Последовательности вокруг нас

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

Последовательности вокруг нас

Исследовательская работа по математике

                                                                                                     Выполнил: ученик7 класса

                                                                        Курилех Денис

Учитель математики: Шель Татьяна Борисовна

г. Самара, 2015

Содержание:

    Введение……………………………………………………………………..3

1. Теоретическая часть……………………………………………………...4

     Исторические сведения

Числовая последовательность, определение и виды

2. Практическая часть………………………………………………...…….7

Прогрессии в окружающей нас жизни

Различные задачи

1. Выводы

    Заключение………………………………………………………………10

    Используемые источники информации………………………………..11

1.Введение

"Числовые последовательности вокруг нас"

Древнейшая задача на прогрессии - не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце прошлого столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая (приводим ее в вольной передаче):

Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение

Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член х, разность y. Тогда

доля первого х доля второго х + у доля третьего х + 2y доля четвертого х + 3y доля пятого х + 4y.

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

х+(х+у)+(х+2у)+(х+3у)+(х+4у)=100

7(х+(х+у))= (х+2у)+(х+3у)+(х+4у)

После упрощений первое уравнение получает вид

x + 2y = 20,

а второе:

11х = 2y.

Решив эту систему, получаем:

x = 1 2/3, y = 9 1/6.

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части

1 2/3, 10 5/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.

Гипотеза: Мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и последовательности имеют определенное практическое значение. Последовательности применяются при решении старинных и современных задач.

Цель исследования: Выяснить, где применяются числовые последовательности и какую роль они играют  в нашей жизни.

Задачи исследования :

1.   Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием .

2.   Выяснить:

- когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;

- какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.

3.  Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение?  Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни. 

2 Теоретические часть

Исторические сведения

Числовая последовательность, определение и виды

Арифмети́ческая прогре́ссия - числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.

   Имеет вид:  a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,

 Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.

   Имеет вид:  b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…  

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.    В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

 1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).    Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.)  

Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более. В древней Греции еще пять столетий до н.э. были известны такие суммы:

                1+2+3+…+n=½n(n+1);

                1+3+5+…+(2n-1)=n2;

                2+4+6+…+2n=n(n+1).

    В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».    

Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами.  

Вопросами последовательности занимался  Леонардо Пизанский (Фибоначчи).  Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., именуемой впоследствии "рядом Фибоначчи".

Задача Фибоначчи :    Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения (показано в таблице).

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2.

  В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.

           1+2+3+4+…+98+99+100 =  (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=

=101x50 =5050. Это – арифметическая прогрессия.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие.

Много старинных задач, дошедших до нас, связанных с прогрессией.

 "Задача о семи старухах".

 Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного?  (Решение дано на слайде)

В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Ринда (Египет), то есть через три тысячи лет после египетских школьников задачу предлагалось разрешить итальянским школьникам.

 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649

 –это геометрическая прогрессия, первый член b1= 7 и знаменатель прогрессии q=7.

  bn= b1 q n-1.  b6= 7 ·76-1= 7 ·75= 76= 117649.

 Sn =(b1(q n -1))/(q-1);  S6 = (7(7 6 -1))/(7-1) = (7(117649 -1))/6=

=7 ·117648:6=137256

Еще пример старинных задач, дошедших до нас, которые вы сами можете решить, применив формулы суммы арифметической и геометрической прогрессии:

Шли семь старцев
У каждого старца по семь костылей; 
На каждом костыле по семь сучков; 
На каждом сучке по семь кошелей; 
В каждом кошеле по семь пирогов; 
В каждом пироге по семь воробьёв. 
Сколько всего воробьёв?

Ответ: 117649 воробьёв 

Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам?

Ответ: 16807 горстей.          

Прогрессии широко встречаются в окружающей нас жизни.

Прогрессии в природе.

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:

ИНФУЗОРИИ…    Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.         Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ:  b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)

БАКТЕРИИ…     Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д.  (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения будем называть поколением. (слайд 39)

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов. (слайд 40)

Задача №524.  [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2010, -224с.(108) ]

Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

Решение. В сутках 1440 минут,  каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1=

                  = 4 722 366 482 869 645 213 695. Это число читается:

Всего бактерий

4 септиллиона

722 сектиллиона

366 квинтиллионов

482 квадриллионов

869 триллиона

645 миллиарда

709 миллионов

213 тысяча 695  (слайд 42)

Интенсивность размножения бактерий используют…         в пищевой

промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов,

при квашении, солении и др.),   в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин),  в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.),  в коммунальном  хозяйстве и природоохранных  мероприятиях  (для очистки сточных вод,ликвидации

нефтяных пятен)  Еще примеры организмов, которые распространяются в геометрической прогрессий:

МУХИ……          “Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”.   Карл Линней.  Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз. (пример геометрической прогрессии).  

