Из истории возникновения тригонометрических терминов.

МБОУ ВСОШ № 9

 г.Ульяновск

Реферат по математике по теме:

«Из истории возникновения тригонометрических терминов»

                                                                 Выполнил учащийся 10 класса

Дриманов Денис Сергеевич

Руководитель: учитель математики

Васильева Елена Викторовна

2013г.

Оглавление:

1. О происхождении названий сторон прямоугольного треугольника        с.3

2. Использование тригонометрических соотношений                                 с.5

3. Происхождение тригонометрических терминов                                      с.6

4. Развитие тригонометрии в Европе                                                            с.10

     5. Литература                                                                                                  с. 12

1. О происхождении названий  сторон прямоугольного треугольника.

Начав изучать тригонометрию, мы обращаем внимание, что используемая в ней символика является необычной и сложной. Чтобы проиллюстрировать глубинную сущность понятий, обратимся к истории математики.

   В данной работе попытаемся ответить на вопрос:

    «Откуда появилась необходимость рассматривать соотношения сторон прямоугольного треугольника?» и «Как появилась тригонометрическая символика?»

     Ключ к отгадке надо искать в практической деятельности людей, причем речь идет о временах очень далеких (второе тысячелетие до н.э., а может и ранее).

     В древние времена строительство сооружений велось примерно таким образом и такими средствами, как и сегодня строят небольшие дома и подсобные помещения. При этом строители используют нехитрые инструменты: веревку, отвес, колышки и пр. Между прочим, в Древнем Египте существовали люди специальной профессии, которых называли гарпедонапты, что значит, натягиватели веревки. С них начиналось любое строительство. А зачем нужна веревка строителям? Чтобы ровно в линию выкладывать кирпичи или камни.

    Если посмотреть в этимологический словарь, то можно увидеть:

          Линия. Через посредство немецкого языка заимствовано в начале 18 в. из латыни. Лат. linea – «нитка» - производное от linum – «лен»

     Еще веревка нужна для того, чтобы получить прямой угол, например в целях строительства привычного нам четырехугольного дома. Ведь такой дом построить легче всего. А строительство домов иных форм и сейчас является трудной архитектурной задачей.

        Издавна строители научились получать прямой угол с помощью веревки. В Древнем Египте заметили, что если на веревке завязать узелки на равном расстоянии друг от друга, и натянуть веревку так, чтобы, говоря современным языком, получался треугольник со сторонами 3, 4, 5, то угол, лежащий против наибольшей стороны, окажется прямым. С тех пор треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется египетским.

В Древнем Египте измерения были священным делом — уделом немногих образованных людей — жрецов.

     Историю с натягиванием веревки продолжают еще несколько древних терминов: катет — значит «отвес», гипотенуза — «натянутая», а другой катет прямоугольного треугольника не назывался катетом (т.е. отвесом), о нем говорили как об основании.

     По натянутой веревке (другими словами, по гипотенузе) можно проводить стачивание боковой грани строящейся пирамиды.

Теперь мы подошли к главному вопросу: «Как объяснить строителям, по какому углу стачивать грань пирамиды?» (В Древнем Египте пирамиду выкладывали из грубых крупных камней, и надо было ее отшлифовать или иным образом подкорректировать.) Один из способов: задать отношение высоты пирамиды к апофеме, или, если говорить о плоскости, задать отношение катета-отвеса к гипотенузе. Вот и получается прообраз косинуса угла стачивания. А когда задавались другие отношения - отношение катета-основания к катету-отвесу или отношение катета-основания к гипотенузе — это были прообразы понятий тангенса и синуса угла.

В самом деле, задавать указанные отношения сторон прямоугольного треугольника очень удобно. Так, если на макете пирамиды (рис.а) определить отношение высоты пирамиды к ее апофеме как 2:3, то и для самой пирамиды (рис. б) это отношение сохранится, ведь большая пирамида есть подобие маленькой (макета пирамиды).

      Теперь мы понимаем: рассматривать отношения длин сторон прямоугольного треугольника очень удобно, так как для всех подобных прямоугольных треугольников эти отношения сохраняются.

