презентация "Системы координат"
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 sistemy_koordinat.pptx | 2.51 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Систе́ма координа́т — комплекс определений, реализующий метод координат , то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.
Наиболее употребительные координатные системы – декартовы прямоугольные. Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве – цилиндрические или сферические системы координат.
Обобщением всех перечисленных систем координат являются криволинейные системы координат.
Криволинейные системы координат. В двухмерном пространстве задаются два семейства линий (координатных линий), зависящих каждое от одного параметра, причем через каждую точку проходит только по одной линии каждого семейства. Значения параметров, соответствующие этим кривым, являются криволинейными координатами этой точки. В трехмерном пространстве задаются три семейства координатных поверхностей , таких, что через каждую точку проходит по одной поверхности каждого семейства. Положение точки в такой системе определяется значениями параметров координатных поверхностей, проходящих через эту точку.
Декартовы прямоугольные системы координат
Впервые, такую привычную для нас, прямоугольную систему координат ввел французский ученый Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также – декартова система координат
Так как Декарт публиковал свои работы под псевдонимом Картезий ( Cartesius ), то в западной научной литературе ее называют Картезианова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии .. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.
Вклад в развитие координатного метода внес еще один французский математик Пьер Ферма , однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти
Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимно перпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси нужно задать положительное направление и выбрать единицу масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P. Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.
Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси. В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая координатные системы. Как правило, пользуются правой координатной системой. Положительные направления выбирают: на оси Ox - на наблюдателя; на оси Oy - вправо; на оси Oz - вверх. Координаты x, y, z называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.
Полярные системы координат
Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта – полюс , и луч, начинающийся в этой точке – полярная ось . О х Полярный радиус ρ – длина отрезка ОА А Полярный угол φ – величина угла между полярной осью и отрезком ОА φ ρ Положительным направлением отсчета углов считается направление «против часовой стрелки»
x 1 = ρ cos φ , y 1 = ρ sin φ Переход от полярной системы координат к декартовой Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, у х 0 О а полярную ось с положительной полуосью Ox , то по известным полярным координатам точки А( ρ ; φ ) А ρ φ её прямоугольные координаты вычисляются по формулам: х 1 у 1
Переход от декартовой системы координат к полярной
Применение
В фотографии Эрмитаж. Полярная проекция Вертикальные линии после того, как к ним применен фильтр (переводящий координаты точек из прямоугольной системы в полярную), стали расходиться из центральной точки. На правой части картинки горизонтальные линии превратились в концентрически расходящиеся из центра круги.
В военном деле Радиолокационные станции (РЛС ) Координаты цели могут выдаваться в полярной системе координат (азимут, дальность), прямоугольной (X, Y), геодезической (широта, долгота).
В медицине Компьютерная томография сердца в системе полярных координат.
В системах идентификации (подтверждение личности человека) Идентификация по радужной оболочке глаза Результат преобразования кольца радужной оболочки из декартовой системы координат в полярную.
Позиционирование и навигация Полярную систему координат часто применяют в навигации , поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу. Так, самолёт , летящий 5 морских миль на восток можно описать как самолёт , летящий 5 единиц в направлении 90 (центр управления полётами назовёт его найн-зиро ).
Моделирование Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических полярных координатах при шести частотах.
Цилиндрические системы координат
ρ и φ - полярные координаты проекции точки P на основную плоскость (обычно xOy ), z - аппликата - расстояние от точки P до основной плоскости. Для цилиндрических координат координатными поверхностями являются плоскости, перпендикулярные к оси Oz (z= const ), полуплоскости, ограниченные осью z (φ= const ) и цилиндрические поверхности, осью которых является ось z (ρ= const ). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.
Формулы для перехода от цилиндрических координат к декартовым x=ρ* cos (φ), y=ρ* sin (φ), z=z и обратно: ρ= sqrt ( x 2 + y 2 ), φ= arctg ( y / x )= arcsin ( y /ρ).
Сферические системы координат
r - длина радиус-вектора, φ - долгота, θ - полярное расстояние. Положительные направления отсчета показаны на рисунке 6. Если давать сферическим координатам значения в следующих пределах: 0 ≤ r < ∞, -π < φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ π, то получаются однозначно все точки пространства. Координатные поверхности: сферы с центром в начале (r= const ), полуплоскости, ограниченные осью z (φ= const ), конусы (с вершиной в начале), для которых ось z является осью (θ= const ). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.
Формулы перехода от сферических координат к декартовым x=r*sin( θ )*cos( φ ), y=r*sin( θ )*sin( φ ), z=r*cos( φ ) и обратно r= sqrt (x 2 +y 2 +z 2 ), φ = arctg (y/x), φ = arctg ( sqrt ((x 2 +y 2 )/z)).
Кардиоида
Кардиоида – плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Кардиоида (от греческих слов сердце и вид) – получила свое название из-за схожести своих очертаний с изображением сердца.
Свойства кардиоиды Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка. Кардиоида имеет один касп ( Касп ( англ. cusp — заострение ) — точка, в которой кривая линия разделяется на две (или более) ветви, имеющие в этой точке одинаковый направляющий вектор. То есть, ветви в данной точке имеют общую касательную и движение вдоль них из данной точки изначально происходит в одном и том же направлении) Кардиоида – функция четная
В декартовых координатах X = 2r cos(t) - r cos( 2 t) Y = 2r sin(t)-r sin(2t)
В полярных координатах r = a(1 + cos( φ ))
Выводы : При сравнении прямоугольной и полярной системы координат мы поняли, что прямоугольная система координат является наиболее простой и понятной, в том числе и школьникам, но в полярной системе существует возможность размещения более сложных изображений.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Прекрасная арфа
Как нарисовать зайчика
Зимняя ночь. Как нарисовать зимний пейзаж гуашью
Твёрдое - мягкое
«Яндекс» открыл доступ к нейросети "Балабоба" для всех пользователей