ОДУВАНЧИК…….       “Потомство одного одуванчика за 10 лет может   покрыть  пространство  в  15  раз больше суши земного шара”.

                                       К. А. Тимирязев.

Задачи:

Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр  и даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика  через 10 лет при условии, если он размножается  беспрепятственно по геометрической прогрессии?   Ответ:  1012 км2

б) Хватит ли этим растениям на  11-й год места  на поверхности  суши земного шара?

Ответ:    нет, Sсуши = 148 млн км2  

ТЛИ…….   Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев,

одна единственная тля может оставить более 300 млн.  потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем

толщиной почти в 1 метр.  

ВОРОБЬИ…… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.  

Еще две биологические задачи с применением прогрессии:   При каждом делении амёбы получается две новые особи. Сколько особей будет после 6 делений? После 10 делений?

Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей?  

Прогрессии в банковских расчетах.

Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами.  

Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу,  либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях?  

Чтобы ответить на этот вопрос , вам то же надо решить задачу на геометрическую прогрессию.

Прогрессии строителю:       Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.

Количество бревен легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице, если бревна уложены так, как показано на рисунке.  (слайд 55)

Прогрессии в медицине.  

[Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2010, -224с.(с.100)

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.

Решение. Составим математическую модель задачи:

        5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

    ап=а1+d(n-1),      

   40=5+5(п-1),        

      п=8,                      

   Sп=((a1+aп)n)/2,   S8 =(5+40)·8:2=180,

  180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства. 

Прогрессии в спорте.  

Задача № 468
 [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений / Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2010, -224с.(с.100)]

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Решение. Составим математическую модель задачи. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов ( количество промахов) равно 7. Найдем число промахов - n.

Задача №469.
Задача № 471
[Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2010, -224с.(с.100)

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Решение. Составим математическую модель задачи:    1400, 1300, …, 1400-100(n-1). a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.

 Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2;            Условию  задачи  удовлетворяет

10000= (2800-100 n+100) n;            n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)

10000= (2900-100 n) n;                    Значит, альпинисты покорили

100 n2-2900 n+10000=0;                  высоту за 4 дня.

 n2-29 n+100=0;  n=25, n=4.                  Ответ: за 4 дня.

В каких процессах ещё встречаются 
такие закономерности?   Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия.

 При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.

Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.

Вписанные друг в друга правильные треугольники — это геометрическая прогрессия.

Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности. Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе.

 Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.

Допустим, что работники нанялись вырыть вам колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 400руб, а за каждый следующий         150-ю  рублями  больше, чем за предыдущий. Чтобы подсчитать, сколько рублей заплатить,  если они вырыли колодец глубиной 16 м, вы применяете формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии. (слайд 65)

Задачи на применение прогрессий встречаются в старых учебниках по математике, в книгах по занимательной математике  (слайды 66-74).

 О поселковых слухах:    

Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь  происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:

       В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?

Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

   в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);

      9.15                           121+81 ·3 =364 (человек);

      9.30                           364+243 ·3=1093 (человек);

      9.45                           1093+729 ·3=3280 (человек);

     10.00                          3280 + 2187 ·3 =9841(человек).

Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу суммы  n первых членов геометрической прогрессии.

О финансовых пирамидах.

Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам  по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры. 

Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234  375  000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

 Прогрессии в литературе.

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".

...Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...                                                                        Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

         Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...пгн

Примеры:

Ямб:

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

Хорей:.

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»                     Б. Л. Пастернак

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...      

      «бУря  мглОю  нЕбо  крОет»

прогрессия 1; 3; 5;7.                        А.С. Пушкин.

Много задач  с практическим содержанием на прогрессии в современных  учебниках  по алгебре.

Выводы: 

Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.

Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.

Выяснили, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики  Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака,  немецкие математики  М. Штифель, Н. Шюке, и        К. Гаусс.

