"Шахматы и математика"

        Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

                  «Средняя общеобразовательная школа № 94»

«Шахматы и математика»

                                                                                                      Выполнил:

                                                   Ермакова Анна и Прудникова Анастасия

                                                                                  Ученицы 8 класса «В»

                                                                                                       Проверил:

                                                                          Рубцова Ольга Алексеевна

                                      Преподаватель математики МАОУ «СОШ №94»

                                                г.Кемерово 2014

Содержание:

Введение                                                                                                       3

Глава 1. Шахматы

          1.1   Легенда возникновения шахмат                                                          5

          1.2      Виды шахмат                                                                                       6

Глава 2. Математические задачи на шахматную тему

2.1. Задачи на раскрашивание шахматной доски                                         8        

2.2. Задачи на разрезание шахматной доски                                                 9

2.3. Шахматная доска и домино                                                                    10

2.4. Задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске, числа путей

передвижения фигур

2.4.1. Неторопливый король                                                                          12

2.4.2. Ферзь на шахматной доске                                                                  13

2.4.3. Прямолинейная ладья                                                                          14

2.5. Лабиринты на шахматной доске. Ход конем                                       15

2.6. Задачи о перестановках фигур на шахматной доске17

Заключение                                                                                                  21  

Список литературы                                                                                     22                                                                                                                                                                                

Приложение 1                                                                                              23

Приложение 2                                                                                              24

Приложение 3                                                                                              26

Введение

"В юности у меня было два любимых занятия: математика и шахматы. Причина, по которой я предпочел шахматы математике, может показаться непосвященному странной, а то и парадоксальной: в шахматах больше жизни, чем в математике "

Рихард Рети, гроссмейстер, в молодости - учитель математики

Если мир впадет в хаос, игра в шахматы останется вне пространства и времени свидетельством вечного существования идей» – так высоко оценил искусство игры в шахматы Бонтемпелли.

Но вот мы решили взглянуть на шахматы несколько с другой стороны – математической. Конечно, между математикой и шахматами много  родственного. Выдающийся математик Г.Харди, проводя параллель между этими видами человеческой деятельности, заметил, что решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а игра в шахматы это как бы насвистывание математических мелодий.

Формы мышления математика и шахматиста довольно близки, и не случайно математики часто бывают способными шахматистами.

Среди крупных ученых, специалистов в области точных наук, известно немало сильных шахматистов, например, математик академик А.А Марков, механик академик А.Ю. Ишлинский, физик академик, лауреат Нобелевской премии П.Л. Капица.

Понимая огромное значение математики для развития интеллекта, многие великие шахматисты увлекались решением математических задач и головоломок. В качестве примера можно привести таких шахматистов как Эммануил Ласкер, Михаил Ботвинник и Макс Эйве. Кстати, М. Эйве сказал, что «в математике не меньше логики и красоты, чем в шахматах».

Шахматная доска, фигуры и сама игра часто используются для иллюстрации разнообразных математических понятий и задач. Шахматные примеры и термины можно встретить в литературе по кибернетике, теории игр, вычислительной математике, теории графов, теории чисел и комбинаторике. Важное место занимают шахматы в развитии современных методов программирования.

В математических задачах и головоломках, дело, как правило, не обходится без участия фигур. Однако доска сама по себе также представляет достаточно интересный объект. 

Объектом  изучения являются математические задачи на шахматную тему.

Цель нашей работы:

• Систематизировать игру в шахматы;
• Проследить закономерность между шахматами и математикой.

Для этого  поставили следующие задачи:

• познакомиться с историей возникновения шахмат;
• выяснить виды игры в шахматы;
• собрать и решить математические задачи, сюжетом которых является шахматная доска и шахматные фигуры;
• классифицировать математические задачи на шахматную тему по типам;

• выявить используемые при решении таких задач математические методы.

Гипотеза: «шахматы - это не только увлекательная игра, но и оригинальный способ развития мышления, памяти, познания себя и окружающего мира».

При работе над  докладом мы пользовались следующими методами:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
• практический метод решения задач, сюжетом которых являются шахматы;
• анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность данной темы заключается в привлечении учащихся  к  решению логических математических задач, повышении их интереса к математике. Особенностью моей работы является то, что я попытался не просто решить задачи, а разделил их по типам.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники принцип игры в шахматы и какие виды игры в шахматы бывают, а также знают ли они типы математических задач на шахматную тему, и хотели бы они узнать новые виды игры в шахматы, и если связь между увлечением в шахматы и успеваемостью по математике, был проведен опрос. Было опрошено 135 учащиеся 5-9 классов. Этот опрос показал, что современные школьники не знают других видов игры в шахматы, а также типы математических задач на шахматную тему, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Учащиеся отвечали на следующие вопросы:

1) Умеете ли вы играть в шахматы?                                

