Исследовательская работа "Природа простых чисел"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Сергеихинская средняя общеобразовательная школа

Камешковского района Владимирской области

    Природа простых чисел

        Исследовательская работа

Выполнена учащимися 9 класса Ефановой Кристиной Валерьевной, Челышевой Екатериной Сергеевной

Научный руководитель –

 учитель математики

Секушенко Алла Евгеньевна

д. Лубенцы, 2011

Содержание

1. Введение.

2. Основная часть. Природа простых чисел.

2.1.Определение простых чисел.

2.2. Поиск простых чисел.

2.3.Простые числа Мерсена.

2.4. Простые числа Ферма.

2.5. Заслуги Эйлера.

2.6. Открытие Пафнутия Львовича Чебышева.

2.7. Проблема Гольдбаха.

2.8. Числа-близнецы.

     2.9.Узоры простых чисел.

               2.10. Таблица «Менделеева» простых чисел.

3. Заключение. Из класса — в мировое пространство.

4. Библиографический список.

5. Приложение.

1. Введение.

«Ни одному другому разделу теории чисел не свойственно столько загадочности и изящества, как разделу, занимающемуся изучением простых чисел - непокорных упрямцев, упорно не желающих делиться ни на какие числа, кроме единицы и самих себя. Некоторые задачи, относящиеся к теории распределения простых чисел, формулируются настолько просто, что понять их может и ребёнок. Тем не менее, они настолько глубоки и далеки от своего решения, что многие математики считают их вообще не разрешимыми. Может быть, в теории чисел так же как и в квантовой механике, действует своё собственное соотношение неопределённости и в некоторых её разделах имеет смысл говорить лишь о вероятности того или иного результата?"

Мартин Гарднер  "Математические досуги"

Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древности. И вызван он был не только практической необходимостью. Привлекала их необычайная магическая сила. Неожиданные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками,  удивляли их своей замечательной красотой и вдохновляли на новые исследования.

Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителей, например, 6=2*3, 9=3*3, 30=2*15 = 3*10, в то время как другие, например 3,7,13, 37, не могут быть разложены подобным образом.

 Впервые мы познакомились с темой «Простые числа» на уроках математики  в 6 классе. Мы  узнали, что числа бывают простые и составные. Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.

Учитель объяснил нам принцип нахождения простых чисел. Представил нашему вниманию таблицу простых чисел до 997, которой мы затем пользовались в ходе выполнения упражнений и заданий. (Приложение 1)

Из дополнительного материала узнали, что метод нахождения простых чисел путем вычеркивания называется «Решетом Эратосфена». Шло время, шли поиски способов отлова простых чисел. Началось своеобразное соревнование на изыскание наибольшего простого числа с древнейших времён до Чебышева и даже до наших дней.

Но чем больше мы узнавали, тем больше возникало вопросов.

- Сколько всего простых чисел?

- Как часто встречаются простые числа в ряду натуральных чисел?    Есть ли какой-нибудь закон в их распределении или нет?

- Существует ли последнее (самое большое) простое число? Если такое число есть, то,  как его найти?

- Почему в таблице числа записаны разными цветами?

- За что Пафнутия Львовича  Чебышева  назвали победителем простых чисел?

Почитав рекомендуемую учителем дополнительную литературу по этому вопросу,  поняли, что не такие уж они и простые эти простые числа.

        Наверное, немногие математические понятия настолько доступны далёкому от математики человеку, как понятие простые числа. Любому встретившемуся на улице можно за короткое время объяснить, что такое простые числа. Поняв, человек без труда напишет: 2,3,5,7,11,13,17 и т.д.

        Возможно, ли распознать простые числа, как говориться, с первого взгляда?

Данная тема заинтересовала.  Целью  исследования было восстановить,  как осуществлялся поиск простых чисел, познакомится с теорией чисел Эйлера, простыми числами Мерсенна, Ферма,  узнать об открытии П. Л. Чебышева, проблеме Гольдбаха.

2. Основная часть. Природа простых чисел.

2.1. Определение простых чисел.

Простое – значит, имеющее лишь два различных натуральных делителя: себя и единицу Единица не считается простым числом. Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам. Вообще единица занимает  особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица - матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония. В Казанском университете профессор Никольский с помощью единицы ухитрился доказать существование Бога. Он говорил: "Как не  может быть числа без единицы, так и вселенная без единого Владыки существовать не может".

        Единица и в самом деле - число уникальное по свойствам: она делится только сама на себя, но любое другое число на неё делится  без остатка, любая её степень равно тому,  же числу - единице!

