Построение графиков сложных функций

Муниципальное образовательное учреждение

 «Гимназия № 36 «Золотая горка»

Построение графиков сложных функций

Выполнил:  ученик 11 класса

МОУ «Гимназия № 36 «Золотая горка»

Закиев Ринат

Руководитель:

Шапеева А.В., учитель математики

МОУ «Гимназия № 36 «Золотая горка»

Набережные Челны

Оглавление

Введение        ……………………………………………...………............................... .3

Основная часть……………………………………………………………...

1. Методы  построения элементарных функций…………………………..6
2. Метод построения функции y = f(v(x))………………………………….9
3. Метод построения функции у = f(x) + g(x)……………………………..16
4. Метод построения функции у = f(x)∙g(x).        ……………………………...18

Заключение…………………………………………………………………...20

Литература……………………………………………………………………22

Введение

         При решении неравенств и уравнений иногда приходится использовать функционально – графический метод. Суть метода: найти абсциссы точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и  правой частях уравнения. При этом реализация метода основывается на выполнении следующих действий:

1. Преобразовать исходное уравнение к виду f(x)=g(x). Где f(x) и g(x) функции, графики которых можно построить.
2. Построить графики функции f(x) и g(x).
3. Определить точки пересечения построенных графиков.
4. Определить абсциссы найденных точек. Они и дадут множество решений исходного уравнения.
5. Записать ответ.

Замечание. Преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет легко определить число корней уравнения. Недостаток – в том, что корни, в общем случае, определяются приближенно.

        Пример 1.  2х = -х2 +3

К этому уравнению нельзя применить стандартные приемы решения. Если построим эскиз графиков функции у =2х  и  у = -х2 +3, то увидим, что уравнение имеет два корня, один из них равен 1 (проверяем), а   значение другого корня  -1,7 (точное значение не можем определить).

Пример 2. Что можно сказать о корнях уравнения  ?

Обе функции - убывающие на своих областях определения. Хотя бы два корня можно угадать:  и . Остается вопрос:  есть ли другие корни  и сколько их,  какому промежутку они принадлежат?

        Построим графики функции .

По рис.1 мы видим, что на некотором промежутке графики функции

 « сливаются», по рисунку 2 можем определить только промежуток, которому принадлежат корни уравнения [0;1] , а о количестве корней ничего не можем сказать (рисунки отличаются по масштабу).

Рис.1                                                         рис.2

         После решения несколько таких уравнений, я понял, что умения строить графики различных функций и знание их свойств является важным условием решения нестандартных уравнений и неравенства.

        Исследование посвящено проблеме совершенствования умений и навыков построения графиков сложных  функций. Актуальность этой проблемы  определяется тем, что нестандартные уравнения и неравенства часто решаются функционально – графическим методом. В заданиях ЕГЭ (и в части В, и в части С) имеются задания, при решении которых используется функционально – графический метод, свойства функций. Многие задачи с параметрами невозможно решить другим методом.  ( В.П.Моденов. Задачи с параметрами. Координатно – параметрический метод. М: «Экзамен»,2006).

В пособие для поступающих (Е.М.Родионов, С.Л. Синякова.  Математика. Пособие для поступающих в вузы. Учебный центр «Ориентир» МГТУ им.Н.Э.Баумана,2003) много заданий на построение графиков функций..

 Поскольку в школьном курсе математики на эту тему «Построение графика сложной функции» отводится мало времени, то я решил изучить методы построения сложных функций (без производной).

Построение графиков элементарных функций не составляет труда, в школьном курсе математики они достаточно хорошо описаны. Я предположил: если знаем свойства элементарных функций и умеем строить их графики, то сможем построить  и графики сложных функций.

Цель работы:

- выявить способы построения графиков сложных функций.

Задачи:

- изучить  основные методы построения элементарных функций  и приемы их преобразования;

- выделить способы построения графиков сложных функций, опираясь на графики элементарных функций,   и научиться их строить.

Объектом исследования является сложная функция, а предметом исследования - графики сложных функций.

(Сложную функцию y=f(v(x)) называют также композицией двух функций )

Основная часть

Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике.