2) Знаете ли вы нетрадиционные виды игры в шахматы?

3) Хотели бы узнать необычные виды шахмат?

4) Знаете ли вы типы математических задач на шахматную тему?

5) Какие оценки у вас преобладают по математике?

Глава 1. Шахматы

1. Легенда возникновения шахмат

ШАХМАТЫ — древняя интеллектуальная игра, имеющая многовековую историю. Сейчас — одна из наиболее распространенных настольных игр. Правила игры в приложении 2.

В разных странах эта игра имеет свое название: в Англии — чесс (chess), в Испании — ахедрес (el axedres), в Германии — шах (Schach), во Франции — эшек (echecs). Русское название происходит от персидского "шах мат" — властитель побежден.

Шахматы были изобретены около 1000 г. до н.э., индийским математиком, который также изобрел математическое действие возведения в степень. Существует также и легенда:

Когда индийский царь Шерам впервые познакомился с шахматами, он был восхищён их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрёл игру, является его поданным, царь позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку.

Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски - одно зерно, на второе  - два, на каждое последующее вдвое больше зёрен, чем на предыдущее. Царь приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Мудрец скромно потребовал 1 + 22 + 23 + 24 + … + 263 = 264 – 1 зерен.

 Счетоводы магараджи работали всю ночь и только утром сообщили своему господину, что его повеление невыполнимо: такого количества зерна просто не было не только во всей Индии, но и на всей земле. Всего грозному владыке нужно было достать 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 073 миллиарда 709 миллионов 551 тысячу 615 зерен. Для выполнения этой скромной просьбы мудреца потребовалось бы 280 000 лет подряд собирать весь выращенный урожай в Индии или же в течение 8 лет засеивать и собирать зерно со всей поверхности Земли. А если построить амбар дня него высотой четыре и шириной десять метров, то он был бы длиной в 300 000 000 километров, или от Земли до Солнца и обратно.

Конечно, связь с математикой здесь несколько условна, однако неожиданная развязка истории наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.

Раз уж речь зашла о происхождении шахмат, то уместно привести одну гипотезу, использующую некоторые математические свойства доски. Согласно этой гипотезе шахматы произошли из так называемых магических квадратов.

Магический квадрат порядка n представляет собой квадратную таблицу n х n, заполненную целыми числами от 1 до n2 и обладающую следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов порядка 8 она равна 260. 

Закономерность расположения чисел в магических квадратах придает им волшебную силу искусства. Недаром выдающийся немецкий художник А. Дюрер был на столько очарован этими математическими объектами, что воспроизвел магический квадрат в своей знаменитой гравюре “Меланхолия”.

Рассмотрим одну из старинных дебютных табий (начальных расположений фигур) под названием альмуджаннах (рис. 2). Она получается из современной расстановки при помощи следующих симметричных ходов белых и черных: 1. d3 d6 2. e3 e6 3. b3 b6 4. g3 g6 5. c3 c6 6. f3 f6 7. c4 c5 8. f4 f5 9. Кc3 Кc6 10. Кf3 Кf6 11. Лb1 Лb8 12. Лg1 Лg8.

Подсчитав сумму чисел, стоящих на восьми полях — d2, d3, e2, e3, d6, d7, e6, e7, участвующих в первые двух ходах, мы неожиданно получим магическое числе 260. Тот же результат даст и каждая последующая пара приведенных ходов. Подобные примеры (число их можно увеличить) и позволяют высказать гипотезу о связи магических квадратов с шахматами. А исчезновение всех следов этой связи можно объяснить тем, что в далекую эпоху суеверий и мистики древние индусы к арабы приписывали числовым сочетаниям магических квадратов таинственные свойства, и эти квадраты тщательно скрывались. Может быть, поэтому и была выдумана легенда о мудреце, который изобрел шахматы.

2. Виды шахмат

Чатуранга - древне-индийская игра, предшественница современных шахмат; возникла, предположительно, в первые века нашей эры. Чатуранга символизировала битву с участием четырёх видов войск, которыми руководил предводитель (раджа). Войска располагались по углам 64-клеточной прямоугольной доски (аштапады); в игре участвовали четыре человека, по-видимому, по 2 партнёра с каждой стороны. Ходы почти всеми фигурами совершались в чатуранге так же, как и в современных шахматах, только слон ходил иначе - на третье поле по диагонали, перепрыгивая (как конь) через фигуры.