       Судя по всему, на идею подобных фигур люди обратили внимание достаточно давно. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров (своего рода «палетка»).

2. Использование тригонометрических соотношений

для решения задач практики

   В дальнейшем геометрические знания накапливались, а тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках стали все чаще использоваться для решения таких задач практики, как нахождение расстояний до недоступных объектов. Приведем несколько примеров.

        Легенда гласит, что Фалес (философ и математик, имя которого уже известно учащимся) привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасываемой ею тени. Догадка Фалеса заключалась в том, что в течение дня бывает момент, когда длина тени каждого предмета равна высоте самого этого предмета. Он дождался момента, когда длина его тени стала равна его росту, и тогда, измерив тень пирамиды, вычислил ее высоту.

Сформулируем другую не менее известную задачу:

 Задача. Определить расстояние от корабля, находящегося в море, до берега. 

Решение. Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель — в точке А . Построим прямой угол с вершиной в точке А, откладываем на берегу отрезок АС и делим его пополам точкой В. Затем из точки С передвигаемся по прямой т, перпендикулярной ВС, до тех пор, пока не дойдем до точки D, из которой точки К и В видны лежащими на одной прямой. Отметим полученную точку как D. Прямоугольные треугольники ВСD и ВАК равны, следовательно. АК=СD. а длину отрезка СD можно непосредственно измерить.

       Решение задач о нахождении расстояний до недоступных объектов, а также задач на вычисление недоступных высот было одним из источников развития тригонометрического знания.

3. Происхождение тригонометрических терминов

    До сих пор мы рассматривали самую глубинную предысторию зарождения тригонометрического знания, но именно она отразилась в самом слове «тригонометрия», которое буквально означает «измерение треугольника». Действительно, термин тригонометрия состоит из двух греческих слов: тригоном, что означает «треугольник» и метрейн, что означает «измерять».

        Итак, тригонометрия, как и всякая наука, вырастала из потребностей человеческой практики, но эти потребности не ограничивались, как мы упоминали выше, только лишь потребностями строительства или нахождения расстояний до недоступных объектов. Задачи мореплавания, требовавшие по звездам определять правильный курс корабля, задачи определения по звездам пути при движении караванов в пустыне, задачи земледелия, требовавшие введения точного календаря, и многие другие обусловили развитие астрономии, а с ней и тригонометрии. Причем сферическая тригонометрия развивалась наряду с плоской.

          По сути, тригонометрия появилась в древности как один из разделов астрономии. Дело в том, что преобладающей гипотезой о строении Вселенной была геоцентрическая, согласно которой Земля есть шар, расположенный в центре небесной сферы, которая равномерно вращается вокруг своей оси. Светила считаются расположенными на этой сфере. При изучении их движения большое значение приобретают задачи о расположении точек и фигур на сфере. Работы, в которых подобные задачи решаются, получили название сферики. Плоская тригонометрия при таких условиях отнюдь не играла лишь второстепенную роль по сравнению со сферической тригонометрией. У нее была своя область приложений: помимо решения задач на определение расстояний до недоступных объектов, она являлась частью практической астрономии — фигуры на сфере проектировались на плоскость горизонта, меридиана и т.д., и таким образом многие задачи сводились к плоским случаям.

       Отдельные вопросы из тригонометрии уже успешно решали древнегреческие астрономы, однако они рассматривали хорды, а не синусы, косинусы и другие, как говорили в древности, линии. Если говорить точнее, то греческие астрономы рассматривали по сути только синус, вместо которого использовали хорду, равную удвоенной линии синуса половинной дуги.

       Метод составления тригонометрических таблиц состоял в следующем. В основе всех построений астрономов древности находится круг заданного диаметра. На нем рассматривалась единственная тригонометрическая характеристика: длина хорды, стягивающей дугу, соответствующую данному центральному углу.

Задача состояла в составлении таблицы значений этой функции с наибольшей, по возможности, точностью и высокой частотой в последовательности значений аргумента. По существу таблицы хорд являются таблицами синусов.