        После деления на нее ни одно число не изменяется, а если и поделить любое число на само себя, получится опять же единица! Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил: "Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным".

        Это было уже существенно важное упорядочивание в тёмном и сложном вопросе о простых числах.

2.2. Поиск простых чисел.

 Для отыскания простых чисел греческий математик Эратосфен (около 200 г. до н. э.) придумал такой способ. Его схема состоит в следующем. Он записал все числа от одного до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные двум, т.е. 4,6,8 и т.д.).

Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после трех (числа, кратные 3, т.е. 6, 9, 12, и т.д.) в конце концов,  оставались невычеркнутыми только простые числа.

2, 3, 5, 7, 11, 13,….

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивались, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминало решето. Поэтому метод Эратосфена называют «Решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

         Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.

         Решето Эрастофена — это примитивное и в то же время гениальное изобретение, до которого не додумался и Евклид, - наводит на всеобщую мысль, что гениальное просто.

        Эрастофеново решето неплохо поработало на исследователей далеко не простых чисел.

Возможно, из всех занимательных задач в теории чисел самая занимательная - это поиск простых чисел. Подобно золотым самородкам, они скрываются в "породе" остальных чисел.

        2.3.Простые числа Мерсенна.

        В течении нескольких столетий шла погоня за простыми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателями самого большого из известных простых чисел.

        Простые числа Мерсенна являются простыми числами специального вида

Mp = 2p – 1, где p — другое простое число.

        Эти числа вошли в математику давно, они появляются ещё в евклидовых размышлениях о современных числах. Своё название они получили в честь французского монаха Марена Мерсенна (1589-1648), который долго занимался проблемой простых чисел.

        Если вычислить числа по этой формуле, получим:

M2 = 22 – 1 = 3 – простое;

M3 = 23 – 1 = 7 – простое;

M5 = 25 – 1 = 31 – простое;

M7 = 27 – 1 = 127 – простое;

M11 = 211 – 1 = 2047 = 23 * 89.

        Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсенна состоит в проверках всех чисел Mp  для различных простых чисел p.

        Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда на их нахождение.

        В исследовании чисел Мерсенна можно выделить ранюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750 г., когда Эйлер установил что число М31 является простым. К тому времени было найдено восемь простых чисел Мерсенна:

p = 2, p = 3, p = 5, p = 7, p = 13, p = 17, p = 19, p = 31.

        Эйлерово число  М31 оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет.

        В 1876 г. французский математик Лукас установил, что огромное число  M127 – с 39 цифрами. 12 простых чисел Мерсенна были вычислены просто с помощью карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использовались механические настольные счётные машины.

        Появления вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до p = 257.

        Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсенна.

        Затем задача была переложена на ЭВМ.

        Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. Это число было найдено на ЭВМ в Иллинойском университете (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достижением, что изобразил это число на своём почтовом штемпеле, таким образом,  воспроизводя его на каждом отсылаемом письме для всеобщего обозрения.

        2.4. Простые числа Ферма.

        Существует еще один тип простых чисел с большой и интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601-1665), который прославился своими выдающимися математическими работами.

        Первыми простыми числами Ферма были числа, которые удовлетворяли формуле Fn = 22 + 1.

F0 = 22 + 1 = 3;

F1 = 22 + 1 = 5;

F2 = 22 + 1 = 17;

F3 = 22 + 1 = 257;

F4 = 22 + 1 = 65 537.

        Однако, это предположение было сдано в архив неоправдавшихся математических гипотез, но после того, как Леонард Эйлер сделал ещё один шаг и показал, что следующее число Ферма F5 = 641 * 6 700 417 является составным.

        Возможно, что история чисел Ферма была бы закончена, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче — на построение правильных треугольников при помощи циркуля и линейки.

        В дальнейшем ни одного простого числа Ферма не было найдено, и сейчас многие математики склонны считать, что их больше нет.

        2.5. Заслуги Эйлера.

        Теории чисел Эйлер отдал немало сил и многого добился. Он, как и многие его предшественники, искал магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда, т. е. из всех чисел, какие можно себе представить. Эйлер написал более ста сочинений по данной теме.

        ...Доказано, например, что число простых чисел не ограничено, т. е.:

1) нет самого большого простого числа;

2) нет последнего простого числа, после которого все остальные числа были бы составными. Первое доказательство этого положения принадлежит  учёным древней Греции (V-III вв. до н. э.), второе доказательство - Эйлеру (1708-1783).

2.6. Открытие Пафнутия Львовича Чебышева.

        Итак, число простых чисел бесконечно. Мы уже видели, что простые числа размещаются без какого-либо порядка. Проследим более подробно.