Методы  построения элементарных функций

Умения строить графики функций и их читать, т.е. определять промежутки монотонности и другие характеристики функции по их графику, - важный элемент математической культуры. Во многих задачах график является лишь вспомогательным элементом решения. Поэтому необходимо владеть простыми приемами построения графиков. Перечислим эти приемы:

1. График функции у = f(x)+b получается из графика функции у = f(x) (рис.1) на вектор (0,b) вдоль оси ординат (рис.2).

Рис.1                                                                рис.2

2.  График функции у = f(x+b) получается из графика функции у = f(x) на вектор  (-b,0) вдоль оси абсцисс (рис.3).

                        (рис.3)

График функции у = f(x)                         Графики функции у = f(x)+b и у = f(x+b)

3. График функции у = -f(x) получается  симметрией графика функции у = f(x) относительно оси абсцисс (рис.4).

                (рис.4)

4. График функции у = f(аx) получается сжатием  графика функции

у = f(x)  к оси ординат в а раз, если a > 1, и растяжением  от оси ординат в  раз, если

 0

                        (рис.5).

5. График функции у = f(-x) получается  симметрией графика функции у = f(x) относительно оси ординат  (рис.6).

                (рис.6).

6. График функции у = аf(x) получается  умножением каждой ординаты  графика функции у = f(x)   на а, т.е. растяжением от  оси абсцисс  в а раз, если a > 1, и сжатием к  оси абсцисс в  раз, если  0

                (рис.7).

7. График функции у = совпадает с  графиком функции у = f(x)  там, где f(x)  0, и получается из него симметрией относительно оси абсцисс там, где f(x) < 0 (рис.8).

                (рис.8).

8. График функции у = при x  0 совпадает с  графиком функции у = f(x)  , при  x < 0 он  получается  симметрией « правой половины» графика функции у = f(x)   относительно оси ординат (рис.9).

Например, при построении графика функции у = 2sin() используются приемы 4, 2, 8, 6 (рис.10)

Прием 4.                                                Прием 2.

2. Построение графика функции y=f(v(x))

        Посмотрим схему построения графиков сложных функции вида y=f(v(x))  без использования производной.

Пусть нам нужно построить график y=f(v(x)). Обязательно на бумаге или мысленно нужно построить оба графика: график внутренней функции у = v(x)  и график внешней функции у = f(v).  

Если удобно строить график внешней функции по контрольным точкам, то лучше, для большой наглядности, построив график внутренней точки, разметить ось ординат контрольными значениями аргумента для внешней функции, а затем построить прямо по графику, в каких точках внутренняя функция принимала эти значения.  

1. Построить график функции у = arctg2x .

Решение. Данная функция является композицией двух  функции v=2x  и y= arctgv. Функцию v = v(x) назовем внутренней, y = y(v) – внешней. Внутренняя функция является строго возрастающей: при возрастании х от - ∞  до + ∞ v(x) возрастает от 0 до + ∞. По графику внешней функции определяем, что такому возрастанию v соответствует возрастание у от 0 до /2, т.е. при возрастании х от - ∞  до + ∞ у возрастает от 0 до /2

График функции v=2x                                     График функции y(v)= arctgv.

 График   функции у = arctg2x имеет вид:

Контрольная точка: при  х=0 у = π/4

Пример 2. Построить график функции у =

Решение. Построим графики функции у =   и f(v)=

Выделяем промежутки монотонности функции у = : (- ∞;0) и (0; + ∞). При возрастании х  на промежутке  (- ∞ ;0) v(x)  убывает от 0 до - ∞. Такому изменению v соответствует убывание у от 1 до 0. Если х возрастает от 0 до + ∞,  то v(x)  убывает от +∞ до 1.  

Для более точного построения графика следует использовать контрольные точки, выбирая те значения аргумента х, при которых легко вычислять значения у(х).

Таким образом, построение графика сложной функции y=f(v(x))   в некоторых случаях можно выполнить по следующему алгоритму:

1. Начертить графики внутренней и внешней функций.
2. Определить промежутки монотонности внутренней функции y=v(x)    и отметить их на оси Ох  плоскости хОу.
3. На каждом промежутке определить границы изменения v=v(x)    и выбрать те значения, которые попадают в область определения функции y=f(v).
4. По графику внешней функции у =  f(v) найти характер изменения функции у.
5. В системе координат   хОу начертить график у = у(х).

