Тема: «Делимость чисел»

 МОУ «Крапивская основная общеобразовательная школа»

        Тема: «Делимость чисел»

Выполнил:

ученик 6 класса Микуленко Семён

Руководитель:

учитель математики Клочкова Светлана Викторовна

НОУ «Поиск».

МОУ «Крапивская основная общеобразовательная школа» д.Крапивка 2008г.

Содержание

1.Введение-----------------------------------стр 2

2.Делимость чисел-----------------------стр 4-5

2.1.Делимость на 11---------------------стр 6-7

3.Решение задачи с использованием делимости чисел-------------- стр8-11

4.Заключение---------------------стр 12

5.Литература---------------------стр 13

1. Введение.

В книге «Математика и правдоподобные рассуждения» Дьердя Пойя автор убедительно показывает, что «в своем математическом творчестве математик так же пользуется наблюдением и обобщением, гипотезой и экспериментом, как это делает всякий естествоиспытатель». В настоящих научных проблемах все не так гладко, как кажется при чтении. Если проблема слишком сложная и не поддается « прямым атакам », то полезно сравнить ее с похожей задачей, которая уже решена, или рассмотреть несколько частных случаев и попытаться угадать стоящую за ними закономерность. Затем приходит пора строгого доказательства (или опровержения) уже установленного утверждения. При изложении результатов в статье, учебнике обычно оставляют только фазу доказательства, а фазу поиска пропускают, как «несущественную». Однако в таком отношении работа от этого часто теряет, поскольку ученику не показывают, как можно было додуматься до теоремы, хотя бы и строго доказанной потом. Откуда материал часто остаётся понятым не до конца, а решение заданий по изученной теме – механическим, запоминание данного материала оказывается не долгим.

Поэтому рассмотрение доказательств делимости чисел считаю актуальной.

Целью нашей работы является рассмотрение доказательства делимости натуральных чисел на 11.

Задачей нашей работы является:

- исследование теоремы делимости чисел на 11

- применение делимости чисел для решения конкретных примеров и задач

Практическая значимость нашей работы заключается в том, чтобы подобрать и разработать нестандартные задания на тему: «делимость чисел».

2. Делимость чисел

Делимость - одно из основных понятий, изучаемыx в теории чисел говорят, что целое число а делится на целое b, если существует такое целое число с. что a= bс. Например. 54 делится на 6, так как 54=6∙9; 273 делится на 21, так как 273=21∙13

Приведем несколько свойств делимости:

а) если числа а и b делятся на с, то и числа а + Ь,  а - Ь делятся на с;

б) если а делится на Ь и с- произвольное целое число, то ас делится на Ьс;

в) если а делится на Ь и Ь - на с, то а делится на с.

зная разложения чисел а и Ь на простые множители, можно легко выяснить, делится ли а на Ь. Для того чтобы число а делилось на число Ь, необходимо и достаточно, чтобы каждый простой множитель, входящий в разложение числа Ь, входил и в разложение числа а; причем если простой множитель встречается k раз в разложении числа Ь, то он должен встретиться не менее k раз и в разложении числа а.

Уже давно были найдены признаки делимости чисел, которые позволяют в некоторых случаях быстро установить делимость одного числа на другое, не прибегая к непосредственному делению числа в «столбик».

а) для делимости на 2 Нужно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2;

б) для делимости на 3 Нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3;

 в) для делимости на 4 Нужно, чтобы число, записанное двумя последними цифрами, делилось на 4;

г) для делимости на 5 Нужно, чтобы последняя цифра была 0 или 5;

д) для делимости на 8 нужно, чтобы число, записанное тремя последними цифрами, делилось на 8;

е) для делимости на 9 нужно, чтобы сумма цифр делилась на 9;

ж) Для делимости на 10 нужно, чтобы последняя цифра была 0;

з) для делимости на 11 нужно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делилась на 11.    Рассмотрим подробнее признак делимости на 11.

2.1 Делимость на 11

Алгебра весьма облегчает отыскание признаков, по которым можно заранее, не выполняя деления, установить, делится ли данное число на тот или иной делитель. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,

10        общеизвестны. Выведем признак делимости на 11;
он довольно прост и практичен.

Пусть многозначное число N имеет цифру единиц а, цифру десятков b, цифру сотен с, цифру тысяч d и т. д., т. е.

N = a+ 10b + 100c + 1000d  + . .. =

= а + 10(b+ 10с + 100d + ...),

где многоточие означает сумму дальнейших разрядов. Вычтем из N число 11 (b + 10с + 100d + ...), кратное одиннадцати. Тогда полученная разность, равная, как легко видеть,

                                   а — b- 10(с + 10d+ ...),

будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и    число    N.    Прибавив    к    этой    разности    число

11        (c+10d+…), кратное одиннадцати, мы получим
число

 a +d+ с + 10 (d+ ...),

также имеющее тот же остаток от деления на 11, что и число N. Вычтем одиннадцати, и т. д. В результате, мы получим число                         

a –b + c-d+…=( a + c+…)-(b + d +…),

имеющее тот же остаток от деления на 11, что и исходное число N.

Отсюда вытекает следующий признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае наше число не делится без остатка на 11.

Испытаем, например, число 87 635 064:

8 + 6 + 5 + 6 = 25,

7 + 3 + 0 + 4=14,

25-14=11.