        2 и 3 — простые числа. Это единственная пара простых чисел, стоящих рядом.

        Затем идут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т. д. Это так называемые смежные простые числа или близнецы.  

        Чем дальше от начала числового ряда, тем простых чисел становится меньше. Можно найди как угодно большой конечный промежуток в числовом ряду, в котором не будет ни одного простого числа.

        Как же распределены простые числа в натуральном ряду, в котором не будет не одного простого числа? Есть ли какой-нибудь закон в их распределении или нет?

        Если есть, то какой?  Как найти его? Но ответ на эти вопросы не находился более 2000 лет.

        Первый и очень большой шаг в разрешении этих вопросов сделал великий русский учёный Пафнутий Львович Чебышев. В 1850 г. он доказал, что между любым натуральным числом (не равным 1) и числом, в два раза больше его (т. е. между n и 2n), находится хотя бы одно простое число.

        Проверим это на несложных примерах.

        Примем для n несколько произвольных значений n и найдём соответственно значение 2n.

        Мы видим, что для рассмотренных примеров теорема Чебышева верна.

        Чебышев доказал её для любого случая, для любого n. За эту теорему его назвали победителем простых чисел. Открытый Чебышевым закон распределения простых чисел был поистине фундаментальным законом о теории чисел после закона, открытого Евклидом, о бесконечности количества простых чисел.

        Едва ли не самый добрый, самый восторженный отклик на открытие Чебышева пришёл из Англии от известного математика Сильвестра: «...Дальнейших успехов теории простых чисел можно ожидать, тогда, когда родится некто,  настолько превосходящий Чебышева своей проницательностью и вдумчивостью, насколько Чебышев превосходит этими качествами обыкновенных людей».

        Более полвека спустя немецкий математик Э. Ландау, крупный специалист в теории чисел, добавил к этому высказыванию следующее: «Первый после Евклида Чебышев пошёл правильным путём при решении проблем простых чисел и достиг важных результатов».

        2.7. Проблема Гольдбаха.

        Выпишем все простые числа от 1 до 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

        А теперь попытаемся любое число от 4 до 50 представить в виде суммы двух или трёх простых чисел. Возьмём несколько чисел наугад:

50 = 47 +3,

46 = 43 +3,

32 = 29 +3,

22 = 19 +3,

18 = 13 +5.

        Как видим, поставленную задачу мы выполнили без труда. А всегда ли это возможно? Любое ли число можно представить в виде суммы нескольких  простых чисел? И если и можно, то скольких: двух? трёх? десяти?

        В 1742 г. член Петербургской академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трёх простых чисел.

        Гольдбах испытал очень много простых чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трёх простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго учёные занимались этой задачей, которая названа «проблемой Гольдбаха» и сформулирована следующим образом.

        Требуется доказать или опровергнуть предложение:

всякое число, большее единицы, является суммой не более трёх простых чисел.

        Почти 200 лет выдающиеся учёные пытались разрешить проблему Гольдбаха-Эйлера,  но безуспешно. Многие пришли к выводу о невозможности её решения.

        Но решение её, и почти полностью, было найдено в 1937 г. советским математиком И.М. Виноградовым.

2.8. Числа-близнецы.

Среди простых чисел встречаются так называемые "близнецы" или пары простых чисел, разница между которыми составляет двойку (например, 11 и 13). Именно эти пары чисел в таблице учебника выделены другим цветом. "Близнецы" появляются с некой периодичностью, причем, чем больше числа, тем реже они встречаются (11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61). То же происходит и с обычными простыми числами. В числах, близких к триллиону, лишь каждое 28 число является простым.

         Еще Евклидом было доказано, что простых чисел бесконечно много. Однако окончательного ответа на вопрос, конечно или бесконечно множество "близнецов", пока не существует

Ученые утверждали, что нашли ключ к доказательству одной из самых знаменитых математических гипотез. Согласно ей, существует бесконечно много пар простых чисел, разность между которыми равна двум - так называемых чисел-близнецов. Это утверждение является одним из следствий фундаментальной гипотезы Римана, имеющей непосредственное отношение к современной криптографии.

Все пары простых чисел-близнецов, кроме 3и 5 имеют вид 6n ± 1. Действительно.  Рассмотрим, например: 59 и 61. 59=6*10-1;   61=6*10+1.

