Математические фокусы. Презентация. 10 класс

Слайд 1

Слайд 2

Волшебная таблица. В этой таблице написаны известным образом все числа от 1 до 31. Таблица эта отличается следующим «волшебным свойством» Задумайте, какое угодно число, не больше 31, и укажите, в каких столбцах этой таблицы находится задуманное вами число, и я тотчас же «угадаю» это число. 1. Магические таблицы для угадывания чисел

Слайд 3

Для отгадывания нам нужно хорошо знать степени числа 2. 2 0 =1, 2 1 =2, 2 2 =4, 2 3 =8, 2 4 =16 Первому столбцу соответствует 2 4 =16, второму 2 3 =8, третьему 2 2 =4, четвертому 2 1 =2 и пятому 2 0 =1. Всего лишь на всего нужно в уме сложить числа, соответствующие названным столбцам. Секрет основан на кодировании чисел в двоичной системе счисления. Каждое из чисел от 1 до 31 переведено в двоичную запись и расставлено в таблице в соответствии с этим кодом. Например, в какие столбцы нужно записать число 27? Для этого переведем число 27 в двоичную систему: Значит 27 надо записать в 1, 2, 4 и 5 столбцах. Вместо данной таблицы можно взять «волшебный веер». С его помощью тоже можно отгадать любое задуманное число от 1 до 31. Фокусник просит указать, на каких лепестках веера написано задуманное число.

Слайд 4

Фокус – предсказание . На настенном календаре в любом месте любой квадрат из 16 чисел. Фокусник записывает на листке предсказание, кладет его в конверт и отдает на хранение зрителю. Затем просит зрителя выбрать любое число в этом квадрате, обвести его кружком и вычеркнуть все числа, находящиеся в той же строчке и в том же столбике, что и обведенное число. В качестве второго числа зритель может обвести кружком любое число, оставшееся не зачеркнутым. После этого он должен вычеркнуть все числа, стоящие в одной строчке и в одном столбике со вторым обведенным числом. Так же выбирается третье число, а соответствующие столбик и строчка вычеркиваются. В результате этих операций останется не зачеркнутым одно единственное число. Его тоже нужно обвести кружком и подсчитать сумму четырех чисел, выбранных абсолютно случайным образом. В финале фокусник эффектно предлагает достать из конверта листок и убедиться, что на нем заранее была написана именно эта сумма. 2. Фокусы с настенным календарем

Слайд 6

Фокус с нахождением суммы . В этом фокусе фокусник очень быстро может отгадать сумму чисел, входящих в обведенный квадрат на календаре. Для этого он снова просит зрителя обвести на настенном календаре в любом месяце квадрат, содержащий 16 чисел. Взглянув на него ровно секунду , он отворачивается и через мгновение называет ответ, он равен сумме чисел противоположных сторон диагонали обведенного квадрата , умноженной на восемь . Например, из выделенного квадрата сложим 1 и 25 и умножим сумму на 8. (1+25)*8=208. Значит, сложив числа 1+2+3+4+8+9+10+11+15+16+17+18+22+23+24+25=208

Слайд 7

Вычисления вслепую . На этот раз фокусник вообще не смотрит на календарь и стоит, повернувшись спиной к зрителям, а один из них по его распоряжению выбирает на настенном календаре любой месяц и обводит на нем какой– нибудь квадрат, содержащий 9 чисел. Фокусник же просит самую малость : назвать наименьшее из чисел, попавших в этот квадрат, чтобы через пару мгновений назвать сумму этих девяти чисел. Объяснение его действий. Нужно прибавить к названному числу 8 и результат умножить на 9. Если – m наименьшее число в указанном квадрате, то сумма всех чисел квадрата равна 9 m +72=9( m +8 ). Вычисления для данного примера: (8+8)·9=144 и гораздо длиннее 8+15+22+9+16+23+10+17+24=144 m m+7 m+14 m+1 m+8 m+15 m+2 m+9 m+16

Слайд 8

3 . Фокусы на нахождение задуманного числа Число-загадка . Фокусник просит зрителя написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры отличались друг от друга на число, которое укажет фокусник. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Далее фокусник предложит зрителю вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и фокусник может всегда сказать наперед, каким будет частное от деления этой разности на 9. Частное же равняется указанной фокусником разности между крайними цифрами числа, умноженной на 11. Например, если сначала взять число 845, то 845-548=279; 279/9=33=11·(8-5). Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное число можно представить в виде 100 a +10 b +с, тогда число с переставленными цифрами будет равно 100 c +10 b + a . Вычитая второе из первого и деля его на 9, имеем: 100a+10b+ с -(100c+10b+a)/9=99(a-c)/9=11(a-c)

Слайд 9

Фокус с запиской . Фокусник пишет на бумажке число 1089, кладёт бумажку в конверт и запечатывает его. Затем предлагает кому-нибудь написать на этом конверте любое трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние числа, и получившееся число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму , фокусник предлагает ему вскрыть конверт. Там зритель найдет бумажку с числом 1089, которое, к удивлению, и есть полученное им число. 1089 Секрет этого фокуса заключается в том, что разность между любым трехзначным числом, полученным из него перестановкой крайних цифр, всегда делится на 99. (см. предыдущий фокус). Так как крайние цифры отличаются более чем на единицу, то эта разность обязательно будет трехзначным числом, обозначим ее 100 k +10е+ m . Имеем: 100 k +10е+ m =99 k +( 10е+ m + k ). Так как разность делится на 99, то это равенство показывает, что обязательно: 10е+ m + k =99, откуда вытекает, что е=9 , m + k =9. Число с переставленными крайними цифрами имеет вид 100 k +10е+ k , и сумма равняется: 100 k+10 е +m+100m+10 е +k=100(k+m )+ 20 е +( m+k)=100·9+20·9+9=1089 .