Значит, данное число делится на 11.

Существует и другой признак делимости на 11, удобный для не очень длинных чисел. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11, в противном случае — нет. Например, пусть требуется испытать число 528. Разбиваем число на грани (5/28) и складываем обе грани:

5 + 28 = 33.

Так как 33 делится без остатка на 11, то и число 528 кратно 11:

528: 11=48.

Докажем этот признак делимости. Разобьем многозначное число N на грани. Тогда мы получим двузначные (или однозначные1)) числа, которые обозначим (справа налево) через а, d, с и т. д., так что число N можно будет записать в виде

N = а + 1006 + 10 000с + . . . = а+100 (d+100с+...).

Вычтем из N число 99(d+100c+...)', кратное одиннадцати. Полученное число

                  а + (d+ 100с + ...) = а + Ь+ 100 (с + …)

будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Из этого числа вычтем число 99(с + …), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы найдем, что число N имеет тот же остаток от деления на 11, что и число

                                           a + d +c+…

3.Решение задачи с использованием делимости чисел на 11

                                  1. Номер автомашины

Прогуливаясь по городу, трое студентов-математиков заметили, что водитель автомашины грубо нарушил правила уличного движения. Номер машины (четырехзначный) ни один из студентов не запомнил, но, так как они были математики, каждый из них приметил некоторую особенность этого четырехзначного числа. Один из студентов вспомнил, что две первые цифры числа были одинаковы. Второй вспомнил, что две последние цифры также совпадали между собой. Наконец, третий утверждал, что все это четырехзначное число является точным квадратом. Можно ли по этим данным узнать номер машины?

РЕШЕНИЕ

Обозначим первую (и вторую) цифру искомого числа через а, а третью (и четвертую) — через d. Тогда все число будет равно:

1000а + 100а + 106 + d = 1100а + 11d = 11 (100а + d).

Число это делится на 11, а потому (будучи точным квадратом) оно делится и на 112. Иначе говоря, число 100а+ d  делится на 11. Применяя любой из двух вышеприведенных признаков делимости на 11, найдем, что на 11 делится число а +d . Но это значит, что

a + b=11

так как каждая из цифр a,d  меньше десяти.

Последняя цифра d числа, являющегося точным квадратом, может принимать только следующие значения:

0, 1, 4, 5, 6, 9.

Поэтому для цифры а, которая равна 11— d, находим такие возможные значения:

11, 10,7, 6, 5, 2.

Первые два значения непригодны, и остаются следующие возможности:

d = 4,        a == 7;

d = 5,        a = 6:

d = 6,        а = 5;

d = 9,        a = 2.

Мы видим, что номер автомашины нужно искать среди следующих четырех чисел:

7744, 6655, 5566, 2299.

Но последние три из этих чисел не являются точными квадратами: число 6655 делится на 5, но не делится па 25; число 5566 делится на 2, но не делится на 4; число 2299=121-19 также не является квадратом. Остается только одно число 7744 = 882; оно и дает решение задачи.

Задача 2.

Любитель арифметики перемножил первые 2002 простых числа. На сколько нулей заканчивается произведение!

        (А) О.         (8) 1.         (С) 10.         (D) 20.         (Е) 100.

Решение. Ясно, что  один ноль в произведении есть: и 2, и 5 входят в набор первых 2002 простых чисел. Также ясно должно быть, что больше нулей в этом произведении нет, поскольку сомножители не повторяются, а других способов получить ноль на конце произведения нет. Итак, ответ: В.

Задача 3.

 У двузначного числа п цифра десятков в два раза больше, чем цифра единиц. Тогда число п обязательно ...

        (А) Четное.         (В) Нечетнос.         (С) Меньше 20.

(D) Делится на 3. (Е) Делится на 6.

Решение. Если цифра единиц равна а, то цифра десятков - 2а, а их сумма равна 3а, следовательно, число п делится на 3. Ответ: D.

Задача 4.

Пользуясь ключом для расшифровки, заполните таблицу и прочтите изречение.

Задача 5.

 Вводя последовательно в блок-схему значения x, отгадайте зашифрованное слово.

Ответ: Колокольчик

Заключение

Таким образом, в данной исследовательской работе был подробно рассмотрен признак делимости на 11, изучение которого не включено в курс школьной программы, но является необходимым.

В итоге  изучения делимости чисел, мы приходим к мнению, что признаки делимости необходимы и полезны при решении математических заданий. Знание признаков делимости значительно сокращают время работы и  уменьшают трудоёмкость математических вычислений.

Литература

1.Энцеклопидический словарь юного математика /Москва/Педагогика/1985г./

2.Я.И.Перельман «Занимательная алгебра» /Москва/Наука/1978г./

3. Н.Я. Виленкин «Рассказы о множествах» /Москва /Наука/1960г./

4. Созанова Л.И., Перькова О.И. Упражнения для учащихся 5-6 классов// Математика в школе/ 1993./ №1./

5.Математика /№3/2007г.

6. Математика /№6/2006г./

7. Математика /№4/2007г./

8.© Издательский дом "Первое сентября"  Адрес: 121165, Москва, ул. Киевская, 24, "Первое сентября", Оргкомитет фестиваля "Открытый урок"
 Телефон для справок: (095) 249-31-38. E-mail: festival@1september.ru