Пентамино - поиск решений одной задачи

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия №19 им. Н.З. Поповичевой г. Липецка

УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

«ПЕНТАМИНО – ПОИСК РЕШЕНИЙ ОДНОЙ ЗАДАЧИ»

Выполнили: Черных Дарина, Литаврина Галина

учащиеся 5а класса

Руководитель проекта: Алябьева Е.А.,

учитель математики

2015 год

Содержание

1. Введение
2. Основная часть

1. Историческая справка
2. Задача «Пентамино 6х10»
3. Систематизация найденных решений
4. Некоторые свойства комбинаций из фигур пентамино
5. Поиск новых решений

3. Заключение
4. Библиографический список

1. Введение

Актуальность темы. Человечество с давних времён увлекается различными головоломками. Они привлекают разнообразными формами, позволяют с пользой провести свободное время, проверить свои интеллектуальные способности. Одной из таких головоломок является пентамино. Эта игра развивает абстрактное и оперативное мышление, геометрическое и пространственное воображение, комбинаторные способности, воспитывает настойчивость и терпение, учит определять, создавать, анализировать. Кроме того, пентамино развивает мелкую моторику и координацию движений.

Тема «Головоломка «Пентамино»» изучалась нами на уроках наглядной геометрии. Эта игра сразу заинтересовала всех учеников нашего класса. Из двенадцати фигурок пентамино мы складывали и различные геометрические модели, и фигуры животных. Но самым сложным и увлекательным оказалось решение задачи С. Голомба: двенадцатью фигурами пентамино покрыть прямоугольник 6×10, не накладывая фигуры друг на друга и, используя каждую фигуру только один раз. От нашего учителя мы узнали, что эта задача имеет 2339 решений.   Однако найти даже 5 решений этой головоломки оказалось очень трудной задачей. Но нас настолько увлёк процесс поиска новых решений этой головоломки, что мы решили найти их как можно больше и создать банк решений головоломки «Пентамино 6х10»- это и стало целью нашего проекта .

Так как находить новые решения довольно трудно, то мы поставили перед собой проблему: можно ли, используя уже найденное решение задачи «Пентамино 6х10» получить из него несколько новых решений, перекладывая лишь несколько фигур пентамино?   

Трудности поджидали нас и при создании банка найденных нами решений задачи «Пентамино 6х10». Пока решений было мало, мы легко могли проверить: нет ли среди них одинаковых, но по мере того, как количество решений росло,  эта проверка становилась всё более трудоёмкой. Поэтому перед нами встала вторая проблема: разработать способ систематизации найденных решений, который без особых затрат позволит вносить в банк решений только действительно новые варианты.

Таким образом были  сформулированы  задачи нашего проекта:

1. Изучить историю создания игры пентамино.
2. Рассмотреть самую известную задачу «Пентамино 6х10».
3. Найти собственные решения этой задачи.
4. Создать собственный банк решений задачи «Пентамино 6х10».
5. Найти способы поиска новых решений и систематизации их в банке решений.

2. Основная часть

1. Историческая справка

Полимино, или полиомино (англ. polyomino) — плоские геометрические фигуры, образованные путём соединения нескольких одноклеточных квадратов по их сторонам. Полимино носят названия по числу квадратов, из которого они состоят:

1 — мономино

2 — домино

3 — тримино

4 — тетрамино

5 — пентамино

6 — гексамино

7 — гептамино

8 — октамино

9 — нонамино или эннеомино

10 — декамино

В 1907 году английский изобретатель головоломок Генри Эрнест Дьюдени представил новую игру в своей книге «Кентерберийские головоломки». Он назвал ее «Сломанная шахматная доска». Хотя существуют различные версии этой головоломки, именно вариант Дьюдени стал первым задокументированным использованием полимино в головоломках.

Термин «полимино» ввел в употребление известный математик Соломон В. Голомб в 1953 году. В своей статье «Шахматные доски и полимино», написанной им еще в бытность его аспирантом Гарварда, Голомб определил полимино как «односвязную» фигуру, составленную из квадратов. Односвязность фигуры означает, что каждый входящий в нее квадрат имеет по крайней мере одну сторону, общую с другим входящим в нее же квадратом. Шахматист, добавляет Голомб, сказал бы, что квадраты составлены «ходом ладьи», потому что ладья могла бы обойти все квадраты полимино за конечное число ходов. Асимметричные фигуры, переходящие друг в друга при переворачивании, считаются одной и той же фигурой. Во всех развлечениях с полимино наряду с любой асимметричной фигурой можно использовать и ее зеркальное отражение.

Задачи с полимино очень характерны для комбинаторной геометрии – раздела математики, занимающегося вопросами взаимного расположения и комбинирования геометрических фигур. Это очень красивая, но еще почти не разработанная ветвь математики, поскольку общих методов в ней очень мало, а известные ныне методы настолько примитивны, что не поддаются усовершенствованию.

Домино

Рис. 1

Домино состоит из двух квадратов и может иметь лишь одну форму – форму прямоугольника размером 1×2 (рис. 1).

Тримино

Рис. 2

Тримино (или триомино) — полимино, полученный путём объединения трёх равных квадратов, соединённых сторонами. Если повороты и зеркальные отражения не считать различными формами, то существует только две формы тримино (рис.2): прямое (I-образное) и угловое (L-образное).