Шахматы махараджа - игра имеет новую фигуру по имени Махараджа, которая комбинирует короля, ферзя и коня. Это означает, что ходит Махараджа как ферзь и рыцарь вместе, не может переместиться на клетку, которая находится под шахом (на эту клетку нападает фигура соперника), она должна просто походить или сбить фигуру соперника

Японские шахматы (Сёги, Shogi) - играется на доске 9x9. Каждый игрок начинает игру со следующими фигурами: 1 король, 1 ладья, 1 слон, 2 золотых генерала, 2 серебряных генерала, 2 коня, 2 улана и 9 пешек. В отличие от западных шахмат все фигуры одного цвета и одной пятигранной формы. Принадлежность к игроку определены заголовками на фигурах.

Шахматы Фишера - правила совпадают с классическими шахматами, за исключением первоначальной расстановки фигур и правил рокировки. Пешки расставляются, как в обычных шахматах. Расстановка фигур выполняется случайным образом, с условием, что два слона игрока должны занять разные по цвету клетки, а король должен стоять где-нибудь между ладьями. Чёрные фигуры ставят в точной зеркальной позиции к белым.

Китайские шахматы (Сянцы, Xiangqi) - играется на прямоугольной доске 9x10. В отличие от западных шахмат, фигуры помещены в пересечения линий, а не в поле. Каждый игрок начинает игру со следующими фигурами: 1 король (или генерал), 2 охранника (или советники), 2 слона, 2 коня, 2 ладьи (или колесницы), 2 пушки и 5 пешек.

В работе представлена только часть видов шахмат. А сколько всего существует вариантов шахмат не сможет сказать никто — эта игра очень широко распространилась по планете, по мере распространения, она менялась в отдельных районах — добавлялись новые фигуры, ходы, менялся порядок расстановки фигур. Игра в «Гексагональные шахматы» протекает и вовсе на шестиугольной доске, клетки в ней также имеют шестиугольный вид.

И по сей день изобретаются всё новые и новые виды шахмат. Вообще, почти во всех видах шахмат, правила не меняются, меняется только способ расстановки фигур, добавляются какие-либо новые фигуры.

Глава 2. Математические задачи на шахматную тему

2.1. Задачи на раскрашивание шахматной доски

Задача 1. Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 8х8, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 36 клеток. Побейте его рекорд!

Решение: Можно закрасить 42 клетки, закрасить 43 клетки невозможно.

Задача 2. Поля клетчатой доски размером 8х8 будем по очереди закрашивать в красный цвет так, чтобы после закрашивания каждой следующей клетки фигура, состоящая из закрашенных клеток, имела ось симметрии. Покажите, как можно, соблюдая это условие, закрасить: а) 26; б) 28 клеток. (В качестве ответа расставьте на тех клетках, которые должны быть закрашены, числа от 1 до 26 или до 28 в том порядке, в котором проводилось закрашивание.)                                                                                                     

Задача 3. Отметьте на доске 8х8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

Задача 4. В квадрате 7х7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

При решении задач на раскрашивание шахматной доски нет какого-то определенного используемого математического метода, нужно просто быть внимательным при решении, чтобы учесть все содержащиеся в условии задачи ограничения.

2.2. Задачи на разрезание шахматной доски

Среди математических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски.

Задача 5. Разрежьте изображённую на рисунке 8,а доску на 4 одинаковые части, чтобы каждая из них содержала 3 заштрихованные клетки.

Задача 6. Четыре алмаза.

Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза – на те поля, на которых был заматован его король.

После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни, причем, как гласит легенда, для казни каждого мудреца использовал его часть доски с алмазом.

Условие задачи: Разрезать доску на четыре одинаковые части (совпадающие при наложении) так, чтобы на каждой из них оказалось по одному коню. Предполагается, что разрезы проходят только по границам между вертикалями и горизонталями доски.

Решение:  Располагая четырех коней на различных полях доски, можно получить множество задач о разрезании. Интерес в них представляет не только нахождение одного необходимого разреза, но и подсчет числа всех способов разрезать доску на четыре одинаковые части, содержащие по одному коню. Установлено, что наибольшее число решений (800) задача имеет при расположении коней в углах доски.

Задача 7. На какое максимальное число частей можно разрезать шахматную доску, если считать разными части, отличающиеся своей формой или цветом полей при совмещении.

Решение: Максимальное число частей равно 18. Решение принадлежит Лойду; особенность его состоит в том, что одна из частей содержит восемь полей (максимум). В решении на рис.10,б, отличающемся внешней симметрией, ни одна часть не содержит более пяти полей. На рис.10,а части 17 и 18, или 8 и 9, хотя и имеют одинаковую форму, отличаются цветом полей при совмещении. Другие части, например, 3 и 6, вообще не могут быть совмещены (переворачивать их нельзя).

Задача 8. Какое максимальное число полей доски можно пересечь одним разрезом?