Нашли много задач  на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической. Много задач с практическим содержанием в учебнике для 9 класса под редакцией Г.В. Дорофеева [4].

Обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов).

Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.

2.Различные задачи

Как быстро распространяются городские слухи?

Условие задачи В городе 50000 жителей.Приезжий в 8 часов утра рассказывает новость трём соседям,через 15 минут каждый из них рассказывает новость трём своим соседям и т.д.Во сколько часов эта новость будет известна половине жителей города?

1 способ решения задачи:

'2 способ решения задачи'

Слухи в городе распространяются в геометрической прогрессии.  Зная формулу суммы п членов геометрической прогрессии

Подставляя известные данные в формулу , получим:

Вывод.Рассматриваемая в ходе исследования задача нам дала понять, как легко сделать вычисления, зная формулу геометрической прогрессии.

Сто тысяч с неба свалилось

Выгодная сделка. Когда и где происходила эта история - неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы ее послушать.

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. "Бывают же такие удачи, - рассказывал он домашним. - Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.

- Сделаем, - говорит, - с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить - смешно вымолвить - всего только одну копейку.

Я ушам не верил:

- Одну копейку? - переспрашиваю.

- Одну копейку, - говорит. - За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.

- Ну, - не терпится мне. - А дальше?

- А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвертую 8, за пятую - 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

- И потом что? - спрашиваю.

- Все, - говорит, - больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.

Сотни тысяч рублей за копейки отдает! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.

- Ладно, - говорю. - Неси деньги. Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.

- Будь покоен, - говорит; - завтра с утра жди.

Одного только боюсь: придет ли? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра недолго ждать".

Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.

- Деньги готовь, - говорит. - Я свои принес.

И, действительно, войдя в комнату, странный человек стал выкладывать деньги - настоящие, не фальшивые. Отсчитал ровно сто тысяч и говорит: - Вот мое по уговору. Твой черед платить.

Богач положил на стол медную копейку и с опаской дожидался, возьмет гость монету или раздумает, деньги свои назад потребует. Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и спрятал в суму.

- Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси, - сказал он и ушел.

Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые: все правильно. Запрятал деньги подальше и стал ждать завтрашней уплаты.

Ночью взяло его сомнение: "не разбойник ли простаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячут, да потом и нагрянуть с шайкой лихих людей?

Запер богач двери покрепче, с вечера в окно поглядывал, прислушивался, долго заснуть не мог. На утро снова стук в окно: незнакомец деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел, бросив на прощанье:

- К завтрашнему четыре копейки, смотри, приготовь.

Снова радуется богач: вторая сотня тысяч даром досталась. А гость на грабителя не похож: по сторонам не глядит, не высматривает, свои только копейки требует. Чудак! Побольше бы таких на свете, умным людям хорошо бы жилось...

Явился незнакомец и на третий день - третья сотня тысяч перешла к богачу за 4 копейки.

Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч - за 8 копеек.

Пришла и пятая сотня тысяч - за 16 копеек.

Потом шестая за 32 копейки.

Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки:

1 коп. + 2 коп. + 4 коп. + 8 коп. + 16 коп. + 32 коп. + 64 коп. = 1 р. 27 к.

Понравилось это алчному миллионеру, и он уже стал сожалеть, что договорился всего на один только месяц. Больше трех миллионов получить не удастся. Склонить разве чудака продлить срок еще хоть на полмесяца? Боязно: как бы не сообразил, что зря деньги отдает...

А незнакомец аккуратно являлся каждое утро со своей сотней тысяч. На 8-й день получил он 1 р. 28 к., на 9-й - 2 р. 56 к., на 10-й - 5 р. 12 к., на 11-й - 10 р. 24 к., на 12-й - 20 p. 48 к., на 13-й - 40 р. 96 к., на 14-й - 81 р. 92 к.

Богач охотно платил эти деньги: ведь он получил уже один миллион 400 тысяч рублей, а отдал незнакомцу всего около полутораста рублей.

Недолго, однако, длилась радость богача: скоро стал он соображать, что странный гость не простак и что сделка с ним вовсе не так выгодна, как казалось сначала. Спустя 15 дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страшно быстро нарастала. В самом деле, богач уплатил во второй половине месяца:

за 15-ю сотню тысяч 163 р. 84 к., за 16-ю сотню тысяч 327 р. 68 к., за 17-ю сотню тысяч 655 р. 36 к., за 18-ю сотню тысяч 1310 р. 72 к., за 19-ю сотню тысяч 2621 р. 44 к.

