Механические колебания

Слайд 1

Слайд 2

Гармонические колебания Свободные колебания Вынужденные колебания Превращения энергии при свободных механических колебаниях

Слайд 3

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис.).

Слайд 5

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными (см. §2.5). Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний: Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Слайд 6

На рис. изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Слайд 7

Рис. иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний, либо период T (или частота f), либо начальная фаза . Во всех трех случаях для синих кривых = 0: а – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой ( > ); b – красная кривая отличается от синей только значением периода (T' = ); с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы

Слайд 8

Свободные колебания. Математический маятник . Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис.). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Слайд 9

Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает: Только в случае малых колебаний, когда приближенно sin можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20° Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника. Следовательно, Для пружинного маятника:

Слайд 10

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис.). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения O на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия: M = –(mg sin φ)d. Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C. Физический маятник. – собственная частота малых колебаний физического маятника. Следовательно:

Слайд 11

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными . Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения. Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте . Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. ). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. ) конец пружины перемещаться по закону: – амплитуда колебаний, ω – круговая частота.

Слайд 12

Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый – на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δl равно: Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону: Амплитуда вынужденных колебаний и начальная фаза θ зависят от соотношения частот и ω и от амплитуды внешней силы.

Слайд 13

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис.). Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора. 1 – колебательная система без трения 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q2 > Q3 > Q4

Слайд 14

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли. Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по закону инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д. Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Слайд 15

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной. Для малых колебаний математического маятника: Здесь – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения Земли, и = – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости.

Слайд 16

: Превращения энергии при свободных механических колебаниях в отсутствие трения можно проиллюстрировать графически. Рассмотрим в качестве примера колебания груза массой m на пружине жесткости k. Пусть смещение x(t) груза из положения равновесия и его скорость (t) изменяются со временем по законам: Следовательно

Слайд 17

На рис. изображены графики функций E p (t) и E k (t). Потенциальная и кинетическая энергии два раза за период колебаний достигают максимальных значений. Сумма остается неизменной.

Слайд 18

В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими. Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем затухания.

Слайд 19

Частота свободных колебаний зависит от скорости затухания колебаний. При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания быстро затухают. Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q. Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания , умноженное на : Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше добротность Q колебательной системы. Добротность колебательной системы, определенная по затуханию колебаний на рис. приблизительно равна 15.

Слайд 20

Добротности механических колебательных систем могут быть очень высокими – порядка нескольких сотен и даже тысяч. Понятие добротности имеет глубокий энергетический смысл. Можно определить добротность Q колебательной системы следующим энергетическим соотношением: Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний.

Слайд 21

Материал взят со следующего источника: http://fizika.ayp.ru