Решение: Поля доски образуются в результате пересечения 18 прямых – девяти вертикальных и девяти горизонтальных. С каждой из них прямая-разрез может пересечься лишь в одной точке, но из четырех прямых, образующих края доски, она пересекается лишь с двумя. Отсюда следует, что наша прямая пересекает прямые, образующие поля доски, самое большее в 16 точках. Эти точки разбивают прямую не более чем на 15 отрезков, каждый из которых заключен внутри какого-нибудь поля. Таким образом, любой разрез доски пересекает не более 15 полей. Из рис.11 следует, что ровно столько полей пересекает разрез, проведенный параллельно диагонали доски и проходящий через середины сторон двух угловых клеток.

Задача 9. Сколько нужно провести разрезов на доске, чтобы пересечь все ее поля? 

Решение: Семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр доски, а шесть других – в направлениях почти параллельных второй диагонали доски (рис.12).

2.3. Шахматная доска и домино

Задачи про шахматную доску и домино можно считать частным случаем задач на разрезание доски.

Задача 10. Можно ли целиком покрыть домино квадрат 8х8, из которого вырезаны противоположные угловые клетки?

Решение: Предполагается, что каждое домино имеет размеры 2х1 и покрывает два соседних поля доски, а каждое поле покрывается одной половинкой домино. Можно было бы заняться алгебраическими рассуждениями, но шахматное решение гораздо проще. Окрасим урезанный квадрат в черно-белый цвет, превратив его в шахматную доску без двух угловых полей a8 и h1 (рис.13,б). При любом покрытии доски каждое домино покрывает одно белое и одно черное поле. У нас же черных полей на два больше, чем белых, и поэтому необходимого покрытия не существует! Таким образом, раскраска доски не только позволяет шахматисту легче ориентироваться во время игры, но и служит средством решения математических головоломок.

Задача 11. Пусть на шахматной доске вырезаны два поля разного цвета. Всегда ли можно покрыть оставшуюся часть доски 31 домино?

Решение: Оказывается, что всегда. Проведем замкнутую линию, как показано на рис.14. Если из доски вырезаны соседние поля, то разорванная линия будет состоять из одного куска, проходящего через 62 поля, при этом цвета полей чередуются. Если мы станем размещать домино вдоль этой линии, то закроем всю оставшуюся часть доски. Если вырезанные поля не являются соседними, то линия разорвется на две части, проходящие через четное число полей, и каждую из них можно покрыть домино.

Задача 12. Пусть из шахматной доски вырезано некоторое количество полей. При каком наименьшем числе таких полей на оставшуюся часть доски нельзя поместить ни одного домино?

Решение: Достаточно вырезать из доски 32 поля одного цвета – либо белые, либо черные, и на ней не останется места ни для одного домино.

Задачи на раскрашивание и разрезание доски, по-моему, самые легкие математические шахматные задачи. Для решения таких задач единого алгоритма нет, нужны небольшие математические расчеты, хорошее внимание и, конечно, строгие логические рассуждения.

2.4. Задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске,

числа путей передвижения фигур

2.4.1. Неторопливый король

Король – самая медленная фигура в шахматах. С любого места он может переступать только на соседние поля доски. Однако необычное измерение расстояний на доске лучше всего иллюстрирует движущийся король.

Задача 13. Сколькими способами король с поля е1 может добраться кратчайшим путем до поля d8?

Решение: Очевидно, что кратчайшее путешествие короля до цели занимает семь ходов, причем он может перемещаться любыми зигзагообразными путями, оставаясь при этом внутри прямоугольника e1-a5-d8-h4. Для подсчета искомого числа путей составим таблицу чисел, которые будем помещать прямо на полях доски (рис. 15). Число, стоящее на данном поле равно числу кратчайших путей до него с поля e1. На поля d2, e2 и f2 король может попасть кратчайшим путем единственным способом, и поэтому на них стоят единицы. По той же причине единицы стоят на полях c3 и g3. На d3 за два хода король попадает двумя способами, а на e3 – тремя. В общем случае число кратчайших путей до данного поля складывается из одного, двух или трех чисел, стоящих на полях предыдущей горизонтали, с которых король попадает на данное поле в один ход. Пользуясь этой закономерностью, мы, в конце концов, заполним всю таблицу и получим, что с поля e1 до поля d8 король может добраться кратчайшим путем 357 способами.

Задача 14. Какое максимальное число королей можно расставить на доске так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. не стояли рядом?

Решение: Разобьем доску на 16 квадратов (рис. 16). Если мы хотим, чтобы короли не касались друг друга, то, очевидно, в каждом из этих квадратов надо поместить не более одного из них. Это означает, что больше шестнадцати королей, удовлетворяющих условию задачи, расставить невозможно. Итак, максимальное число мирных королей на доске 8х8 равно 16.

