Реферат на тему: Различные способы решения квадратных уравнений

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 7 города Коряжмы»

Реферат

Различные способы решения квадратных уравнений

Коряжма 2015

Содержание

Введение

Практически все, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой.   Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площади земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые уравнения второй степени. Однако имеются и другие способы решения таких уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Какие это способы и сколько их?

1. История возникновения и развития квадратных уравнений

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Найденные древние вавилонские глиняные таблички (около 2 тысяч лет до н.э.) являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На них изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.         Правило решения этих уравнений совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями,  изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа  и общие  методы решения  квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решали и в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax2 = c и ax2 + bx = c и привел методы их решения.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:  ах2 + bx = c, где a > 0. В этом уравнении коэффициенты (кроме а) могут быть и отрицательными. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В его книгах «Арифметика» нет систематического изложения алгебры, однако в них содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений различных степеней. При составлении  уравнений  Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Хорезмский математик  Ал-Хорезми  в своем алгебраическом трактате дает классификацию линейных и  квадратных   уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: ах2 + с = bх,  ах2 = с,   ах = с,  ах2 + с = bх,   ах2 + bx = с,      bx + с = ах2. Ал-Хорезми избегает употреблений отрицательных чисел, поэтому члены каждого их этих  уравнений  слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание  уравнения, у которых нет положительных  решений.

 Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Он первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:     х2 + bx = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в 1544 г. немецким математиком М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо  положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

2. Способы решения квадратных уравнений

Квадратное уравнение — алгебраическое уравнение общего вида                      где  — свободная переменная, , ,  — коэффициенты, причём 

2.1. Метод выделения полного квадрата

 В данном методе  будут активно использоваться следующие формулы сокращенного умножения:

(a+b)2 = a2 +2*a*b +b2;

(a-b)2= a2 -2*a*b +b2;

Рассмотрим данный метод при решении уравнения: 4x2+7x+3=0

Преобразуем левую часть:

Где   - формула 

Тогда получается следующее:

Теперь вернёмся к уравнению:

Значит    или  

                       или    

Ответ: ;                

2. Решение квадратных уравнений по формуле

Согласно этому способу сначала находится величина, называемая дискриминантом:

После того, как дискриминант вычислен, возможны три варианта.

1) Если дискриминант D больше нуля, то уравнение имеет два разных корня - X1 и X2.

В этом случае корни вычисляются по формулам:

2) Если дискриминант D равен нулю, уравнение имеет два равных корня Х, которые вычисляются по формуле:

Уравнение с дискриминантом равным нулю, имеет два равных корня, но поскольку корни равны, то часто говорят и пишут, что корень один.

3) Если же дискриминант D меньше нуля, то уравнение не имеет вещественных корней.

Решение через дискриминант - универсальный способ. Им можно решить любое квадратное уравнение, [1, c.143].

Решим уравнение 4x2+7x+3=0 данным способом:

4x2+7x+3=0

a=4 b=7 c=3

D=b2 – 4ac

D=72 – 4×3×4=49 – 48=1

D˃0 следовательно, уравнение имеет два корня

     ;                              

Ответ: ;              

3. Разложения левой части на множители

Рассмотрим данный способ при решении уравнения: 4x2+7x+3=0

Преобразуем левую часть:

4x2+7x+3= 4x2+4x+3x+3= 4x(x+1)+3(x+1) =(x+1)(4x+3)

Вернёмся к нашему уравнению:

(x+1)(4x+3)=0

Значит x+1=0    или    4x+3=0

            x=-1                 x=

Ответ: ;                

4. Теорема Виета

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + c = 0  (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

  x1 x2 = q,

 x1 + x2 = - p

     Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам  p и  q можно предсказать знаки корней).

     а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет  два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны, [1, c.168].

     Примеры:

x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2  и  x2 = 1, так как q = 2 > 0 и  p = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7  и  x2 = - 1,  так как q = 7 > 0  и  p= 8 > 0.