Первые простые числа-близнецы:

  3 и 5,    5 и  7,    11 и 13,   17 и 19,   29 и 31,   41 и 43,   59 и 61,

  71 и  73,  101 и 103, 107 и 109, 137 и 139, 149 и 151, 179 и 181, 191 и 193,

197 и 199,  227 и 229,  239 и 241,  269 и 271,  281 и 283,  311 и  313,  347 и  349, 419 и  421,  431 и  433,  461 и  463,  521 и  523,  569 и  571,  599 и  601,

 617 и  619,  641 и 643,  659 и  661,  809 и  811,  821 и 823,  827 и  829, 857 и  859, 881 и  883.

2.9.Узоры простых чисел.

 Иногда своего рода формула возникает как результат наблюдения визуальных закономерностей. Одну из таких закономерностей случайно открыл Станислав Улам, американский математик, поляк по происхождению. Сидя как-то на скучной лекции, он, ни о чем не думая, начал рисовать решетку из горизонтальных и вертикальных линий. В одной из полученных таким образом клеток он поставил 1 и стал нумеровать остальные клетки по спирали, расходящейся от первой клетки:

5 4 3

6 1 2

7 8 9

Когда спираль совершила уже несколько оборотов, Улам начал обводить кружками простые числа, не преследуя никакой определенной цели. Однако вскоре заметил, как на его глазах возникает довольно любопытная закономерность. Откуда ни возьмись, стали появляться прямые линии. Улам, конечно, сразу понял, что такие линии говорят о закономерности, которую можно облечь в формулу для простых чисел. Компьютерная распечатка, дублирует то, что Улам сделал от руки. На компьютерном графике составные числа представлены маленькими белыми квадратиками, а простые - черными.

Выделяющиеся тёмные линии – это залежи простых чисел. Вблизи центра выстраивания простых чисел вдоль прямых ещё можно было ожидать, поскольку плотность простых чисел вначале велика и все они, кроме числа 2, нечётны. Если клетки шахматной доски перенумеровать по спирали, то все нечётные числа попадут на клетки одного и того же цвета. Взяв 17 пешек (соответствующих 17 простым числам, не превосходящим числа 64) и расставив их наугад на клетки одного цвета, вы обнаружите, что пешки выстроились вдоль диагональных прямых. Однако не было оснований ожидать, что и в области больших чисел, где плотность простых чисел значительно меньше, те так же будут выстраиваться вдоль прямых. Улама заинтересовало, как же будет выглядеть его спираль, если её продолжить до нескольких тысяч простых чисел. Разработав программу, Улам получил рисунок для чисел от 1 до 65 000 (иногда его называют «скатертью Улама»), из которого видно, что даже у края картины простые числа продолжают послушно укладываться на прямые.

 Начав на спирали из всех натуральных чисел (рис. 1) отмечать простые числа, Улам с удивлением обнаружил, что простые числа выстраиваются по диагоналям, образуя довольно длинные цепочки.

              Рисунок 1. Спираль из натуральных чисел.

Ещё более удивительным оказалось то, что закономерность эта наблюдалась и тогда, когда спираль была продолжена (с помощью компьютера) до больших чисел — на рис. 2 светлыми точками отмечены простые числа на спирали из первых 10 000 чисел. Узор, изображённый на рис. 2, получил название «скатерть Улама». 

                                        Рисунок 2. Скатерть Улама.

Чтобы отмеченная закономерность проявилась, не обязательно начинать спираль с единицы. Например, простые числа выстраиваются по диагоналям у спирали, начинающейся с числа 41 и заканчивающейся числом 41

Феномен со стремлением простых чисел располагаться в цепочки вдоль диагоналей был обнаружен сравнительно недавно и ещё не получил какого-либо математического объяснения.

        2.10. Таблица «Менделеева» простых чисел.

 Побережный Александр Иванович,  «занимаясь проблемой простых чисел, обнаружил, что все простые числа укладываются в табличные формы, своеобразные таблицы Менделеева простых чисел». Как следствие, появляется возможность предсказывать местоположение простых чисел.  Работа таблиц была проверена до  числа, состоящего из 20000 десятичных знаков. Использовалась  для вычислений математическая программа Mathematica. Все  из проверенных простых чисел попадали в таблицы.

В данной работе предпринимается попытка систематизации, некоторого упорядочения множества простых чисел. В основе рассуждений лежит ряд последовательных простых чисел:   1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,… и так до бесконечности.

Обратите внимание, что простые числа в представленной таблице  выстроились в один ряд. Правда есть нюанс: среди простых появляются некоторые составные, в нашем случае число 25.

Аналогично строятся более сложные таблицы простых чисел, которые дают возможность прогнозировать и строить новые простые числа, используя только арифметические действия.

         Не правда, ли таблица чем-то похожа на таблицу Менделеева. (Приложения 9 и 10)

3. Заключение. Из класса — в мировое пространство.

