Признаки делимости чисел и их применение при решении задач

Министерство образования Республики Башкортостан

Отдел образования Администрации

муниципального района Зилаирский район

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Ивано-Кувалат»

Конкурс исследовательских работ

в рамках Малой академии наук школьников

Республики Башкортостан по номинации «Математика»

Признаки делимости чисел и их применение при решении задач

Выполнила:

Ученица 8 класса

Димитрова Виктория

Руководитель:

Овчинникова Ольга Николаевна

с. Ивано-Кувалат

2014г

План

Введение               3

1. Признаки делимости чисел, изучаемые в школьном курсе математики              3

2. Признаки делимости чисел, не изучаемые в школьном курсе математики         4

3. Признаки делимости чисел, составленные мной              8

4. Применение признаков делимости чисел при решении задач              9

Заключение            10

Список литературы            11

Введение

       В математике много разделов и один из них – делимость натуральных чисел.

На уроках математики мы изучали темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10», после чего стало интересно, а нет ли еще каких-либо признаков делимости на другие числа? Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление.

       В ходе своей исследовательской работы я попытаюсь найти другие признаки делимости чисел, изучить их, научиться самой составлять признаки делимости на любые натуральные числа, рассмотреть их применение при решении задач и сделать выводы по изученному материалу.

       Это исследование будет полезным при подготовке к экзаменам, математическим олимпиадам и конкурсам.

1. Признаки делимости чисел, изучаемые в школьном курсе математики

       Для натуральных чисел деление нацело не всегда выполнимо, т. е. результат деления двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Узнать делится ли одно число на другое нацело, не выполняя деления, позволяют признаки делимости.

       Вспомним признаки делимости чисел, изученные в школьном курсе математики:

1. Число делится на 2, если последняя цифра в записи этого числа четная. Например, числа 32, 29 764, 50 оканчиваются четной цифрой и поэтому делятся на 2. А числа 51 и 23 не делятся на 2, так как 1 и 3-нечетные.
2. Натуральное число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например, число 12 345 делится на 3, так как 1+2+3+4+5=15, а 15 делится на 3, а число 3 490 не делится на 3, т. к. 3+4+9+0=16, а 16 не делится на 3 без остатка.
3. Если запись натурального числа оканчивается 0 или 5, то это число делится на 5. Например, числа 60 и 25 делятся на 5, а числа 43 и 82 не делятся на 5 без остатка.
4. Натуральное число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например, число 45 981 делится на 9, т. к. 4+5+9+8+1=27, а 27 делится на 9, а число 7 734 не делится на 9, т. к. 7+7+3+4=21, а 21 не делится на 9.
5. Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0. Например, число 20 800 делится на 10, а число 45 687 не делится на 10.

2. Признаки делимости чисел, не изучаемые в школьном курсе математики

       Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры

Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским  математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228).

       Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например, 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110, 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел  и др.

       Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез

Паскаль (1623-1662) - французский мыслитель, математик и физик, один из величайших ученых 17 столетия.

       Он сформулировал универсальный признак делимости, который носит его имя:

       Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

       Рассмотрим теперь как с помощью этого универсального признака делимости, можно сформулировать признак делимости на любое число, например на 7.

       Пример 1. Делится ли число 2814 на 7?

       Найдём остатки при делении разрядных единиц: 10, 100, 1000 на 7.

 6 – остаток от деления 1000 на 7,

 2 - остаток от деления 100 на 7,

 3 - остаток от деления 10 на 7.

 2814 делится на 7, т. к. 2·6 + 8·2 +1·3 +4 = 35,   35:7=5.

       Следовательно, признак делимости на 7 можно сформулировать следующим образом: чтобы проверить, делится ли число на 7, нужно найти остатки, полученные от деления разрядных единиц этого числа на число 7. Затем найти сумму произведений цифр заданного числа и соответствующих остатков. Если результат будет делиться на 7, то и само число будет делиться на 7.

       Таким признаком можно пользоваться при делении на любое число, а не только на 7.

       Также я расскажу о признаках делимости, которые мы не изучали в школьной программе.

       Признак делимости на 4:

       Чтобы число делилось на 4, нужно чтобы последние 2 его цифры образовывали число, делящееся на 4.

       Например: число1836 делится на 4, так как число образованное двумя последними цифрами 36 делится на 4.

       Кроме этого на 4 делятся числа, запись которых оканчивается двумя нулями. Например: 5500

       Признак делимости на 6:

       Число делится на 6 тогда и только тогда, когда разность между числом, образованным двумя последними цифрами, и удвоенным числом сотен делится на 6. Например, 138 делится на 6, так как 38 - 2·1 = 36 делится на 6.

       Признаки делимости на 7:

       1). Число делится на 7 тогда и только тогда, когда удвоенное число сотен, сложенное с числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 7. Например, 4690 делится на 7, так как на 7 делится 46·2 + 90 = 182, 182:7 = 26.

       2). Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — 2·4 = 28 делится на 7).

       3). Число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 15·3 + 4 = 49.

       4). число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138689257 делится на 7, так как на 7 делится   = 294.

       Признак делимости на 8:

       Число делится на 8тогда и только тогда, когда число образованное тремя его последними цифрами делится на 8. Например, 67112 делится на 8, так как 112 делится на 8.

        Признаки делимости на 11:

       1). Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11. Например, 100397 делится на 11, так как

 = 0 делится на 11.

       2). Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 85 + 37 + 10 = 132 и 32 + 1 = 33.