Такая работа позволяет по графику следить за изменением функции при изменении аргумента и, наоборот, по заданному изменению функции строить  ее график.

        Использование  схемы построения графика функции у = у(х) помогает сложиться умению представлять сложную функцию в виде композиции двух функции,  -  внутренней и внешней, овладеть навыком «видеть» эти две функции. На мой взгляд, это поможет ученику не только при прохождении тем сложной функции, построения функций и тому подобных, но еще и при проведении различных алгебраических преобразований выражений. Умение проводить операции анализа-синтеза значительно уменьшает трудности учеников при выборе способа тождественного преобразования выражения. 

3. Построить график функции у = .

Решение. Построим графики внутренней и внешней функций.

Если  х  возрастает  от 0 до + ∞, то v(x) возрастает от 1 до + ∞. Этому изменению v соответствует убывание  у от 1 до 0. Изобразим график функции у = у(х) при х0, а затем используем четность данной функции.

4.Построить график функции у = ln(x2 – 3x +2).

Решение. Построим графики функций y= x2 – 3x +2  и y = lnv.

Если  х возрастает  от - ∞   до 1, то v(x) убывает + ∞ до 0, а у при этом убывает от + ∞ до - ∞. При х [1; 2] v(x)  0 и при этих значениях х функция не определена.  Если х возрастает от 2 до + ∞, то v(x) возрастает от 0 до + ∞, а у при этом возрастает от + ∞

до - ∞.

5.Построить график функции .

Решение. (Алгоритм построения графика этой функции  и функции у = log2sinx   дан в учебнике 11 класса «Алгебра и начала анализа» С.М.Никольский и др.)

Данная функция является композицией двух  функции v = sinx и y = 2v 

Область определения функции  - множество всех действительных чисел. Поскольку функция v = sinx периодическая с главным периодом 2, то функция  также периодическая с главным периодом  2.  На промежутке [-;] функция v = sinx возрастает от -1 до 1, значит, функция y = 2v   возрастает на этом промежутке от  до 2.

        На промежутке [;] функция v = sinx убывает от 1 до -1, функция y = 2v   убывает на этом промежутке от 2 до .

Перечисленные свойства позволяют построить схематический график   на отрезке [-;],  затем продолжить его периодически.

6. Построить график функции .

Решение. Предложенная схема применима и тогда, когда сложная функция является композицией не двух, а большего числа функций, графики которых известны. Данная функция является композицией трех функций. Аналогично рассуждая, получаем следующие графики функций: u = x2 – 4x +3, v =1/u, y= 2v.

Решение. Предложенная схема применима и тогда, когда сложная функция является композицией не двух, а большего числа функций, графики которых известны. Данная функция является композицией трех функций. Аналогично рассуждая, получаем следующие графики функций: u = x2 – 4x +3, v =1/u, y= 2v.

Графики этих функций:

u = x2 – 4x +3                                                        v =1/u

y= 2v

При построении графиков сложных функций надо использовать все элементарные средства: переносы, отражения, сложение графиков  т.д.

7. Построить график функции .

8. Построить график функции y = arctg(lnx).

9. Построить график функции y = arctgx2

3. Метод построения функции у = f(x) + g(x)

Для построения графика функции у = f(x)+g(x), если известны графики функции у = f(x) и у = g(x), надо произвести алгебраическое сложение соответствующих ординат функций. Применение  такого способа целесообразно, например, когда слагаемые являются основными элементарными функциями разных типов.

Пример. Построить график функции у = х + sinx.

Строим графики функции у = х  и у = sinx и получаем график заданной функции путем сложения соответствующих ординат.

При построении следует обратить внимание на два обстоятельства:

1) , а потому имеет смысл провести прямые у = х+1 и у = х-1, параллельные прямой у = х, между этими двумя прямыми  располагается график функции у = х + sinx.

2) В тех точках, где sinx = 0  у = х ( соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = х).

В тех точках, где sinx = -1  у = х-1 (соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = х).

Пример 2. Построить график функции у = .

