей всех наук, и музыкой?

       Рассматривая математическую теорию музыки можно отметить, что приятные для слуха различные музыкальные звуки подчиняются простым математическим законам. Данная тема актуальна в наши дни, и в ней есть место для новых открытий.

Учеными доказано влияние музыки на математику, а именно на продуктивность усвоения учащимися материала на уроках алгебры или геометрии с помощью оптимизации умственных процессов, путем прослушивания на уроках музыкальных произведений. Эти две, вроде бы не совместимые «материи», идут бок о бок и гармонично дополняют друг друга.

Можно убедиться, что математическая точность музыки всегда была и остаётся её неотъемлемым свойством, а музыкальная поэтика свойственна всем математическим процессам.

И там и тут господствует идея числа и отношения. Нет такой области музыки, где числа не выступали бы конечным способом описания происходящего: в ладах есть определенное число ступеней, которые характеризуются определенными зависимостями и пропорциональными отношениями; ритм делит время на единицы и устанавливает между ними числовые связи; музыкальная форма основана на идее сходства и различия, тождества и контраста, которые восходят к понятиям множества, симметрии и формируют квазигеометрические музыкальные понятия. К тому же музыка процессуальна, а математика берется описать самые разнообразные процессы в абстрактных категориях — категория производности и непроизводности, на которых построено все музыкальное формообразование, крайне математична. В математике красота и гармония ведут за собой творческую мысль так же как в музыке. В математике только то верно, что прекрасно.

Дроби в музыке важны – с математикой дружны!

Ребята, которые занимаются в музыкальной школе, знают, что ноты записываются с помощью чисел.  Основные ритмические измерения, применяемые в музыке - это относительные длительности: целая нота, половинная, четвертная, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая. 

   Эти же дроби 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/16 и так далее занимали особое место в математике древних. Дело в том, что в древности отдельной арифметической операцией полагали удвоение  и деление пополам. Числа перемножали при помощи последовательных удвоений (например, 9х5=2х2х2х5+5); деление пополам не менее важно, как обратно к удвоению действие. Операция удвоения продержалась довольно долго; ещё в 15 веке её считали особым арифметическим действием, и рассматривали отдельно, наряду с умножением, делением, умножением и вычитанием.

    Эти дроби сыграли определяющую роль в музыке. И сейчас в общепринятой нотной записи длинная нота – целая – делится на половинки (вдвое короче), четверти, восьмые, шестнадцатые и тридцать вторые. Любой ученик музыкальной школы знает с шести – семилетнего возраста, что 6/8 – это три четверти, и что в одной половинке восемь шестнадцатых. Таким образом, ритмический рисунок любого музыкального произведения, созданного европейской культурой, каким бы сложным он ни был, определяется двоичными дробями. Пифагорейцы, много занимавшиеся музыкой и обожествлявшие число, исследовали, на сколько повышается тон струны, если её прижать посередине, или на четверть расстояния одного из концов, или на треть. Обнаружилось, что одновременное звучание двух струн приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4,  что соответствует музыкальным интервалам в октаву, квинту и кварту. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, что подтверждало основную мысль пифагорейцев: «Число правит миром».

Роль математиков Пифагора и Галилея в  музыке

На протяжении многих лет ученые создавая музыкальные инструменты, производили математические расчеты параметров: необходимые размеры и пропорциональность частей инструмента.

Одним из первых музыкальных инструментов, на котором античные созерцатели постигали премудрости музыкальной грамоты, был монохорд. Монохорд (рис. 1) – это древнегреческий однострунный музыкальный инструмент, созданный Пифагором.  Это был длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна. Снизу струна поджималась передвижной подставкой для деления струны на две относительно звучащие части. На деревянном ящике под струной имелась шкала делений, позволяющая точно установить, какая часть струны звучит. Как музыкальный инструмент монохорд кажется слишком примитивным, однако он был прекрасным физическим прибором и учебным пособием. Изучая колебания струны монохорда, древние греки (а начинал исследования Пифагор) сформулировали законы:

1.  Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорционально ее длине l: f=a/l, здесь а – коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств струны (толщины, материала т. п.)

