ИЗУЧЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №16 ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

Слайд 1

Слайд 2

Задания №16 Единого Государственного Экзамена по стереометрии в большинстве случаев включают в себя нахождение углов между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями; нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя прямыми, построение сечений.

Слайд 4

Актуальность данной работы заключается в том, что в настоящий момент у выпускников 11 класса возникают большие трудности с выполнением задания №16, и поэтому очень важно научиться школьникам решать эти задачи , для того чтобы набрать максимальное количество баллов на Едином Государственном Экзамене. Исходя из того, что поднимается проблема выбора наиболее оптимальной формы для решения задач по стереометрии.

Слайд 5

Объектом исследования являются геометрические задачи единого государственного экзамена (№16), а предметом исследования являются задачи на нахождение расстояний и углов между прямыми и плоскостями. В ходе исследования мною была выдвинута гипотеза, заключающаяся в утверждении, что координатный метод решения задач рациональнее поэтапно-вычислительного и метода объёмов.

Слайд 6

Цель работы: проанализировать методы решения задач «№16» и выявить наиболее рациональный. Задачи: Нахождение, изучение и анализ различных методов решения задач по стереометрии (Задания №16). Сопоставление выбранных методов решения. Анализ результатов сопоставления.

Слайд 7

Методы исследования: Изучение литературных источников. Метод анализа, синтеза, обобщения. Метод сравнения. Метод эксперимента.

Слайд 8

Задача №1 . Дан прямоугольный параллелепипед А B С DA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами AB =2, BC =4, AA 1 =6. Найдите расстояние от точки D до плоскости АС D 1 . 1 способ. Используя определение . Найти расстояние d ( D , АС D 1 ) . . Ответ:

Слайд 9

2. Метод объемов ( использование вспомогательной пирамиды ). . Ответ:

Слайд 10

3 способ. Координатный метод. B (0,0,0), А (2,0,0), С (0,4,0), D (2,4,0), D 1 (2,4,6). = 24 x +12 y -8 z -48 24 x +12 y -8 z -48= 0 Уравнение плоскости ACD 1 примет вид (ACD 1 ) : 6x +3y-2z -12=0 =(6 ;3;-2 ) d(D, ACD 1 )= Ответ: =

Слайд 11

Задача №2 . На ребрах BB 1 , AD и D 1 C 1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q и R- середины этих ребер. Считая ребро куба равным 4, найдите расстояние от точки A 1 до плоскости PQR. (- 1 ; - 1 ; 1 ) Уравнение плоскости : -x-y+z+2=0 Пусть А 1 Н= d – расстояние от т. А 1 до плоскости ( PQR )

Слайд 12

Другое решение : В пирамиде А 1 RPQ : PQ = PR =QR = ; A 1 Q = A 1 R = A 1 P = Пусть т.Е – середина PQ, RH= RE AH=

Слайд 13

Задача №3. На середине ребра C 1 D 1 единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка М. Найдите угол между плоскостью МАВ и плоскостью основания. Решение: Угол MKL – линейный угол между плоскостями АВС и МАВ. В треугольнике MKL , KL=BC=1 ML=CC 1 =1 ; tg MKL=1 MKL = Ответ:

Слайд 14

Другое решение: Найдем координаты точек А,В,С,М А (0;0;0) , В (1;0;0), С (1;1;0), М (0,5; 0,5; 1) Уравнение плоскости АВС: (0;0;1) Уравнение плоскости МАВ: (0; -1; 1) = Ответ:

Слайд 15

Задача №4 В правильной треугольной пирамиде SABC , ребра которой равны 2, точка М – середина АС. Найдите расстояние от точки М до BS . Решение: Треугольник MSB –равнобедренный. MS=MB= MK- медиана, высота, биссектриса. МК= Ответ:

Слайд 16

Другое решение : Найдем координаты точек М, В, S. M ( ; ; 0), В(0;0;0), S (1; ; ) d =

Слайд 17

Задача №5 Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания АВС. А) Постройте прямую пересечения плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и SA , и плоскости, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему. Б)Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA = АВ=АС=5, ВС= Решение: В пирамиде KALM, АК= , АМ=А L= , LM= KM= , KH= , АН= V KALM = S ALM * AK = S KLM * AA 1 AA 1 = = 1 Ответ: 1. Пусть АА 1 = d - расстояние от т. А до плоскости KLM

Слайд 18

Другое решение: Найдем координаты точек A, L, M, K A(0 ;0;0), К(0;0; ), М( ; 0;0), L( ;2;0) Уравнение плоскости KLM : 0 - 2 - = x + y +5z - = 0 ( ; ;5) d = =1 Ответ: 1.

Слайд 19

Выводы по поэтапно-вычислительному методу : этот метод наиболее удобен и включает формулы школьной программы. Выводы по координатному методу : координатный метод в некоторых случаях более лаконичен, но требует знания определенных формул, которым не уделяется внимание в школьной программе; Гипотеза исследования подтвердилась частично: преимущественно удобен поэтапно-вычислительный метод, но в некоторых случаях координатный метод наиболее рационален. Цель работы достигнута.