Так как  существует лишь при х > 0 (sinx существует на всей числовой оси), то областью существования для заданной функции  является  промежуток (0; + ∞). Модули не могут быть отрицательными, то  у  0. Строим графики функции  только при х>0  производим сложение графиков . При этом обращаем внимание на то, что значение второй функции равно нулю только в одной точке х = 1. Наибольшее значение первой функции достигается в точках , в этих точках у = .

4, Метод построения функции у = f(x)∙g(x )

Для построения графика функции у = f(x) ∙ g(x), если известны графики функции у = f(x) и у = g(x), надо перемножить соответствующие ординаты функций. Применение  такого способа целесообразно, например, когда  множителями являются основными элементарными функциями разных типов.

Пример. Построить график функции у = х ∙ sinx.

Строим графики функции у = х  и у = sinx и получаем график заданной функции путем умножения соответствующих ординат.

Построение производим при  х 0, а затем отражаем полученный график относительно оси ординат, так как  у = х ∙ sinx является четной функции. При этом учитываем, что в точках с координатами х=k, sinx = 0 произведение х ∙ sinx=0. Наибольшее значение функции у = sinx равно 1 при . В этих точках соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = х. Наименьшее значение функции у = sinx равно -1 при . В этих точках соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = -х. Значит, график колеблется между прямыми  у = х и у = - х.

Заключение.

Я провел работу по построению графика сложной функции и сделал следующие выводы:

 1.Графики функций y=f(v(x)),  у = f(x)+g(x), у = f(x) ∙ g(x) можно построить без использования производных,  особенно этот метод особенно подходит, если f(x) и g(x),v(x) – функции разные элементарные функции.  

2.Для построения графиков нужно знать свойства функции, уметь читать графики полученных функции, исследовать поведение графиков   в бесконечности.

3. Построение графиков, как и всевозможные другие способы геометрической интерпретации, является весьма эффективным средством для решения  алгебраических задач, в том числе и задач с параметрами. Поэтому научиться строить графики функции, в том числе  и сложных,  для решения задач просто необходимо. При выполнении этой работы, я выяснил, что есть класс уравнений и неравенств,  при решении которых требуется умения и навыки построения графиков функций и умения их читать. (Многие уравнения  неравенства с параметрами решаются функционально - графическим  методом).

Итак, в результате графических и компьютерных экспериментов, я убедился, что графики сложных функций можно строить не только с помощью производных, но и путём исследования внутренних и внешних функций, преобразованиями элементарных функций, поведения графиков функции при х±∞, преобразованиями элементарных функций.

При выполнении этой работы:

- повторил  и углубил  знания   свойств и  методов построения графиков элементарных функций;

- приобрел опыт построения графиков таких функций,  как:

 y=f(v(x));  у = f(x)+g(x),у = f(x) ∙ g(x);

- научился работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений; приобрел опыт выполнения графических работ на компьютере;

- узнал, что тема « Методы построения графиков функций», очень объемная  и интересная, рассмотреть все методы сразу невозможно, т.е. есть можно дальше продолжать работу по данной теме.

        По моему мнению, умение проводить такие преобразования (построения) графиков функций позволяет ученикам:

1) научиться читать графики различных функций и использовать их при решении уравнений и неравенств;        

2) освоить свойства функций;

3) лучше различать графики различных функций. 

Поэтому, на мой взгляд, использование этих способов в педагогической практике целесообразно (хотя бы факультативно), ведь их в тематическом плане нет, а это поможет успешно и эффективно подготовится к выпускным и вступительным экзаменам. 

При построении графиков функций я использовал систему компьютерной математики Maple 8.

Литература.

1. В.Дьяконов.Maple 6: учебный курс.- СПб.:Питер,2001.
2. В.К.Егерев, Б.А.Радунский, Д.А.Тальский. Методика построения графиков функций.- М. : «Высшая школа», 1970 .
3. В.П.Моденов. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие. – М.: Издательство «Экзамен», 2006.
4. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 – 11классы. Учебник для общеобразовательных учреждений.- М. : «Мнемозина»,2001.
5. С.М. Никольский. М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений .- М. : «Просвещение школа»,2002.
6. Е.М.Родионов, С.Л. Синякова.  Математика. Пособие для поступающих в вузы. –М.: «Ориентир»,2003.
7. http:/ кkvant.mccme.ru