Задача 15. Какое наименьшее число королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они нападали на все свободные поля доски?

Решение: В каждом из девяти прямоугольников, выделенных на рис. 17, имеется одно поле (на нем стоит король), которое может быть атаковано только королем, находящимся в этом же прямоугольнике. Следовательно, для того чтобы все свободные поля доски были под угрозой, в каждом из наших девяти прямоугольников должен стоять хотя бы один король. Число девять и является решением задачи для обычной доски.

Задача 16. Двое по очереди передвигают короля, стоящего на доске. Игрок, вынужденный поставить его на поле, которое король уже посетил, проигрывает. На чьей стороне победа?

Решение: Верх берет тот, кто начинает, причем при произвольном положении короля. Для этого он мысленно разбивает доску на прямоугольники 2х1. Затем первым ходом ставит короля на поле, парное исходному с королем (в том же прямоугольнике). А далее на любой ход соперника передвигает короля на парное ему поле. Таким образом, после каждой пары ходов один прямоугольник «исключается» из игры. В конце концов второму игроку придется занять поле, которое король уже посещал.

2.4.2. Ферзь на шахматной доске

Ферзь – самая сильная шахматная фигура. Существует множество задач о ферзе. Я думаю, самая распространенная из них – это задача о восьми ферзях.

Задача 17. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске восемь ферзей, чтобы они не угрожали друг другу, то есть никакие два не стояли на одной вертикали, горизонтали и диагонали?

Решение: Очевидно, больше восьми ферзей расставить невозможно, тогда хотя бы на одной вертикали и горизонтали их окажется не меньше двух. Найти несколько решений несложно, одно из них показано на рис. 18.

Многие известные математики пытались решить эту задачу, среди них: М. Беццель, Ф.Наук, В. Аренс. Однако строгое доказательство того, что 92 расстановки исчерпывают все возможности, было получено Д. Глэшером только спустя более 100 лет после открытия этой задачи. Как уже было сказано всего решений 92, но основные из них 12. Остальные получаются при помощи симметрии.

Задача 18. На бесконечной доске находятся два белых ферзя и черный король. За сколько ходов белые могут поставить мат?

Решение: Оказывается, каковы бы ни были размеры доски, и как бы ни располагались в начальный момент два белых ферзя и черный король, мат дается не позднее четвертого хода! Первым ходом один из ферзей объявляет шах по вертикали; в ответ на отступление короля на одну из соседних линий вторым ходом другой ферзь зажимает короля на двух вертикалях. При этом возникает позиция подобная той, что изображена на рис. 19. На любое движение короля на третьем ходу следует соответствующий горизонтальный шах и мат следующим ходом, например 2... Крe4 3. Фc4+ Крe5 (e3) 4. Фf4

2.4.3. Прямолинейная ладья

Ладья – строгая, прямолинейная фигура. Она тоже часто встречается в математических задачах.

Задача 19. Какое наименьшее число поворотов должна сделать ладья при обходе всех полей доски nхn?

Решение: Ладья должна была сделать хотя бы один ход вдоль каждой вертикали или вдоль каждой горизонтали. Пусть, ладья двигалась хотя бы раз вдоль каждой вертикали. На любую из них, кроме тех, где маршрут начался и закончился, ладья должна была войти и после движения вдоль нее выйти. При этом вход и выход обязательно происходят с поворотами. Таким образом, общее число поворотов не меньше, чем 2(n–2)+1+1=2(n–1). Для любого n маршрут, содержащий ровно столько поворотов, можно получить из маршрута, приведенного на рис. 20,а; при n=8 ладья делает 2(8–1)=14 поворотов. Этот маршрут является открытым, замкнутый маршрут состоит уже из 16 ходов (рис. 20,б).

Задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске и числа путей передвижения фигур более сложные, чем задачи на раскрашивание и разрезание доски. Для их решения нужны более сложные расчеты и умение найти математическую закономерность в найденном ряде чисел. Здесь уже большую помощь в решении задачи может оказать умение играть в шахматы.

2.5. Лабиринты на шахматной доске. Ход конем

Совсем не обязательно быть шахматистом, чтобы знать, какая шахматная фигура самая удивительная. Конечно, это конь! Не случайно выражение «ход конем» стало крылатым и прочно вошло в наш быт. А один из самых остроумных гроссмейстеров, С. Тартаковер, прямо считал, что «вся шахматная партия – это один замаскированный ход конем». Основное свойство коня, которое отличает его от других фигур, состоит в том, что он на каждом своем ходу меняет цвет поля, на котором стоит. Многие задачи о коне удается эффектно решить, если воспользоваться указанным свойством.