         Первые тригонометрические таблицы (таблицы хорд), которые положили начало вычислительной тригонометрии, составил еще во II в. до н.э. древнегреческий астроном Гиппарх. Венцом же развития астрономии и тригонометрии в Древней Греции можно считать работу «Большое математическое построение астрономии в 13 книгах» («Альмагест») знаменитого астронома Клавдия Птолемея (II в. н.э.). Сведения по прямолинейной и сферической тригонометрии изложены в первой книге «Альмагеста». Показывая, как вычислять хорды, Птолемей делил окружность на 360 частей (градусов). Он составил такую таблицу синусов (хорд), которая много веков была единственным пособием при решении задач о треугольниках.

        Начало учению о тригонометрических величинах было положено в Индии, начиная с IV—VI вв. Индийские ученые впервые в науке стали употреблять линию синуса как половину хорды, и составили первые тригонометрические таблицы синусов (полухорд). Им были известны также основное тригонометрическое тождество, формулы приведения, формула синуса половинного угла.

    Заметим, что греческое слово хорде, от которого происходит наш термин «хорда», буквально означает «тетива лука», «струна». Индийские ученые впервые предложили рассматривать величину полухорды (синуса), которую называли архаджива, что буквально означает «половина тетивы лука», но потом стали называть джива, что значит «тетива лука».

Как по примеру индийских математиков не увидеть на рис. лук с натянутой стрелой?

Арабские математики, которые позже (начиная с VIII в.) осваивали накопленные математические знания, писали слово джива в арабской транскрипции как джиба, что созвучно арабскому слову джайб, которое дословно означает «пазуха».

Вместе с военными завоеваниями арабов слово «пазуха» для обозначения полухорды в тригонометрии попало в Европу (X—XII вв.), где европейские ученые перевели его на латынь как «синус». Поскольку латинский язык считался общепризнанным научным языком в Европе, то термин «синус» нашел там широкое распространение и сохранился до настоящего времени. Кстати, этот термин применяется не только в математике: сейчас в медицине заболевание пазух носа называют синуситом.

Интересно заметить, что европейские математики XII—XVI вв. часто называли синус sinus гесtus (прямой синус), а радиус тригонометрической окружности sinus, т.е. весь (полный) синус.

 Слово «косинус» — это сокращение латинского выражения complementy sinus, т.е. «дополнительный синус» или, иначе, «синус дополнительной дуги»; вспомните: cosα  = sin (90° — а).

В IХ-Х вв. центр математических исследований, значит, и центр развития тригонометрического знания, переместился в Среднюю Азию, где трудами арабских математиков тригонометрия впервые выделилась из астрономии как самостоятельная наука. В частности, ученые стран ислама ввели новые тригонометрические величины: тангенс и котангенс. В трактате «Плоские четырехсторонники» ученого-энциклопедиста и государственного деятеля XIII в. Насирэддина Туей плоская и сферическая тригонометрия выступают как самостоятельные предметы. Для сравнения, в Европе тригонометрия достигла этого уровня, стала успешно развиваться и трактоваться как самостоятельная наука лишь в XV в., и начало этому было положено трудами немецкого астронома и математика, профессора Региомонтана.

Понятия «тангенс» и «котангенс», как и первые таблицы этих новых тригонометрических величин, родились не из рассмотрения тригонометрической окружности, а из учения о солнечных часах — гномоники. Солнечные часы первоначально представляли собой шест, вертикально воткнутый в землю (греческое слово гномон — название этого шеста — означает «распознаватель»). Время отсчитывалось по длине и направлению тени, отбрасываемой шестом.

 Один из современников ал-Хорезми (IX в.)1 математик и астроном Ахмед

ал-Мазави, названный «Вычислитель» (ал-Хабаш, ал-Хасиб), занимаясь гномоникой, констатировал, что отношение длины тени и к постоянной длине l гномона солнечных часов меняется в зависимости от высоты Солнца, измеряемой углом φ. Он принял l за 1 и составил таблицу значений теней (и), соответствующих значениям углов φ = 1°, 2°, 3°, ..., т.е. (в современной символике) и = lсtgφ, или (если учесть, что l = 1) и = tgφ. Эта таблица дала возможность определять высоту Солнца по длине тени. Отношение длины тени к длине шеста определяет высоту солнца над горизонтом.