       б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0. Примеры:

x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1,  так как  q= - 5 < 0  и  p = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1  = 9  и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0  и p = - 8 < 0.

5. Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а  и  х1 = у2/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат, [2, c.6]

Рассмотрим данный способ при решении уравнения: 4x2+7x+3=0

Пусть , тогда

По теореме Виета: , ;

 , следовательно  , -1

Ответ:  , -1

6.  Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения

 Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх +  с = 0, а ≠ 0.

1. Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то    х1 = 1, х2  = . 

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

        х2  +  х +   = 0.

Согласно теореме Виета  

По условию а + b + с = 0, откуда  b =  – а – с. Значит,  

Получаем х1 = 1, х2  = , ч.т.д.

 Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2  = –  . 

Доказательство. По теореме Виета

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

т.е. х1 = – 1 и х2  =  , ч.т.д, [3, 29].

Пример: решить уравнение а) 345х2  – 137х – 208 = 0.

Решение: так как  а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1  = 1,  х2  =  = .

Ответ: 1; – .

б) 132х2 + 247х + 115 = 0

Решение: т. к. а - b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то

х1= - 1, х2= -  

Ответ: - 1; -

2. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

х1,2  = , можно записать в виде х1,2  =

Пример: решить уравнение 3х2  – 14х + 16 = 0.

Решение: имеем: а = 3,  b = –  14,  c = 16,   k = –  7;

D = k2 – ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;

х =  

Ответ: 2; .

2. Приведенное уравнение x2  + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором  а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней х1,2  =

принимает вид: х1,2  =  или х1,2  =  -       (3).

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.

2.7. Графический  способ решения квадратного уравнения

Если в уравнении х2 +  px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.   График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,

 абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

1) Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение: запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4  можно  построить по двум точкам М (0; 4) и

 N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х1 = - 1 и х2  = 4.

Ответ: х1 = - 1;  х2  = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 - 2х + 1 = 0. 

Решение: запишем уравнение в виде х2 = 2х - 1.

        Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 1.

Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)

и N(1/2; 0).  Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1.

Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4). 

Решение: запишем уравнение в виде х2 = 5х - 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 5. Прямую у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ: уравнение х2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.        

8. Геометрический способ решения квадратных уравнений

          В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры»  Ал-Хорезми.

           Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

           Решение: рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна  2,

следовательно, площадь каждого равна 2 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD,  достраивая в углах четыре

 равных квадрата,  сторона каждого из них 2,  а площадь   6

                             D                      x             C

                               A                   х              B

   Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников

 (4 ∙ 2 = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6), т.е.

S = х2 + 10х = 25.   Заменяя  х2 + 10х  числом 39, получим что  S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для  искомой стороны  х  первоначального квадрата получим

        х = 8 – 2 – 2 = 3.

Ответ: x=3.

Заключение

        Квадратные уравнения находят широкое применение при решении задач различного уровня сложности. Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко  обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

         В данной работе представлена история развития квадратных уравнений, а так же  рассмотрены следующие способы решения уравнений второй степени:

1. Метод выделения полного квадрата;

2. Решение квадратных уравнений по формуле;

3. Разложение левой части на множители;

4. Решение квадратных уравнений способом  " переброски";

5. Теорема Виета;

6. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения;

7. Графический способ решения квадратных уравнений;

8. Геометрический способ решения квадратных уравнений;

        Подводя итоги можно сказать, что каждый из изученных способов имеет как положительные стороны, так и недостатки. Но выполненная работа показывает, что использование различных способов при решении квадратных уравнений является важным звеном в изучении математики, развивает сообразительность и внимание. Так же не менее важно правильно выбирать рациональный способ решения конкретно для каждого уравнения.

Список использованных источников и литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра 8, в двух частях, учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2013.
2. Дроздов В.А.  Квадратное уравнение: варианты решения. Математика // Приложение к газете « Первое сентября» № 10/2008.
3. Пружиников И.Н. Десять способов решения квадратных уравнений. Математика // Приложение к газете « Первое сентября» № 40/2009.
4. http://arm-math.rkc-74.ru/.