Задача 20. Задача о коне Аттилы. На доске находятся две фигуры – белый конь и черный король. Некоторые объявляются «горящими». Конь должен дойти до неприятельского короля, повернуть его и вернуться в исходное положение. Ему запрещено занимать как «горящие» поля, так и поля, уже пройденные им однажды.

«Трава не растёт там, где ступил мой конь!» – похвалялся вождь гуннов Аттила, когда хотел сказать, что его полчища уничтожают всё живое на своём пути. На рис. 21,а конь Аттилы расположен на g4, а неприятельский король – на b3. Горящие поля выделены.

Соединяя отрезками все пары доступных коню полей, между которыми возможен его ход, получаем граф коня для данной задачи (полям доски соответствуют вершины графа) – рис. 21,б. В результате дело сводится к нахождению в графе такого пути, который не содержит ни одной вершины более одного раза и, кроме того, проходит через обе выделенные (на рисунке они обведены кружками).

Методы решения подобных задач, называемых лабиринтами, хорошо известны в теории графов. Впрочем, для коня Аттилы искомый путь нетрудно найти и непосредственно. Он содержит 18 ходов: Кg4-f6-е8-g7-е6-f8-g6-е7-с6-а5:b3-d2-b1-а3-b5-d6-f7-h6-g4. Для достижения цели коню пришлось побывать на 18 полях из 35, не сожжённых в начале сражения.

Задача 21. Может ли конь с поля a1 добраться до h8, побывав на каждом поле доски ровно один раз?

Решение: Не может. Исходное поле a1 – черное, и, значит, на каждом нечетном ходу конь попадает на белое поле. Однако число 63 (именно на 63-м ходу конь прибывает в противоположный угол доски) нечетно, а поле h8 – черное.

Все оказалось довольно просто, но любопытно, что за доской шахматист иногда сталкивается с подобными вопросами. Рассмотрим, например, позицию, изображенную на рис.22. Белым здесь удается добиться ничьей единственным путем – 1. Крc1! Теперь их король будет переходить с c1 на c2 и обратно, занимая каждый раз поле того цвета, что и конь, и не выпуская черного короля из заточения. В случае 1. Крc2 конь попадал на d3 при короле на c2, и пешка проходила в ферзи.

Задача 22. Обойти конем все поля шахматной доски, посетив каждое из них ровно один раз.

Эта задача известна, по крайней мере, с XVIII века. Леонард Эйлер посвятил ей большую работу «Решение одного любопытного вопроса, который, кажется, не подчиняется никакому исследованию» (26 апреля 1757 г.). В письме к Гольдбаху он сообщал: «…Воспоминание о предложенной когда-то мне задаче послужило для меня недавно поводом к некоторым тонким изысканиям, в которых обыкновенный анализ, как кажется, не имеет никакого применения…. Я нашел, наконец, ясный способ находить сколько угодно решений (число их, однако, не бесконечно), не делая проб». Помимо рассмотрения задачи для коня, Эйлер разобрал аналогичные задачи и для других фигур.

Хотя задача была известна и до Эйлера, лишь он впервые обратил внимание на ее математическую сущность, и поэтому задачу часто связывают с его именем.

Метод Эйлера состоит в том, что сначала конь двигается по произвольному маршруту, пока не исчерпает все возможные ходы. Затем оставшиеся непройденными клетки добавляются в сделанный маршрут, после специальной перестановки его элементов.

Фигура коня обозначает начальное положение шахматной фигуры, цифры – его последующие ходы (рис. 23).

Известно много методов для нахождения маршрутов коня, которые носят имя первооткрывателей – метод Эйлера и Вандермонда, рамочный метод Мунка и Коллини, метод деления на четверти Полиньяка и Роже и др.

Неизвестно до сих пор, сколько всего существует маршрутов, Хотя доказано, что число их не более 30 000 000. Многие составители маршрута коня стремились внести в свое занятие, на сколько это возможно, эстетический элемент и достигли любопытных результатов. Придумано множество необычных решений, изображающих различные предметы, буквы или знаки (известен даже график, посвященный Наполеону). Два достопримечательных примера такого рода приведены на рис. 24,а,б. График одного маршрута напоминает собой вазу, а график другого подобен цветку, части которого расположены в высшей степени симметрично.

Со времен Эйлера известен так называемый «раздельный ход коня», который заключается в нахождении пути по одной половине доски, его симметричном дублировании и соединении обеих путей вместе (рис. 25). Для половины шахматной доски – доски 8×4 – найдено точное число маршрутов коня. Это позволило подсчитать число «раздельных ходов коня» на доске 8×8, которое и дает нижнюю границу для числа всех решений задачи.

Значительно труднее проблема, состоящая не в отыскании определенного маршрута коня по доске, а в нахождении всех маршрутов и подсчете их числа. Однако эта задача не решена до сих пор.

