Решение задач из сборника Математика ОГЭ . модуль Геометрия. (вариант 1)

Слайд 1

Слайд 2

№9.Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23. Найдите угол АО D .Ответ дайте в градусах. Дано: АВС- прямоугольный треугольник, угол АВС=23. Найти: угол С-? Решение: Т.к. АВС- прямоугольный,то < А=90. Сумма углов равна 180. По условию < АВС=23, след-но 180-(90+23)=67.Значит, < С=67. Ответ: 67. А В С

Слайд 3

№10 Отрезки АС и В D -диаметры окружности с центром О.Угол АСВ равен 78.Найдите угол АО D .Ответ дайте в градусах. Дано: Окр . АС и ВD- диаметр, О- центр окр . < АСВ=78° Найти: < АОD. Решение: < АСВ- вписанный, он равен половине дуги, на которую опирается, т.е. дуга ВА=78*2=156 ° . Т.к. окр . равна 360° ,то дуга ВD=180°,потому что является половиной окружности. Значит, дуга АD=180-156=24°.Т.к. < АОD- центральный, он равняется дуге, на которую опирается, следовательно он равен 24° . Ответ: < АОD=24° . А В С D

Слайд 4

№11Диагональ прямоугольника образует угол 50 с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах. А В С D Дано: АВСD- прямоугольник ,АС и ВD-диагонали, < ВАО=50° . Найти: < АОD-? Решение: АВСD-прямоугольник, О- точка пересечения диагоналей АС и ВD, АО=ВО=СО=DО, то треугольник АВО- равнобедренный, значит < АВО= < ВАО=50° (по св-ву равно. Треугольника).Сумма углов треугольника=180°,поэтому угол АОВ=180-50-50=80°.Острый угол между диагоналями смежный с < АОВ, значит < АОD=180-80=100°(по св-ву смежных углов) Ответ: 80° .

Слайд 5

№12 На клетчатой бумаге с размером 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. Дано: АВСD- параллелограмм Найти: S-? Решение: Sпарал.=а *h,а=6(т.к. 6 клеток),h=3(т.к. 3 клетки),значит S=6*3=18 кв.ед . Ответ: 18

Слайд 6

№13 Какое из следующих утверждений верно? 1)Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 2)Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. 3)Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена. В ответ запишите номер выбранного утверждения. Ответ: 2.

Слайд 7

№17 Флагшток удерживается в вертикальном положении при помощи троса. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 3м. Длина троса равна 5м.Найдите расстояние от земли до точки крепления троса. Ответ дайте в метрах. ? 5 м 3 м Дано: АВС-прямоугольный треугольник. АВ=5 м,АС =3м Найти: ВС-? Решение: Т.к . Δ АВС-прямоугольный , можно воспользоваться т. Пифагора, откуда ВС=АВ 2 – АС 2 , ВС²=5 2 -3 2 = 25-9=16 ВС=√16=4м Ответ: 4 А В С

Слайд 8

№24Отрезки АВ и С D являются хордами окружности.Найдите расстояние от центра окружности до хорды С D ,если Ав=30,С D =40,а расстояние от центра окружности до хорды АВ=20. А В С D М Дано: АВ и СD- хорды, О- центр окружности,Ав=30, СD=40 Найти: ОМ-? Решение: Соединяем концы хорды АВ с центром О, Δ АОВ- равнобедренный (ОА=ОВ – как радиусы), проведём высоту - медиану ОК=20 на АВ, АК=КВ=15. Найдем радиус окр . из Δ КОВ= Δ КОА – прямоугольный ОА²=20²+15²=625, ОА=√625=25 Найдем ОМ из Δ D ОМ= Δ ОМС –прямоугольный ОМ²=ОС²-МС², МС=½ D С (ОМ-высота, медиана в равнобедренном Δ О D С, ОМ²=25²-20²=225, ОМ=√225=15 Ответ: 15. О К

Слайд 9

№25Сторона А D параллелограмма АВС D вдвое больше стороны С D .Точка М-середина стороны А D .Докажите, что СМ-биссектриса угла ВС D . Дано: АВСD- параллелограмм, М-середина стороны АD Доказать: СМ-биссектриса < ВСD. Док-во: АВСDпараллелограмм , СD=х, АD=2х, А M =DМ=1/2АD=2х\2=х. Δ DМС- равнобедренный, DМ = D С, < DСМ =

Слайд 10

№26 В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана А D перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 168.Найдите стороны треугольника АВС. Дано: Треугольник АВС, ВЕ- биссектриса, AD – медиана Найти: стороны треугольника-? Решение: В треугольнике ABD биссектриса ВЕ будет не только биссектрисой, но и высотой . ABD - равнобедренный AB = BD = DC (т.к. AD -- медиана) АО = ОD = 168/2 = 84 Треугольники АВЕ и DВЕ равны (по двум сторонам и углу между ними), их площади тоже равны. (АВ=В D , ВЕ-общая, < АВЕ= < ЕВ D –по условию) S АВЕ= SD ВЕ Для треугольника ВЕС- ЕD будет медианой. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. площади треугольников Δ BED= Δ CED= Δ AEВ=½·ВЕ·О D и S = ВЕ*OD/2 = 168*84/2 = 84*84, тогда площадь АВС = 3*84*84 =7056 Т.к. AD -медиана, то площади треугольников ABD и ADC тоже равны и = 3*84*84 /2= с другой стороны площадь ABD = 84*ВО,ВО = 3*84/2 = 3*42 = 126 по т.Пифагора с 2 = 84*84+126*126 = 2*42*2*42+3*42*3*42 = 13*42 2 c = 42V13 = AB ? АВ=42√13 BC = 2*c = 84√13 ВС=84√13 OE = 168-126 = 42, АЕ 2 = 84 2 + 42^2 = 5*42 2 AE = 42√5 биссектриса ВЕ делит сторону пропорционально прилежащим сторонам... АЕ/с = ЕС/(2с ), EC = 2*AE AC = 3*AE = 126√5 АС=162√5 Ответ : 42√13 , 84 √ 13, 162 √ 5