Для случая горизонтального гномона, перпендикулярного к вертикальной стене, ал-Хабаш составил таблицу обращенных теней: и' = l tgφ, или и' = tgφ.

Живший в конце X в. в Багдаде Абу-ль-Вафа в своей «Совершенной книге» — своем «Альмагесте»2 — вводил тригонометрические линии не через прямоугольный треугольник, а с помощью окружности, определяя, например, тангенс как отрезок касательной к окружности. В некоторых местах Абу-ль-Вафа принимал радиус окружности за единицу.

Начиная с XIV—XV вв. центр математических исследований перемещается в Европу. В XIII— XIV вв, при переводе арабских произведений на латинский язык новые тригонометрические функции котангенс и тангенс были названы umbra recta — прямая тень, и итbra versa - обратная тень. Известно, что линию тангенсов уже использовал в своих работах английский математик Томас Брадвардин (1290-1349).

Термин tangens (от лат. касающийся [отрезок касательной]) был введен только в 1583 г. датским математиком Томасом Финком в связи с ролью этой линии на тригонометрической окружности. Термин «котангенс» образован по аналогии с термином «косинус», и встречается впервые в 1620 г. у английского ученого Эдмунта Гутера.

3. Развитие тригонометрии в Европе

В Европе первое сочинение, в котором тригонометрия рассматривалась как самостоятельная математическая дисциплина, написал в 1462-1464 гг. немецкий математик и астроном Региомонтан. Он называл свой труд «Пять книг о треугольниках всех видов». В это время тригонометрия по-прежнему продолжала формироваться и развиваться под определяющим влиянием астрономии. В XV—XVI вв. усовершенствовались таблицы тригонометрических функций, которые были необходимы астрономам, разрабатывались все новые вычислительные приемы, рассматривались все более сложные задачи решения плоских и сферических треугольников, оттачивалась техника работы с тригонометрическими линиями.

В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540—1603) использовал тригонометрию для решения кубического уравнения. В некоторых его результатах устанавливалась связь между тригонометрией и алгеброй. Кроме того, он положил начало буквенным обозначениям в тригонометрии. Таким образом, на пороге XVII в. в развитии тригонометрии наметилось новое направление — аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур, а учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то развитие нового (аналитического) направления привело к тому, что тригонометрия постепенно стала одной из глав математического анализа.

        Начало этого преображения тригонометрии связано с именем знаменитого ученого много лет работавшего в Петербурге Леонарда Эйлера (1707—1783).

Эйлер усовершенствовал как символику, так и содержание тригонометрии. Перечислим некоторые его нововведения в этой области.

1. До Эйлера совсем редко рассматривались тригонометрические функции дуг, превышающих π. Лишь в его трудах разрабатывается учение о тригонометрических функциях любого аргумента и впервые ясно изложен вопрос о знаках тригонометрических функций в каждом квадранте.

2. В отличие от своих предшественников Эйлер исключил из своих формул R — целый синус (sinus totus), принимая R = 1 и упрощая таким образом записи и вычисления.

3. Понимая аргумент тригонометрической функции не только как угол или дугу, а как любую числовую величину, Эйлер впервые стал систематически излагать тригонометрию аналитическим путем. До него каждая тригонометрическая теорема доказывалась отдельно на основании соответствующего каждому случаю геометрического чертежа. Эйлер же выводил теоремы, исходя из небольшого числа основных соотношений.

4. Для обозначения тригонометрических функций Эйлер использовал символы sin х, соs x, tang x, соt х и т.д., а также ввел употребляемые поныне обозначения а, Ь, с для сторон и А, В, С для соответствующих противоположных углов треугольника АВС, что способствовало появлению единой символики в тригонометрии.

5. Эйлер стал рассматривать тригонометрию как науку о тригонометрических функциях и придал ей современный вид.

       В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть — учение о тригонометрических функциях — является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе. Другая же часть — решение треугольников — рассматривается как глава геометрии (плоской и сферической.).

Литература

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: VII-VIII кл. - М.: Просвещение, 1982.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. — М.: Просвещение, 1983.

3. Рыбников К.А. История математики: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 1994.

4. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. — Минск: Вышэйшая школа, 1978.