2.6. Задачи о перестановках фигур на шахматной доске

Конечно, одной из самых известных занимательных игр является игра «пятнадцать», придуманная С. Ллойдом. Она относится к перестановочным играм и имеет строгую математическую теорию. И на шахматных досках существует много интересных задач и головоломок, связанных с перестановкой фигур, причем для решения некоторых из них придуман математический приём.

Задача 23 «Пятнадцать». В коробочке 4х4 находятся пятнадцать квадратов, пронумерованных числами от 1 до 15. Требуется, не вынимая квадраты из коробочки, переставить их так, чтобы номера шли в возрастающем порядке.

Проблема не очень то серьезная, если бы не одно обстоятельство. При попытке уложить фишки в коробочку случайным образом оказывается, что лишь половина из всех возможных комбинаций поддается упорядочению, согласно приведенному условию. Другие комбинации сводятся к расположению, при котором фишки от первой до тринадцатой стоят на своих местах, а две фишки с номерами четырнадцать и пятнадцать поменялись местами. Подобную комбинацию использовал Ллойд для рекламной компании головоломки: за ее решение был назначен приз в несколько тысяч долларов, очень даже приличная сумма по тем временам. Автор ничего не терял, так как «игра в пятнадцать» из данной комбинации была не разрешима. Однако выяснилось это значительно позже, после детального математического описания свойств головоломки.

Всего существует 16! Расположений квадратов, и все они распадаются на два равных по численности класса. Расположения первого класса приводятся при помощи перестановок к нужному расположению квадратов, а расположения второго удается при помощи перестановок привести к нужной позиции, только с переставленными квадратами 14 и 15.

Как определить к какому из двух классов принадлежит данная позиция? Для этого нужно посчитать число транспозиций в ней. Два квадрата образуют транспозицию тогда, когда квадрат с большим номером предшествует квадрату с меньшим. Оказывается, что если число транспозиций чётно, то позиция относится к первому классу, а если нечётно, то ко второму.

Задача 24. На доске 4х4 расставлены 15 ладей, пронумерованных числами от 1 до 15. Требуется переставить ладьи так, чтобы их номера расположились в возрастающем порядке, а пустым осталось поле d1.

Так как ходы ладьи на доске 4х4 совпадают с перемещениями квадратов в игре «пятнадцать», эта задача о ладьях изоморфна игре Ллойда. То есть существование ее решения зависит от числа транспозиций ладей в данной позиции (если число транспозиций четно, то решение существует, если нечетно – нет решения).

Задачу о ладьях можно обобщить для досок любого размера. При этом на обычной доске все позиции с 63 пронумерованными ладьями так же распадаются на 2 равных по численности класса: в одном ладьи можно расположить в возрастающем порядке (с пустым полем h1), а в другом – нет. Любопытно, что такая же ситуация имеет место и для коней, т.е. все позиции с 63 пронумерованными конями распадаются на 2 класса, и в половине случаев коней можно расположить в возрастающем порядке, а в половине – нет. Для пронумерованных ферзей и королей необходимая перестановка возможна при любой начальной позиции, а для слонов задача лишена смысла, так как они не могут менять своего цвета.

Задача 25. Старинная головоломка. 

Эту задачу придумал итальянец Гуарини ещё в XVI в. Она встречается в книгах по занимательной математике. В углах доски размером 3х3 стоят два белых и два чёрных коня (рис. 26,а). Требуется поменять местами белых и чёрных коней за наименьшее число ходов.

Наиболее изящно задача решается при помощи «метода пуговиц и нитей», открытого известным мастером математических головоломок Г. Дьюдени. На каждое поле маленькой доски, кроме центрального (на него кони попасть не могут), поместим по пуговице (на рис.26,б их заменяют кружки). Если между двумя полями возможен ход коня, то соответствующие пуговицы свяжем нитью (на рисунке нити – это отрезки прямой). Полученный клубок пуговиц и нитей распутаем так, чтобы все пуговицы расположились по кругу (рис. 26,а).

Теперь задача решается почти автоматически. Выбрав одно из направлений движения по кругу, будем переставлять коней до тех пор, пока они не поменяются местами. Чтобы переместить коней на доске, нужно заменить пуговицы соответствующими полями. Нетрудно убедиться, что решение состоит из 16 перемещений коней (восьми белых и восьми чёрных), причём кони противоположного цвета могут ходить по очереди. Если дополнительно потребовать, чтобы кони разного цвета при движении не угрожали друг другу (очерёдность ходов в этом случае позволяется нарушать), то решение тоже найдём на рис. 26,в. Необходимо только следить за тем, чтобы белые и чёрные кони не оказались соседями в клубке. Если круговое движение (против часовой стрелки) начинает белый конь а1, то решение будет такое: Ка1-b3, Ка3-с2, Кс-b1-а3, Кс1-а2-с3, Кb3-с1-а2, Кс2-а1-b3, Ка3-с2-а1, Кс3-b1-а3, Ка2-с3, Кb3-с1.