Впрочем, богач считал себя еще далеко не в убытке: хотя и уплатил больше пяти тысяч, зато получил 1800 тысяч. Прибыль, однако, с каждым днем уменьшалась, притом все быстрее и быстрее.

Вот дальнейшие платежи:

за 20-ю сотню тысяч 5242 р. 88 к., за 21-ю сотню тысяч 10485 р. 76 к., за 22-ю сотню тысяч 20971 р. 52 к., за 23-ю сотню тысяч 41943 р. 04 к., за 24-ю сотню тысяч 83886 р. 08 к., за 25-ю сотню тысяч 167772 р. 16 к., за 26-ю сотню тысяч 335544 р. 32 к., за 27-ю сотню тысяч 671088 р. 64 к.

Платить приходилось уже больше, чем получать. Тут бы и остановиться, да нельзя ломать договора. Дальше пошло еще хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит...

Начиная с 28-го дня, богач должен был уже платить миллионы. А последние два дня его вконец разорили. Вот эти огромные платежи:

за 28-ю сотню тысяч 1342177 р. 28 к., за 29-ю сотню тысяч 2684354 р. 56 к., за 30-ю сотню тысяч 5368709 р. 12 к.

Когда гость ушел в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешевые на первый взгляд три миллиона рублей. Оказалось, что уплачено было незнакомцу

10737418 р. 23 к.

Без малого 11 миллионов!.. А ведь началось с одной копейки. Незнакомец мог бы приносить даже по три сотни тысяч и все-таки не прогадал бы.

Прежде чем кончить с этой историей, покажу, каким способом можно ускорить подсчет убытков миллионера; другими словами - как скорее всего выполнить сложение ряда чисел:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + и т. д.

Нетрудно подметить следующую особенность этой суммы.Это сумма п членов геометрической прогрессии. Первый член которой равен -1, а каждый последующий равен предыдущему, умноженному на 2.Поэтому, если бы миллионер знал применил формулу суммы членов геометрической прогрессии, то не был бы в убытке.

Этим способом можно подсчитать убытки алчного миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний раз. Его последний платеж был 5368709 р. 12 к.

Поэтому, сложив 5368709 р. 12 к. и 5368709 р. 11 к., получаем сразу искомый результат:

10737418 р. 23 к.

Лавина дешёвых велосипедов

Немало людей соблазнялись заманчивым объявлением и просили прислать условия необычной покупки. В ответ на запрос они получали подробный проспект, из которого узнавали следующее. За 10 руб. высылался пока не самый велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 руб. своим четверым знакомым. Собранные таким образом 40 руб. следовало отправить фирме, и тогда лишь прибывал велосипед; значит, он обходился покупателю действительно всего в 10 руб., остальные 40 руб. уплачивались ведь не из его кармана. Правда, кроме уплаты 10 руб. наличными деньгами, приобретающий велосипед имел некоторые хлопоты по продаже билетов среди знакомых, - но этот маленький труд в счет не шел. Что же это были за билеты? Какие блага приобретал их покупатель за 10 руб.? Он получал право обменять их у фирмы на 5 таких же билетов; другими словами, он приобретал возможность собрать 50 руб. для покупки велосипеда, который ему обходился, следовательно, только в 10 руб., т. е. в стоимость билета. Новые обладатели билетов в свою очередь получали от фирмы по 5 билетов для дальнейшего распространения, и т. д. На первый взгляд во всем этом не было обмана. Обещание рекламного объявления исполнялось: велосипед в самом деле обходился покупателям всего лишь в 10 руб. Да и фирма не оказывалась в убытке, - она получала за свой товар полную его стоимость. А между тем вся затея - несомненное мошенничество. "Лавина", как называли эту аферу у нас, или "снежный ком", как величали ее французы, вовлекала в убыток тех многочисленных ее участников, которым не удавалось сбыть дальше купленные ими билеты. Они-то и уплачивали фирме разницу между 50-рублевой стоимостью велосипедов и 10-рублевой платой за них. Рано ли, поздно ли, но неизбежно наступал момент, когда держатели билетов не могли найти охотников их приобрести. Что так должно непременно случиться, вы поймете, дав себе труд проследить с карандашом в руке за тем, как стремительно возрастает число людей, вовлекаемых в лавину. Первая группа покупателей, получившая свои билеты прямо от фирмы, находит покупателей обычно без особого труда; каждый член этой группы снабжает билетами четверых новых участников. Эти четверо должны сбыть свои билеты 4x5, т. е. 20 другим, убедив их в выгодности такой покупки. Допустим, что это удалось, и 20 покупателей завербовано. Лавина движется дальше: 20 новых обладателей билетов должны наделить ими 20x5=100 других. До сих пор каждый из "родоначальников" лавины втянул в нее 1 + 4 + 20 + 100 = 125 человек, из которых 25 имеют по велосипеду, а 100 - только надежду его получить, уплатив за эту надежду по 10 руб. Теперь лавина выходит уже из тесного круга знакомых между собою людей и начинает растекаться по городу, где ей становится, однако, все труднее и труднее отыскивать свежий материал. Сотня последних обладателей билетов должна снабдить такими же билетами 500 граждан, которым в свою очередь придется завербовать 2500 новых жертв. Город быстро наводняется билетами, и отыскивать охотников приобрести их становится весьма нелегким делом. Вы видите, что число людей, втянутых в лавину, растет по тому же самому закону, с которым мы встретились, когда беседовали о распространении слухов. Вот числовая пирамида, которая в этом случае получается:

1

4

20

100

500

2500

12500

62500

Если город велик, и все его население, способное сидеть на велосипеде, составляет 62 1/2 тысячи, то в рассматриваемый момент, т. е. на 8 "туре", лавина должна иссякнуть. Все оказались втянутыми в нее. Но обладает велосипедами только пятая часть, у остальных же 4/5 имеются на руках билеты, которые некому сбыть. Для города с более многочисленным населением, даже для современного столичного центра, насчитывающего миллионы жителей, момент насыщения наступит всего несколькими турами позднее, потому что числа лавины растут с неимоверной быстротой. Вот следующие ярусы нашей числовой пирамиды:

312500

1562500

7812500

39062500

На 12-м туре лавина, как видите, могла бы втянуть в себя население целого государства. И 4/5 этого населения будет обмануто устроителями лавины. Подведем итог тому, чего собственно достигает фирма устройством лавины. Она принуждает 4/5 населения оплачивать товар, приобретаемый остальною 1/5 частью населения; иными словами - заставляет четырех граждан облагодетельствовать пятого. Совершенно безвозмездно приобретает фирма, кроме того, многочисленный штат усердных распространителей ее товара. Правильно охарактеризовал эту аферу один из наших писателей* как "лавину взаимного объегоривания". Числовой великан, невидимо скрывающийся за этой затеей, наказывает тех, кто не умеет воспользоваться арифметическим расчетом для ограждения собственных интересов от посягательства аферистов.

Заключение

Изучением числовых последовательностей занимались многие ученые на протяжении многих веков. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. Они являются одним из ключевых понятий математики. В своей работе я постарался отразить основные понятия, связанные с числовыми последовательностями, способы их задания, свойства, рассмотрел некоторые из них. Отдельно были рассмотрены прогрессии (арифметическая и геометрическая), рассказано об основных понятиях связанных с ними.

                                       Выводы

• В ходе исследовательской работы, помимо освоения учебного материала темы я осознал его практическую значимость.
• Анализируя полученные данные, я понял, что можно рассчитать результат какой- нибудь сделки, чтобы не остаться в убытке.
• Зная формулы арифметической и геометрической прогрессий, можно решать различные задачи современности и старинные задачи.

Список литературы

1. А.Г. Мордкович,  Алгебра, 10 класс, учебник, 2012г.
2. А.Г. Мордкович,  Алгебра, 9 класс, учебник, 2012г.
3. Большой справочник школьника. Москва, «Дрофа», 2001г.
4. Г.И.  Глейзер,  «История математики в школе»,

М.: Просвещение, 1964г.

5. «Математика в школе»,  журнал, 2002г.
6. Образовательные онлайн сервисы Webmath.ru
7. Универсальная научно-популярная онлайн-энциклопедия  «Кругосвет»

Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с..

http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm 

http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op   

http://festival.1september.ru/articles/568100/