       Признаки делимости на 13:

1). Число делится на 13, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13. Например, 845 делится 13, так как на 13 делятся

84 + 5·4 = 104 и 10 + 4·4 = 26.

2). Число делится на 13, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13. Например, 858 делится на 13, так как на 13 делятся

85 - 9·8 = 13.

       Признаки делимости на 17:

1). Число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как  делится на 17.

2). Число делится на 17 тогда, когда модуль суммы числа десятков и двенадцатикратного числа единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как делится на 17.

       Признак делимости на 19:

       Число делится на 19 тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся 64+2·6=76 и 7+2·6=19.

       Признаки делимости на 23:

1). Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся  288 + 3·42 = 414  и

4 + 3·14 = 46.

2). Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как  39 + 7·1 = 46  делится на 23.

3). Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как  3 + 7·9 + 3·1 = 69  делится на 23.

       Признак делимости на 25:

        Число делится на 25 тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25. Например, число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.

       Признак делимости на 29:

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29. Например, 261 делится на 29, так как 26+3·1=29 делится на 29.

3. Признаки делимости чисел, составленные мной

       Используя теорему о делимости произведения, можно составлять свои признаки делимости на любые натуральные числа.

       Теорема о делимости произведения. Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

       Приведу примеры составления своих признаков делимости натуральных чисел по этой теореме.

       Так признак делимости на 6, составленный по этой теореме проще, чем рассмотренный выше.

       Признак делимости на 6:

       Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Например, число 132 делится на 6, так как оно четное и делится на 2. И сумма цифр этого числа

1+3+2 = 6 делится на 3.

       Признак делимости на 12:

       Число делится на 12  в том случае, если оно одновременно делится на 3 и на 4. Например, число 14616 делится на 3 и 4, а значит и на 12.

       Признак делимости на 14:

       Число делится на 14 тогда, когда оно делится на 2 и на 7. Например, число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.

       Признак делимости на 15:

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 3, (т.е. если число заканчивается 0 или 5, и сумма цифр этого числа делится на 3).

Например, число 1485 делится на 15, так как 1+4+8+5=18 делится на 3 и заканчивается на 5.

        Для того, чтобы число делилось на 16, нужно чтобы оно делилось на 2 и на 8. Число делится на 18, когда оно делится на 2 и на 9. Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Число делится на 22 тогда, когда оно делится на 2 и на 11.

       Признак делимости на 30:

       Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

       Аналогично составляются признаки делимости на другие натуральные числа.

       Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

     1группа – когда делимость чисел определяется по последней цифре или группе цифр. Это признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 4, на 8, на 25.

    2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа. Это признаки делимости на 3, на 9, на 7, на 11.

    3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа. Это признаки делимости на 6, на 7, на 11, на 13, на 19, на 23, на 29.

    4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости. Это признаки делимости на 6, на 12, на 14, на15, на 16, на 18, на 22 и др.

4. Применение признаков делимости чисел при решении задач

       Использование признаков делимости упрощает многие вычисления. Свойства делимости позволяют решать задачи на кратность.

       Задача 1. Доказать, что сумма двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, кратна 11.

       Решение. Имеем  = 10a + b (двузначное число, где a – цифра десятков,

b – цифра единиц); аналогично  = 10b + a ; следовательно,

 +  = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b) делится на 11.

       Задача 2. Докажите, что всякая разность вида  – a делится на 37.

       Решение. Имеем четырехзначное число  = 1000a + 100b + 10b + b.

Рассмотрим разность  – a = 1000a + 100b + 10b + b – a = 999a + 111b =

= 111(9a + b). Так как 111 делится на 37,   111:37 = 3, то и произведение

111(9a + b) делится на 37.

       Задача 3. Восстановить цифры числа 3**977*, зная, что оно без остатка делится на 792.

       Решение. Обозначим пропущенные цифры буквами a, b, с. Число 792 разложим на множители  792 = 8·9·11. Так как число  делится без остатка на 792, то оно должно делиться без остатка на 8, на 9 и на 11.

По признаку делимости на 8, число, образованное тремя его последними цифрами делится на 8. Это возможно только в случае, когда с = 6  (776:8 = 97).

По признаку делимости на 11, число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

 =  = .

То есть  делится на 11. Это возможно в случае, когда b – a = 0, т.е. a = b.

По признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна делиться на 9. Значит

3+a + a + 9+ 7+ 7 + 6 = 2a + 32 = 2(a + 16) делится на 9. Это возможно при a = 2.

       Ответ: восстановленное число 3229776.

Заключение

       Я провела исследование признаков делимости на числа от 2 до 30. В ходе выполнения работы я убедилась, что кроме признаков делимости на 2, 3, 5, 9, 10, изученных в школьном курсе математики, есть признаки делимости и на другие числа.

       Используя теорему о делимости произведения, я научилась составлять признаки делимости на любые натуральные числа. Также я провела классификацию признаков делимости натуральных чисел на четыре группы.

       Я рассмотрела применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач. Признаки делимости позволяют решать задачи на кратность.

       Знания и умения, приобретенные мной в ходе выполнения данной исследовательской работы, помогут мне при подготовке к экзаменам, математическим олимпиадам и конкурсам.

Список литературы

1. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. – М.: Просвещение, 1991.
2. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. – М.: Айрис-пресс, 2005.
3. Бергман Г.Н. Число и наука о нем. – М.: Наука, 1976.
4. Фарков А.В. Математические кружки в школе. – М.: Айрис-пресс, 2005.
5. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.: Триада- литера, 1994.