Метод пуговиц и нитей легко объяснить в терминах теории графов. Действительно, задаче о перестановке коней можно сопоставить граф, вершины которого соответствуют полям доски (пуговицам), а рёбра – возможным ходам коня между полями (нитям). Тогда распутывание клубка пуговиц и нитей есть не что иное, как более наглядное расположение графа на плоскости. Разумеется, метод пуговиц и нитей может быть использован для решения не только задачи Гуарини, но и целого класса перестановочных задач и головоломок (необязательно шахматных).

Заключение

Шахматная математика - один из самых популярных жанров занимательной математики, логических игр и развлечений. Почти в каждом сборнике олимпиадных математических задач или книге головоломок и математических досугов можно найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них имеют интересную историю, привлекали к себе внимание известных ученых. Например, задачей о ходе коня занимался великий математик Леонард Эйлер, а задачей о восьми ферзях — другой великий математик Карл Гаусс. Интересно, что «шахматные» увлечения Эйлера относятся к 18-му столетию, а Гаусса — к середине 19-го. С тех пор в течение целого века крупные математики не занимались шахматами. Ситуация резко изменилась в середине нынешнего столетия в связи с бурным развитием кибернетики и вычислительной техники. Шахматы — одна из наиболее удобных моделей, используемых математиками при разработке современных методов программирования. К шахматам постоянно обращались в своих работах такие выдающиеся ученые, как Винер, Тьюринг и Шеннон.

В результате нашего исследования были сделаны следующие выводы: древняя мудрая игра – шахматы развивает память, логическое мышление, творческие способности человека. «В шахматах,- говорил великий русский писатель Л.Н. Толстой,- нужно дорожить не выигрышем, а интересными  комбинациями». Наверное, этот большой простор для творчества так привлекает математиков к шахматам.

Этим и я объясняю свой интерес к данной теме.

У нас получилась следующая классификация найденных математических задач на шахматную тему:

• задачи на раскрашивание шахматной доски;
• задачи на разрезание шахматной доски;
• задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске, числа путей передвижения фигур;
• лабиринты на шахматной доске;
• задачи о перестановках фигур на шахматной доске.

В работу я поместил лишь некоторые задачи. Но, по моему мнению, их достаточно для того, чтобы показать, что шахматная математика привлекательна и интересна для молодых людей. Многие шахматные задачи до сих пор не решены и заслуживают пристального внимания и приложения интеллектуальных сил.

В работе выявлены следующие математические методы, используемые при решении задач на шахматную тему:

• метод раскраски, разрезания фигур;
• использование теории игр;
• использование теории графов;
• использование комбинаторных вычислений;
• «метода пуговиц и нитей».

Проделанная мною работа для меня очень полезна, она обогатила мои знания как в математике, так и в игре в шахматы. Во-первых, почти в каждом сборнике олимпиадных задач, в многочисленных книгах, посвященных математическим головоломкам, содержатся красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Надеюсь, что после тщательного изучения подобных задач, их решение не будет вызывать у меня особых затруднений. Во-вторых, при игре в шахматы я могу использовать некоторое математическое видение ситуации. По возможности, буду не только просчитывать будущие шахматные ходы, но и пытаться понять принцип выигрыша.

Думаю, что собранный мною  материал можно использовать на занятиях как математического, так и шахматного кружков, для подготовки к олимпиадам, а также  для общего развития.

В дальнейшем, в этом направлении более подробно можно исследовать  следующие темы: «Шахматы в олимпиадных задачах», «Комбинаторика на  шахматной доске», «Математика шахматных турниров», «Шахматы и ПК» и т.д..

                                            Список литературы:

1. Гик. Е.Я. Шахматы и математика, -М.: Наука, 1976.
2. Гик. Е.Я. Занимательные математические игры, - М.: Наука, 1987.
3. Купцов Л.П., Нестеренко Ю.В. и др. Математические олимпиады школьников. М.: Просвещение, 1999.
4. Чулков П.В. Математика: Школьные олимпиады. М., 2004.

Интернет ресурсы:

5. http://matematiku.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=2015&Itemid=40
6. http://www.gambiter.ru/chess/item/1-pravila-shahmat.html
7. http://battlechess.ru/index/library/types/
8. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B8%D0%BD%D0%B8-%D1%88%D0%B0%D1%85%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B
9. http://slovari.yandex.ru/~%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B8/%D0%91%D0%A1%D0%AD/%D0%A8%D0%B0%D1%85%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B/

                                                 Приложение 1