        Рассказ о простых числах закончим  увлекательным воображаемым путешествием из класса в мировое пространство. Это воображаемое путешествие придумал известный советский педагог-математик профессор Иван Козьмич Андронов (род. в 1894 г.)

        «...а) мысленно возьмём прямолинейный провод, выходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящую туда, где Луна совершает вращение, и далее — за огненный шар Солнца, и далее — в мировую бесконечность;

        б) мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с ближайшей: 1, 2, 3, 4, …, 100, …, 1000, …, 1 000 000...;

        в) мысленно включим ток с таким расчётом, чтобы загорелись все лампочки с простыми номерами и только с простыми номерами;

        г) мысленно полетим вблизи провода.

        Перед нами развернётся следующая картина.

        1. Лампочка с номером 1 не горит. Почему? Потому что единица не есть простое число.

        2. Две следующие лампочки с номерами 2 и 3 горят, так как 2 и 3 — оба простые числа. Могут ли в дальнейшем встретится две смежные горящие лампочки? Нет, не могут. Почему?  Всякое простое число, кроме двух, есть число нечётное, а смежные с простым по ту и другую сторону будут числа чётные, а всякое чётное, отличное от двух, является составным числом, так как делится на два.

        3. Дальше наблюдаем пару лампочек, горящих через одну лампочку с номерами 3 и 5, 5 и 7 и т. д. Понятно, почему они горят: они близнецы. Заметим, что в дальнейшем они встречаются реже; все пары близнецов, как и пары простых чисел, имеют вид 6n ± 1; например 6 * 3 ± 1 равно 19 и 17 или

6 * 5 ± 1 равно 31 и 29, …; но 6 * 20 ± 1 равно 121 и 119 - эта пара не близнец, так как есть пара составных чисел.

        Долетаем до пары близнецов 10 016 957 и 10 016 959. Будут ли и дальше пары близнецов? Современная наука пока ответов не даёт: неизвестно, существует ли конечное или бесконечное множество пар близнецов.

        4. Но вот начинает действовать закон большого промежутка, заполненного только составными номерами: летим в темноте, смотрим назад — темнота, и впереди невидно света. Вспоминаем свойство открытое Евклидом, и смело движемся вперёд, так как впереди должны быть светящиеся лампочки, и впереди их должно быть бесконечное множество.

        5. Залетев в такое место натурального ряда, где уже несколько лет нашего движения проходит в темноте, вспоминаем свойство, доказанное Пафнутием Львовичем Чебышевым, и успокаиваемся, уверенные, что во всяком случае, надо лететь не больше того, что пролетели, чтобы увидеть хотя бы одну светящуюся лампочку».

Природа простых чисел. Очень интересная и увлекательная тема. Исследовав данную тему, и раскрыв ее, мы можем сделать вывод, что изучая простые числа, были очарованы и одновременно ощущали собственное бессилие. Определение простых чисел, поиск простых чисел так просто только на первый взгляд. В натуральном ряду простые числа разбросаны очень непредсказуемым образом. С давних времен математики изобретали формулу для простых чисел, но до сих пор  не приблизились к решению данной проблемы. Задача даже ставится в более мягкой форме, допускается появление составных чисел в формуле, но чтобы вычислялись все простые числа. Пока неизвестно решение проблемы и в такой облегченной постановке.

В своей работе мы написали самое главное. Думаем,  много осталось от нас сокрытым, но в этом вся прелесть – узнавать для себя что-то новое, многим неизвестное. Любая история, наука хранит немало тайн, которые хотелось бы узнать.  Феномен со стремлением простых чисел располагаться в цепочки вдоль диагоналей был обнаружен сравнительно недавно и ещё не получил какого-либо математического объяснения. Любопытно проследить за развитием событий, связанных с изучением этого феномена.

4.Библиографический список.

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С. И. Математика, 6 класс.  М.: Мнемозина,2009г.
2. Гальперин Г.А. Просто о простых числах.  «Квант», №4, 1987г.
3. Гарднер Мартин.  Математические досуги, М.: Мир, 1972г.
4. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика». №13, 2002г., №9, 2006г.
5. Занимательно о физике и математике. Сост.С.С. Кротов, А.П. Савин. – М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит., 1988г.(Библиотечка «Квант»)
6. Кордемский  Б.А. Математическая смекалка. М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит., 1988г.
7. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. М.: Просвещение, 1990г.

Приложение 1. 

Таблица простых чисел до 997.

Приложение 9.

Приложение 10.

ТАБЛИЦА МЕНДЕЛЕЕВА. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ХИМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ Д.И.МЕНДЕЛЕЕВА.