Тетрамино

Рис. 3

С тетрамино связано множество задач на составление из них разных фигур. Самая распространённая из них – игра «Тетрис».

Пентамино

Полимино, покрывающее пять клеток шахматной доски, называются пентамино. Существует 12 видов пентамино (рис. 4). Поскольку всего имеется 12 разных пентамино и каждая из этих фигур покрывает пять клеток, то вместе они покрывают 60 клеток.

Рис. 4

Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20.

Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10. Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения.

2.2 Задача «Пентамино 6х10»

Условие задачи.

Даны 12 фигурок пентамино:

Используя все 12 фигур, покрыть прямоугольник 6х10, не накладывая фигуры  друг на друга и используя каждую фигуру один раз:

Фигурки пентамино можно переворачивать.

Цель: найти как можно больше решений задачи «Пентамино 6х10».

3.  Систематизация найденных решений

Идею систематизации решений головоломки «Пентамино 6х10» нам подсказала книга «Задачи на смекалку» (автор И.Ф. Шарыгин). Автор книги рассказал об игре «Пентамино» и показал одно из решений задачи «Пентамино 6х10», в котором перенумеровал фигурки числами от 1 до 12. Используя такой подход, мы, создавая банк решений, каждое решение зашифровали, перечислив в определённом порядке номера фигурок пентамино.

 Шифр каждого решения записывается по следующему правилу: двигаясь слева направо, начиная с верхнего ряда нужно записывать номера каждой встречающейся фигуры, но только один раз. Если при движении вдоль какого-нибудь ряда номер фигуры будет повторяться, то его записывать не нужно.

Таким образом, все фигуры оказались пронумерованы следующим образом: 

  1                    2                                3                    4                   5

6                          7                  8                       9                       10

11                                                                                                              

                                                12

Примеры решений с шифрами:

2,12,3,10,7,8,6,11,5,4,9,1

1,9,11,12,10,8,7,6,4,5,3,2

10,5,11,3,8,9,4,12,7,6,1,2

2.4  Некоторые свойства комбинаций из  фигур пентамино

В ходе поиска решений головоломки нами были замечены некоторые свойства фигур пентамино и комбинаций из этих фигур, используя которые оказалось возможным из одного решения получить несколько новых.

Симметричные комбинации

Мы заметили, что среди разнообразных комбинаций из фигур пентамино есть такие, которые симметричны относительно прямой, например:

Если в таких комбинациях поменять фигуры местами, то получим новую комбинацию, а значит и новое решение:

Одинаковые по форме комбинации, составленные из одних и тех же  фигур

В таких комбинациях фигуры можно менять местами, не изменяя при этом контуры самой комбинации:

Одинаковые по форме комбинации, составленные из различных  фигур

            и

Заменяя в решении такие комбинации одна на другую, можно получить несколько новых комбинаций.

2.5 Поиск новых решений

При создании банка решений мы использовали свойства комбинаций фигур, и это очень облегчило нашу задачу – найти как можно больше решений «Пентамино 6х10». Ведь из одного найденного решения перестановкой только двух или нескольких фигур мы получали ещё несколько новых решений. Так, например, из решения

можно получить по меньшей мере шесть новых решений (смотри приложения 1-5).

Вывод: найденные нами свойства комбинаций из фигур пентамино очень сильно облегчают поиск решений задачи «Пентамино 6х10».

3. Заключение

        В ходе написания работы мы рассмотрели известные задачи полимино, изучили историю создания игры пентамино, исследовали свойства комбинаций из фигур пентамино и с их помощью нашли 87 собственных решений всего одной задачи «Полимино 6х10». Мы также составили банк всех найденных решений и придумали такой способ их систематизации, при котором можно легко проверить: нет ли найденного решения среди старых.

        Работа над данным проектом была для нас полезна, так как  во время  написания проекта мы расширили свой кругозор, научились творчески мыслить, находить новые решения, фантазировать. Мы убедились, что пентамино воспитывает настойчивость и терпение, учит определять, создавать, анализировать.

        По нашему мнению, найденные нами свойства комбинаций из фигур пентамино могут быть использованы  для дальнейшего пополнения банка решений и полезны другим ученикам нашего класса.

При решении поставленных перед нами задач и проблем мы использовали различные информационные ресурсы: учебник по наглядной геометрии (автор И.Ф.Шарыгин), книгу «Задачи на смекалку» (авторы И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин), статьи в журнале «Математика», интернет. Оказалось, что проблемой решения задачи «Прямоугольник 6х10» интересуемся не только мы: в интернете мы нашли множество сайтов, посвящённых пентамино, есть даже сообщества любителей этой увлекательной головоломки в разных странах мира. Все эти материалы очень помогли нам в создании банка решений головоломки.

        Таким образом, мы реализовали все поставленные задачи и достигли цели проекта.

4. Библиографический список

1. И.Ф. Шарыгин, Л.Н.Ерганжиева. Наглядная геометрия. Учебник для 5-6 класса
2. И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин. Задачи на смекалку.
3. Журнал «Математика», сентябрь 2012 г.
4. http://chitariki.ru
5. http://igrudom.ru
6. http://printplay.ru
7. http://puzzles.h1.ru
8. http://razvitierebenka.com
9. http://wikipedia.org
10.  http://msharko.chat.ru