2.  Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа: 1:2, 2:3, 3:4, составляющее треугольное число= 1+2+3+4). Треугольное число – это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника. Эти интервалы - «совершенные консонансы», и их интервальные коэффициенты позже получили латинские названия: октава l2/l1=1/2, квинта l2/l1=2/3, кварта l2/l1=3/4.

3.  Наиболее полное слияние тонов, дает октава (2/1), затем идут квинта (3/2) и кварта (4/3). Т. е. чем меньше число n в отношении вида (n+1)/n, ( n = 1.2.3), тем созвучнее интервал.

4.  Так же были установлены пропорциональные отношения между основным совершенным консонансом – октавой, квинтой и квартой, т. е квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2. Среднее гармоническое двух чисел – это число, обратное которому среднее арифметическое. Кварта - это среднее арифметическое l1 и l2. Среднее арифметическое двух чисел – это число, получаемое делением суммы нескольких чисел на их количество.

5. Произведение среднего арифметического на среднее гармоническое равно произведению исходных чисел.

6. Октава есть произведение квинты на кварту. Была получена и третья из основных пропорций – геометрическая, которую называли «музыкальной»: октава так относится к квинте, как кварта к основному тону.

7. Октава делится на два неравных консонансных интервала – квинту и кварту. Интервал, дополняющий данный интервал до октавы, называется его обращением. Таким образом, квинта есть обращение кварты и наоборот.

8. Тон равен отношению консонанса квинты к консонансу кварты.

9. Квинта равна отношению консонанса кварты к диссонансу тона.

10. Сумма двух интервалов равна произведению их интервальных коэффициентов.

Начиная с шестнадцатого века в центре внимания исследователей стояла проблема установления связи между высотой тона и числом колебаний тела. Известно, что в 1585г. итальянец Джованни Бенедетта опубликовал в Турине трактат,  о музыкальных интервалах, в котором он утверждает, что в одних и тех же интервалах с одинаковым отношением высот звуков будут равны и отношения частот колебательного движения тел, производящих эти звуки. образом, движения тел, производящих эти звуки. Некоторые свои расчёты к доказательству связи между высотой звука и частотой колебаний публикует в 1618г. француз Исаак Бикман.

В своих знаменитых «Беседах и математических доказательствах, касающихся новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению» - главном труде Галилея, вышедшем в Лейдене в 1638г. и содержащем в систематическом виде изложение всего сделанного им в механике. Галилей рассуждает о вибрации тел. Галилей описывает сделанное им в опытах наблюдение, что звук пластинки мог заставить звучать струны его спинета. Этот эффект вызывается явлением, которое называется сейчас резонансом. Наблюдательный Галилей заметил также, что если струны, резонирующие на звук медных пластинок, возбуждаемых железным резцом, составляют между собой квинту, то среднее расстояние между резками на пластинках относятся как два к трём. Такими опытами он мог установить отношения частот в музыкальных интервалах. Галилей пытался выяснить, почему музыкальные интервалы с простыми отношениями 1:2, 1:2, 2:3 и некоторые другие * кажутся на слух приятными (консонансами), а музыкальные интервалы с отношениями больших целых чисел. Например, 15:16 - неприятными (диссонансами).

Заключение

Слушая музыку, мы никогда не задумываемся о ее связи с математикой. Однако, уже при знакомстве с произведением можно заметить, что оно разделено на куплеты, действия, акты, сцены, имеющие порядковые номера. Словосочетание «нотный стан» ассоциируется в нашем понятии с числом  7 (по количеству нотных линий) и т.д.. Лейбниц подчёркивал бессознательность «счёта души» при слушании музыки. Это верно в том очевидном смысле, что в процессе слухового восприятия никто не ведёт подсчёта тактов либо их метрических долей, кроме отдельных случаев, когда этого требует поставленная задача.

Закончить свой доклад я хочу цитатой «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришёл к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства» (Генрих Нейгауз)

Литература

1. Музыка и математика. - М.: Наука, 1984.

2. Интернет ресурс: Letopisi.ru,  Проект «Музыкальная математика»

3. Интернет ресурс: RONL.ru, реферат «Математика и искусство»