Слайд 10

Фокус с домино. Фокусник предлагает желающему задумать какую-либо косточку, после чего говорит: «Умножьте число очков одной половины на 2, к произведению прибавьте 7 и сумму умножьте на 5; теперь прибавьте к результату число очков другой половины косточки и скажите, что у вас получилось». Фокусник же скажет, какое число вы задумали. 4 . Фокусы с мелкими предметами (игральной костью и домино). Так как же фокусник определил, какое число вы задумали? Для этого надо от сказанного задумавшим результата отнять 35, тогда цифры полученного двузначного числа будут указывать на соответствующие числа очков задуманной косточки домино. Действительно, если a и b – числа очков задуманной косточки домино, то мы последовательно производим над ними следующие действия. 2а; 2а+7; 10а+35; 10а+35+ b. Отнимая от окончательного результата 35, получим двузначное число 10а+ b , цифрами которого будут а и b , т.е. число очков на косточке домино. Само собой разумеется, что мы можем предложить к произведению прибавить не 7, а любое другое число, которое мы обозначим через m , тогда от окончательного результата надо будет отнять уже не 35, а 5 m . Этот же прием можно применить к угадыванию двузначных чисел.

Слайд 11

Фокус с монетами. У зрителя в одной руке зажат гривенник, а в другой — копейка (или в одной руке монета десять рублей, а в другой — один рубль). Несколько волшебных действий по рецептам числовой ма­гии — и вы способны определить, в какой руке ка­кая из монет находится! Фокусник просит взять в одну руку гривенник, а в другую — копейку. И предлагает зрителю умножить стоимость монеты в левой руке на 2, 4, 6 или 8, за­тем умножить стоимость монеты в правой руке на 3, 5, 7 или 9 и сложить получившиеся при этом чис­ла. Примеры Если это число получится нечетным, то копейка — в правой руке. Если полученное число — четное, то копейка — в левой руке.

Слайд 12

«Сколько братьев и сестер …» Фокусник сможет угадать, сколько братьев, се­стер, дедушек и бабушек у зрителя, после того как он выполнит не­сколько арифметических действий на калькуляторе! Пример Допустим, зрителя: братьев — 4; сестер — 3; бабушек и дедушек — 2. Предложите ему: Набрать на калькуляторе ци­фру, соответствующую коли­честву братьев– 4 Умножить это число на 2. 4  2=8 Прибавить к произведению 3 8 + 3=11 Умножить полученную сумму на 5. 11  5 = 55 4.Прибавить к результату сестер. 55 + 3 = 58 5. Умножить полученную сумму на 10 58  10 = 580 6. Прибавить бабушек и дедушек. 580 + 2 = 582 7. И, наконец, прибавить 125. 582 + 125 = 707 Закончив вычисления , фокусник попросит у зрителя каль­кулятор с результатом на табло. Вычитает из него 275, и на табло чудесным образом появится количе­ство братьев, сестер и бабушек с дедушками! Для нашего примера 707 – 275 = братья  432  бабушки и дедушки  сестры

Слайд 13

Исключения: 1. Если после вычитания числа 275 на табло по­явится двузначное число, значит, у вашего прияте­ля нет братьев. Пример 12 = 012; следовательно, число братьев равно 0. 2.Если после вычитания числа 275 на табло­ явится, лишь одна цифра, значит, у вашего прияте­ля нет ни братьев, ни сестер. Пример 2 = 002; Следовательно, число братьев равно нулю и число сестер также равно нулю.

Слайд 14

Фокус с четным числом . Фокусник предлагает кому-нибудь задумать четное число. Затем утроить его, затем взять половину полученного числа и опять утроить ее. Если он скажет, чему равно частное отделение найденного числа на 9, то вы назовете задуманное число. Переведем команды на язык алгебры: 2 n – четное число. После выполнения команд получаем: 2 n · 3 = 6 n ; 6 n : 2 = 3 n ; 3 n · 3 = 9 n ; 9 n : 9 = n ; n . n – половина задуманного числа. Чтобы назвать задуманное число, вы должны сообщенное число умножить на 2. Пример. Пусть задумано 6. после утроения получаем 18, половина этого числа равна 9, утроив, получаем 27. Если теперь разделить на 9, то получим 3, т. е. половина задуманного числа. Можно предложить любое задуманное целое число. Если утроенное задуманное число на 2 не делится, то к утроенному числу нужно добавит 1, а потом разделить на 2, и действовать как описано выше. Нужно также иметь ввиду, что в этом случае при угадывании числа после удвоения нужно обязательно прибавит 1. Проверим это правило для нахождения любого задуманного числа. Если задумано число четное, проверка уже сделана. Пусть теперь задумано нечетное число 2 n + 1, наши действия принимают вид: (2 n · 3) = 6 n + 3;. Поскольку это число на 2 не делится, то, прибавляя 1 находим: 6 n + 3 + 1 = 6 n + 4. разделив это число на 2 получим: 3 n + 2. (3 n + 2) · 3 = 9 n + 6. частное отделения 9 n + 6 на 9 равно n . (остаток равен 6). Удваивая это частное и прибавляя 1, находим задуманное число 2 n + 1.